Autor Tema: Función con un conjunto denso de discontinuidades

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25 Abril, 2018, 03:23 pm
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llanten

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Hola a todos, quisiera me colaboren con ideas para realizar el siguiente ejercicio. Gracias.

Dada la función \( f\left( x \right) =\begin{cases} x-n,\quad donde\quad n\quad es\quad el\quad entero\quad mas\quad cercano\quad a\quad x \\ 0,\quad x=\pm \frac { 1 }{ 2 } ,\pm \frac { 3 }{ 2 } \pm ,\dots  \end{cases} \), con \( { f }_{ n }\left( x \right) =f\left( nx \right)  \) y \( g\left( x \right) =\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { f }_{ n }\left( x \right)  }{ { n }^{ 2 } }  }  \). Demostrar:

a) La función \( g(x) \) es discontinua en los puntos de la forma \( x=\frac { p }{ 2q } ,\quad p\quad impar,\quad \left( p,q \right) =1
 \).

b) El conjunto de discontinuidades es denso en \( \left( -1,1 \right)  \).

25 Abril, 2018, 04:43 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola a todos, quisiera me colaboren con ideas para realizar el siguiente ejercicio. Gracias.

Dada la función \( f\left( x \right) =\begin{cases} x-n,\quad donde\quad n\quad es\quad el\quad entero\quad mas\quad cercano\quad a\quad x \\ 0,\quad x=\pm \frac { 1 }{ 2 } ,\pm \frac { 3 }{ 2 } \pm ,\dots  \end{cases} \), con \( { f }_{ n }\left( x \right) =f\left( nx \right)  \) y \( g\left( x \right) =\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { f }_{ n }\left( x \right)  }{ { n }^{ 2 } }  }  \). Demostrar:

a) Las discontinuidades son de la forma \( x=\frac { p }{ 2q } ,\quad p\quad impar,\quad \left( p,q \right) =1
 \).

¿Las discontinuidades de qué función?.

Citar
b) El conjunto de discontinuidades es denso en \( \left( -1,1 \right)  \).

El conjunto de puntos indicado en (a) es fácil ver que es denso en \( \mathbb{R} \) (y por tanto en cualquier abierto).

Para cualquier abierto \( (a,b) \) por la densidad de los racionales existen fracciones irreducibles \( n/m \) y \( n'/m' \) tales que:

\( a<\dfrac{n}{m}<\dfrac{n'}{m'}<b \)

si \( m \) o \( m' \) son pares ya lo tienes; en otro caso:

\( a<\dfrac{n}{m}=\dfrac{nm'}{mm'}<\dfrac{n'm}{mm'}<b \)

y por tanto \( 2nm'<2nm'+1<2n'm \) y \( \dfrac{2nm'+1}{2mm'}\in (a,b) \).

Saludos.

25 Abril, 2018, 04:56 pm
Respuesta #2

llanten

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Gracias amigo Luis Fuentes.  En a) se pide demostrar que las discontinuidades para la función \( g(x) \) son de la forma \( x=\frac { p }{ 2q },\quad p \quad impar, \quad \left( p,q \right) =1. \)

30 Abril, 2018, 10:15 am
Respuesta #3

martiniano

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Hola, buenos días.
Para contestar al apartado a) yo empezaría con algo así:

\( \left |{\displaystyle\frac{f_n(x)}{n^2}}\right |<\displaystyle\frac{1}{n^2} \)

Entonces, como \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\displaystyle\frac{1}{n^2} \) es convergente, por el criterio de Weierstrass, g(x) es uniformemente convergente. Gracias a eso podemos decir que:

\(  \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{g(x)}=\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f_n(x)}}{n^2} \)

Entonces, si \( x_0\neq{\displaystyle\frac{p}{2q}} \) , como todas las \( f_n \) serán continuas en \( x_0 \) también lo será \( g \).

Y si \( x_0=\displaystyle\frac{p}{2q} \). Entonces \( \forall{k} \) impar:
\( f_{kq}(x_0)=0 \)

Si \(  n\neq{kq} \):
\( \displaystyle\lim_{x \to{x_0^+}}{f_n(x)}=f_n(x_0) \)

Y también:
\( \displaystyle\lim_{x \to{x_0^+}}{f_{kq}(x)}=-1/2 \)

Entonces, para todos los \( k \) impares:
\(  \displaystyle\lim_{x \to{x_0^+}}{g(x)}=\sum_{n\neq{kq}}\displaystyle\frac{f_n(x_0)}{n^2}+ \sum_{n=kq} \displaystyle\frac{-1/2}{n^2}\neq{\sum_{n\neq{kq}}\displaystyle\frac{f_n(x_0)}{n^2}}=\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{f_n(x_0)}{n^2}=g(x_0) \)

Y, por tanto, \( g(x) \) es discontinua en \( x_0=\displaystyle\frac{p}{2q} \).

