Autor Tema: Demuestre que es un bisector perpendicular o una circunferencia

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15 Mayo, 2018, 02:52 pm
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cristianoceli

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Hola, tengo dudas con esta demostración. La verdad no lo entiendo muy bien, no lo veo claro

Sean \( a \) y \( b \) dos números complejos distintos. Dado \( \lambda \in{\mathbb{R}}  \) positivo, considere el conjunto

\( A_\lambda =  \{ z\in{\mathbb{C} ; | \displaystyle\frac{z-a}{z-b}} | = \lambda \}  \)

Demuestre que:

a) Si \( \lambda = 1, A_\lambda   \) es el bisector perpendicular dels egmento que une \( a \) con \( b \)
b) Si \( \lambda \neq{1} , A_\lambda \) es una circunferencia

De antemano muchas gracias

15 Mayo, 2018, 09:07 pm
Respuesta #1

robinlambada

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Hola:
Hola, tengo dudas con esta demostración. La verdad no lo entiendo muy bien, no lo veo claro

Sean \( a \) y \( b \) dos números complejos distintos. Dado \( \lambda \in{\mathbb{R}}  \) positivo, considere el conjunto

\( A_\lambda =  \{ z\in{\mathbb{C} ; | \displaystyle\frac{z-a}{z-b}} | = \lambda \}  \)

Demuestre que:

a) Si \( \lambda = 1, A_\lambda   \) es el bisector perpendicular dels egmento que une \( a \) con \( b \)
b) Si \( \lambda \neq{1} , A_\lambda \) es una circunferencia

De antemano muchas gracias
Te indico como comenzar el apartado a) el b) es similar aunque un poco más complejo algebraicamente.

Utiliza la representación binómica \( z=x+yi \) , \( a=a_1+a_2i \) y  \( b=b_1+b_2i \)

Recuerda que si \( z=a+bi \) , entonces \( \left |{z}\right |^2=|a+bi|^2=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2 \) (*)

Si \( \lambda=1\Rightarrow{}\left |{\displaystyle\frac{z-a}{z-b}}\right |=\displaystyle\frac{\left |{z-a}\right |}{\left |{z-b}\right |}=1\Leftrightarrow{}\left |{z-a}\right |=\left |{z-b}\right | \)(**)

Desarrolla (**) utilizando (*) y verás que se simplifican los términos al cuadrado quedando una función lineal, solo debes comprobar que es perpendicular al segmento que va de \( a=a_1+a_2i\equiv{}(a_1,a_2) \) hasta \( b=b_1+b_2i\equiv{}(b_1,b_2) \)

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

16 Mayo, 2018, 09:16 pm
Respuesta #2

cristianoceli

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Hola:
Hola, tengo dudas con esta demostración. La verdad no lo entiendo muy bien, no lo veo claro

Sean \( a \) y \( b \) dos números complejos distintos. Dado \( \lambda \in{\mathbb{R}}  \) positivo, considere el conjunto

\( A_\lambda =  \{ z\in{\mathbb{C} ; | \displaystyle\frac{z-a}{z-b}} | = \lambda \}  \)

Demuestre que:

a) Si \( \lambda = 1, A_\lambda   \) es el bisector perpendicular dels egmento que une \( a \) con \( b \)
b) Si \( \lambda \neq{1} , A_\lambda \) es una circunferencia

De antemano muchas gracias
Te indico como comenzar el apartado a) el b) es similar aunque un poco más complejo algebraicamente.

Utiliza la representación binómica \( z=x+yi \) , \( a=a_1+a_2i \) y  \( b=b_1+b_2i \)

Recuerda que si \( z=a+bi \) , entonces \( \left |{z}\right |^2=|a+bi|^2=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2 \) (*)

Si \( \lambda=1\Rightarrow{}\left |{\displaystyle\frac{z-a}{z-b}}\right |=\displaystyle\frac{\left |{z-a}\right |}{\left |{z-b}\right |}=1\Leftrightarrow{}\left |{z-a}\right |=\left |{z-b}\right | \)(**)

Desarrolla (**) utilizando (*) y verás que se simplifican los términos al cuadrado quedando una función lineal, solo debes comprobar que es perpendicular al segmento que va de \( a=a_1+a_2i\equiv{}(a_1,a_2) \) hasta \( b=b_1+b_2i\equiv{}(b_1,b_2) \)

Saludos.

Muchas gracias robinlambada por lo de hoy y o de siempre

Saludos