Autor Tema: Un juego con dados.

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28 Mayo, 2018, 07:25 am
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Samir M.

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Hola.

Revisando un juego de mesa me he encontrado con este sistema de puntuación que he intentando modelizar sin éxito:

Tenemos un dado ideal de 10 caras, numeradas del 1 al 10. Se considera un éxito si el resultado de lanzar un dado es mayor o igual que 6, y se considera un fracaso sacar un 1, con la peculiaridad de que un fracaso anula un éxito, de modo que si lanzamos el dado dos veces y obtenemos (6,9) habremos obtenido dos éxitos, si obtenemos (8,1) serán cero los éxitos (el uno anula el éxito del 8), si obtenemos (8,3) habremos conseguido un éxito, y si saquésemos (1,1) tendríamos -1 éxitos; es decir, se pueden sacar éxitos "negativos".

Dado este sistema, me preguntaba cuál es la probabilidad de sacar más éxitos que fracasos tirando el dado \( n \) veces. No sé si se puede determinar un modelo para el caso general, así que me conformo para \( n=4 \). Es decir, tirando el dado \( 4 \) veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener más existos que fracasos? Mi problema principal radica en cómo tratar matemáticamente a los fracasos. Si intento hallar la probabilidad para una sola tirada, tendríamos \( P(1) =\dfrac{4}{10} \), pero al pasar a 2 tiradas no sé cómo meter los fracasos en el modelo.

Saludos.
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.

28 Mayo, 2018, 09:34 am
Respuesta #1

Masacroso

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El cálculo considerando sólo un total positivo o no-positivo (es decir, sacar más éxitos que fracasos) se ajusta a una probabilidad trinomial asociada a un conjunto no muy amplio de valores. Y si he entendido bien tu juego tirar 4 dados dos veces es lo mismo que tirar 8 dados, ¿no?

Es decir: para que el total sea positivo es suficiente con sacar más éxitos, llamémosle E, que fracasos F, sin tener el cuenta el resto (neutros=N). La distribución E-F-N es trinomial, así que sacar más éxitos que fracasos es equivalente a sumar todas las probabilidades de una distribución trinomial donde aparezcan más E que F.

Es decir la probabilidad de tener más éxitos que fracasos vendría dada por

\( \displaystyle \Pr[\text{Éxitos >Fracasos}]=\sum_{m\ge k>j\ge 0}\binom{m}{k,j,m-k-j}p_E^kp_F^j(1-p_E-p_F)^{m-k-j}\tag1 \)

donde \( m \) es el número de dados usados, \( p_E \) es la probabilidad de sacar un éxito y \( p_F \) es la probabilidad de sacar un fracaso, y \( \binom{m}{a,b,m-a-b}:=\frac{m!}{a!b!(m-a-b)!} \) es un coeficiente trinomial. No tengo claro que (1) pueda simplificarse.

EDICIÓN: en Wolfram Mathematica con este código

Código: [Seleccionar]
f[n_]:=Probability[x > z,{x, y, z} \[Distributed] MultinomialDistribution[n, {0.5, 0.4, 0.1}]]
defines una función que te calcula tal probabilidad al tirar \( n \) dados. También he encontrado el siguiente enlace que podría servir de punto de partida para hacer simulaciones en R:

https://rpubs.com/JanpuHou/296336

esto pasa cuando no te paras a leer con suficiente atención
Lo siguiente es producto de leer en diagonal :D Creía que Samir buscaba hacer un modelo más sofisticado, que le diese la distribución de probabilidad sobre el valor total de la suma de éxitos y fracasos.



Hice un modelo de un juego similar hace años, cuando apenas sabía nada de matemáticas (de hecho empecé a estudiar matemáticas para poder hacer modelos de juegos probabilísticos como ése), así que puede estar mal:

https://www.geogebra.org/m/AT9hsghR

Otro juego parecido se discute aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/2195516/rolling-dice-or-cumulative-binomial-distribution-with-a-twist/2195730

Para muchos juegos de dados, dependiendo del número de dados, se puede sacar la probabilidad por "fuerza bruta" o, si la cosa se complica mucho, habría que buscar una aproximación analítica (si existiese), o aproximarle una después de una simulación de Monte-Carlo.

Para tu juego tenemos una serie de probabilidades multinomiales asociadas a una determinada composición de un número (creo que un número pequeño), me explico: hay una probabilidad de sacar un éxito, otra de sacar un fracaso y otra probabilidad digamos "neutra" que son probabilidades que en conjunto siguen una distribución trinomial.

Además de eso hay que considerar todas las sumas/restas posibles de números cero, uno o menos uno para dar lugar a un valor total determinado sobre el que calcular la probabilidad, esto es un tipo de composición de un número, en este caso "relativamente sencillo".

Por ejemplo, si tiramos X dados de 10 caras, ¿cuántas formas hay de obtener un total Y, y qué probabilidad hay asociada a cada forma?

Una forma de aproximar el problema es usando una función generadora, es decir, supongamos que tenemos 6 dados de 10 caras (con probabilidades iguales para sacar cada cara, y también se asume independencia de cada dado) donde sacar 6 ó más es un éxito y sacar un 1 un fracaso, entonces un dado se modela como el polinomio

\( \displaystyle f(x):=1\cdot x^{-1}+4\cdot x^0+5\cdot x^1 \)

Entonces la probabilidad de sacar un total de puntos \( T \) sería \( [x^T]\frac{f(x)^6}{f(1)^6} \), suponiendo que tiramos 6 dados, donde \( [x^T]f(x) \) significa "coeficiente de la potencia \( T \) en el polinomio \( f \)".

Como el polinomio es "feo" no creo que se puedan simplificar mucho las cuentas, es decir, usando una función generadora como la de arriba estamos usando un tipo de "fuerza bruta" (de hecho incluso aunque el polinomio fuese "simplificable" tampoco se iba a reducir demasiado el cálculo necesario, ya que se involucran sumas de coeficientes multinomiales), aunque las probabilidades dejadas son exactas. Por eso decía que cuando el número de dados (o combinaciones posibles) es alto es mejor usar directamente una simulación de Monte-Carlo y ya está.

Pero en este caso quizá no es práctico recurrir a funciones generadoras ni nada de eso ya que la composición del valor total es muy simple: que el total sea \( m>0 \) significa que el número de éxitos menos el de fracasos es justamente \( m \), con un número variable de valores neutros, así que posiblemente se pueda usar directamente una distribución trinomial para hallar estos valores de manera más sencilla, aunque computacionalmente no parece haber una gran ventaja respecto al uso de funciones generadoras, al menos para números de dados en juego pequeños.
[cerrar]

28 Mayo, 2018, 07:47 pm
Respuesta #2

Samir M.

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Hola.

Gracias, ya veo por donde van los tiros. Esto de no haber estudiado probabilidad...

Saludos.
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.