Se podría haber razonado de forma similar con los límites por la izquierda.

Espero que sirva de algo. Saludos.


12 Mayo, 2018, 12:03 am
Respuesta #4

llanten

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Ok, gracias amigo martiniano. Había utilizado lo de la serie la cual es una serie \( p>1 \) y por tanto convergente, pero tenía dudas en lo del limite por la derecha y por izquierda. 

12 Mayo, 2018, 12:15 am
Respuesta #5

llanten

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No me es claro porque el limite por la derecha es \( -1/2  \). Puedes por favor explicarme un poco más. Gracias.

12 Mayo, 2018, 09:29 am
Respuesta #6

martiniano

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Muy buenas.
Ok, gracias amigo martiniano. Había utilizado lo de la serie la cual es una serie \( p>1 \) y por tanto convergente, pero tenía dudas en lo del limite por la derecha y por izquierda. 
Para poder aplicar lo de los límites es importante ver que la serie es, no sólo convergente, sino uniformemente convergente. Si una serie de funciones no es uniformemente convergente, aunque fuese convergente, no sería lícito decir que el límite de la serie es la suma de los límites de sus sumandos.

No me es claro porque el limite por la derecha es \( -1/2  \). Puedes por favor explicarme un poco más. Gracias.
Observa que \( f(x) \) es una función periódica de periodo 1 de la que se puede decir:
\( f(x)=\begin{cases} x & \text{si}& x\in{\left(-\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{2} \right) }\\0 & \text{si}& x=\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases} \)

Entonces, substituyendo \( k=2k'+1 \) y \( p=2p'+1 \):
\(  \displaystyle\lim_{x \to\left( \displaystyle\frac{p}{2q} \right)^+ }{f_{kq}(x)}=\displaystyle\lim_{x \to\left( \displaystyle\frac{p}{2q} \right)^+ }{f(kqx)} = \displaystyle\lim_{x \to p^+ }{f(k\displaystyle\frac{x}{2})}= \displaystyle\lim_{x \to  (2p'+1)^+ }{f((2k'+1)\displaystyle\frac{x}{2})}=\displaystyle\lim_{x \to 1^+ }{f(\displaystyle\frac{x}{2})}=-\displaystyle\frac{1}{2} \)

Saludos.



12 Mayo, 2018, 07:15 pm
Respuesta #7

llanten

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Gracias amigo martiniano. Me queda la duda cuánto vale el limite por la izquierda.

13 Mayo, 2018, 12:05 am
Respuesta #8

martiniano

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Hola,
Sí, pues vale \(  \displaystyle\frac{1}{2} \)
Razonando igual, sólo que por la izquierda.
Saludos.

13 Mayo, 2018, 06:10 pm
Respuesta #9

llanten

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Ok, gracias. Según tu razonamiento, esto mismo se hace para los \( x\in{(-3/2,3/2)} \), y así sucesivamente, concluyendo que el limite para \( f  \) no existe en los extremos de estos intervalos?

13 Mayo, 2018, 06:35 pm
Respuesta #10

llanten

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Si \( x\neq{p/2q} \) entonces f es continua, por lo cual la función \( g(x) \) es uniformemente continua. ¿ Entonces \(  f \) en los puntos distintos de tales \(  x \) que limite tomaría o igual no existe el limite? Gracias.

14 Mayo, 2018, 10:13 am
Respuesta #11

martiniano

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Hola, ¿como estás?
Yo veo las cosas de la siguiente manera. En lo que has dicho aquí coincido plenamente contigo:
Ok, gracias. Según tu razonamiento, esto mismo se hace para los \( x\in{(-3/2,3/2)} \), y así sucesivamente, concluyendo que el limite para \( f  \) no existe en los extremos de estos intervalos?

Ahora bien, en lo que has dicho aquí no tanto:
Si \( x\neq{p/2q} \) entonces f es continua, por lo cual la función \( g(x) \) es uniformemente continua.

Yo diría que, por lo que tú has dicho en el mensaje en el que coincidimos ambos, en \( x=p/2q \) son discontinuas las funciones del tipo: \( f_{kq}(x) \) para todos los k impares.

Por otro lado, en \( x\neq{p/2q} \) todas las  \( f_n(x) \) son continuas, también por lo de la misma sentencia que ambos consideramos verdadera.

Ahora vayamos con la función g(x). Yo intenté demostrar en mi primera respuesta que g(x) converge uniformemente porque simplemente cumple el criterio de Weierstrass. Es este hecho el que nos permite asegurar que, para cualquier \( x_0 \):

\(  \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{g(x)}=\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f_n(x)}}{n^2} \)

Como consecuencia de esto último podemos decir que allá donde las  \( f_n(x) \) sean todas continuas, también lo será g(x).

