[Alexander]

Hola, estoy trabajando este problema:

Lanzamiento de martillo: Un deportista de lanzamiento de martillo está trabajando en su entrenamiento en una pequeña superficie de prácticas. El martillo gira, generando un círculo con radio de 5 pies y, cuando se lanza, golpea una pantalla alta que está a 50 pies del centro del lugar del lanzamiento. Introduzca ejes coordenados como se muestra en la figura (no a escala).

(a) Si el martillo se suelta en \( \displaystyle \left(-4,\ -3\right) \) y se desplaza en la dirección tangente, ¿dónde golpeará a la pantalla?

(b)  Si el martillo debe golpear en \( \displaystyle \left(0,\ -50\right) \), ¿dónde debe soltarse en el círculo?


Para encontrar la solución del inciso (a) estaba buscando la ecuación de la recta tangente al círculo en \( \displaystyle \left(-4,\ -3\right) \), pero no la he encontrado porque no he obtenido otra relación mas qúe la de la recta con el círculo (el punto de tangencia).

Se requiere la solución más elemental posible.

[delmar]

Hola

a) La idea que tienes es correcta. El gráfico corresponde a esta situación, observa que la recta tangente a la circunferencia en P (-4,-3) es perpendicular al radio en P; esto implica que la pendiente de la recta tangente m cumple : \( m \ m_p=-1 \) donde \( m_p \) es la pendiente del radio en P, \( m_p=\displaystyle\frac{-3}{-4}=\displaystyle\frac{3}{4} \).

En consecuencia : \( m(3/4)=-1\Rightarrow{m=\displaystyle\frac{-4}{3}} \) la ecuación de la tangente será : \( y=mx+b \), se sabe que pasa por P, esto es suficiente para determinar la constante b

b) En este caso se desconoce el punto de tangencia \( T (x_1,y_1) \), la pendiente de todo radio que pasa por T, es \( \displaystyle\frac{y_1}{x_1} \). La pendiente de la tangente a la circunferencia en T, es m y se tendrá por ser penpendicular al radio : \( \displaystyle\frac{y_1}{x_1} m=-1 \) de acá se obtiene m como una función de las coordendas de T, \( m=\displaystyle\frac{-x_1}{y_1} \)
La ecuación de la tangente es \( y=mx+b \), por pasar por (0,-50), se obtiene b,  (b=-50).

T pertenece a la recta tangente y a la circunferencia, luego cumple las ecuaciones :

\( y=mx+b \) Ec. 1

\( x^2+y^2=25 \) Ec. 2

Haciendo \( x=x_1, \ \ y=y_1 \) se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que se puede resolver. luego se halla m

Saludos


Saludos

[Alexander]

Hola

a) La idea que tienes es correcta. El gráfico corresponde a esta situación, observa que la recta tangente a la circunferencia en P (-4,-3) es perpendicular al radio en P; esto implica que la pendiente de la recta tangente m cumple : \( m \ m_p=-1 \) donde \( m_p \) es la pendiente del radio en P, \( m_p=\displaystyle\frac{-3}{-4}=\displaystyle\frac{3}{4} \).

En consecuencia : \( m(3/4)=-1\Rightarrow{m=\displaystyle\frac{-4}{3}} \) la ecuación de la tangente será : \( y=mx+b \), se sabe que pasa por P, esto es suficiente para determinar la constante b

b) En este caso se desconoce el punto de tangencia \( T (x_1,y_1) \), la pendiente de todo radio que pasa por T, es \( \displaystyle\frac{y_1}{x_1} \). La pendiente de la tangente a la circunferencia en T, es m y se tendrá por ser penpendicular al radio : \( \displaystyle\frac{y_1}{x_1} m=-1 \) de acá se obtiene m como una función de las coordendas de T, \( m=\displaystyle\frac{-x_1}{y_1} \)
La ecuación de la tangente es \( y=mx+b \), por pasar por (0,-50), se obtiene b,  (b=-50).

T pertenece a la recta tangente y a la circunferencia, luego cumple las ecuaciones :

\( y=mx+b \) Ec. 1

\( x^2+y^2=25 \) Ec. 2

Haciendo \( x=x_1, \ \ y=y_1 \) se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que se puede resolver. luego se halla m

Saludos


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Gracias por las observaciones.