También como consecuencia de esto último y del valor de los límites laterales que hemos calculado aquí:
Entonces, substituyendo \( k=2k'+1 \) y \( p=2p'+1 \):
\(  \displaystyle\lim_{x \to\left( \displaystyle\frac{p}{2q} \right)^+ }{f_{kq}(x)}=\displaystyle\lim_{x \to\left( \displaystyle\frac{p}{2q} \right)^+ }{f(kqx)} = \displaystyle\lim_{x \to p^+ }{f(k\displaystyle\frac{x}{2})}= \displaystyle\lim_{x \to  (2p'+1)^+ }{f((2k'+1)\displaystyle\frac{x}{2})}=\displaystyle\lim_{x \to 1^+ }{f(\displaystyle\frac{x}{2})}=-\displaystyle\frac{1}{2} \)
podemos demostrar que los límites de g(x) en \( x_0=\displaystyle\frac{p}{2q} \) son distintos a \( g\left( \displaystyle\frac{p}{2q} \right) \), y por tanto g(x) es discontinua en esos puntos:


Espero que haya quedado un poco más claro ;). Saludos

14 Mayo, 2018, 03:15 pm
Respuesta #12

llanten

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Gracias amigo martiniano, le agradezco su explicación.

15 Mayo, 2018, 02:12 pm
Respuesta #13

llanten

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Entonces, para todos los \( k \) impares:
\(  \displaystyle\lim_{x \to{x_0^+}}{g(x)}=\sum_{n\neq{kq}}\displaystyle\frac{f_n(x_0)}{n^2}+ \sum_{n=kq} \displaystyle\frac{-1/2}{n^2}\neq{\sum_{n\neq{kq}}\displaystyle\frac{f_n(x_0)}{n^2}}=\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{f_n(x_0)}{n^2}=g(x_0) \)

Y, por tanto, \( g(x) \) es discontinua en \( x_0=\displaystyle\frac{p}{2q} \).

Se podría haber razonado de forma similar con los límites por la izquierda.

Espero que sirva de algo. Saludos.


Supongo amigo martiniano, que en esta igualdad en lugar del símbolo \( + \) va es un \( = \). Según tu razonamiento se concluiría por lo anterior que por un lado se llega a \(  -\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } }  }   \) que es distinto a \(  g\left( { x }_{ 0 } \right)  \), este último que valor toma es decir \( g\left( { x }_{ 0 } \right) = \)? Gracias.

15 Mayo, 2018, 02:23 pm
Respuesta #14

llanten

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si \( m \) o \( m' \) son pares ya lo tienes; en otro caso:

\( a<\dfrac{n}{m}=\dfrac{nm'}{mm'}<\dfrac{n'm}{mm'}<b \)

y por tanto \( 2nm'<2nm'+1<2n'm \) y \( \dfrac{2nm'+1}{2mm'}\in (a,b) \).

Saludos.

Revisando esta parte nuevamente, realizada por mi amigo Luis Fuentes, no me es claro  porque \( 2nm'+1<2n'm  \) y de ahí se siga que \( \dfrac{2nm'+1}{2mm'}\in (a,b) \)?  Realizando algunos cálculos particulares no me dan esas cuentas, podrías explicarme este hecho. Gracias.

15 Mayo, 2018, 04:52 pm
Respuesta #15

martiniano

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Hola llantén.
Pues yo por mi parte mantengo ese +. Se trata de una reordenación de los términos de la serie, que se puede hacer pues la serie converge absolutamente.
Saludos.

16 Mayo, 2018, 10:52 am
Respuesta #16

Luis Fuentes

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Hola


si \( m \) o \( m' \) son pares ya lo tienes; en otro caso:

\( a<\dfrac{n}{m}=\dfrac{nm'}{mm'}<\dfrac{n'm}{mm'}<b \)

y por tanto \( 2nm'<2nm'+1<2n'm \) y \( \dfrac{2nm'+1}{2mm'}\in (a,b) \).

Revisando esta parte nuevamente, realizada por mi amigo Luis Fuentes, no me es claro  porque \( 2nm'+1<2n'm  \) y de ahí se siga que \( \dfrac{2nm'+1}{2mm'}\in (a,b) \)?  Realizando algunos cálculos particulares no me dan esas cuentas, podrías explicarme este hecho.

\( nm'<n'm\quad \Rightarrow{}\quad nm'+1\leq n'm\quad \Rightarrow{}\quad 2nm'+2\leq 2n'm\quad \Rightarrow{}\quad 2nm'+1< 2n'm \)

En el primer paso es clave que los números implicados son enteros.
Saludos.

16 Mayo, 2018, 03:04 pm
Respuesta #17

llanten

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Gracias amigo Luis Fuentes y amigo martiniano por la explicación para resolver este ejercicio.