Autor Tema: Duda con despeje de logaritmos.

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21 Mayo, 2018, 08:27 pm
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cronopiomx

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Hola a todos.

Espero puedan ayudarme, busco una explicación de como llegar desde la fracción logarítmica (1) hacia la (2):

(1)
\[ \dfrac{\log_{2}(n)}{\log_{2}(n/p)} =  \]

(2)
\[ =\dfrac{1}{1 - \frac{\log_{2}(p)}{\log_{2}(n)}}  \]


Luego estiman que haciendole una transformacion a la (2) mediante series de Taylor se llega a:
(3)
\[ \approx{=}1+  \dfrac{\log_{2}(p)}{\log_{2}(n)} + O(x^2) \]

Sin ser conocedor de fundamentos matemáticos avanzados pienso que desarrollando la formula (1) se puede llegar a la formula (3) sin aplicar serie de Taylor. De que forma se pudiera transformar sin usar Series de Taylor? sino fuese posible en que se fundamente la aproximación usando Taylor?

Saludos y gracias,




21 Mayo, 2018, 10:24 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Para ver la equivalencia entre (1) y (2) tienes que aplicar la identidad algebraica de cambio de base del logaritmo definida como \[ \log_y(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(y)} \], para valores \[ x,y>0 \]; y la identidad \[ \log (x\cdot y)=\log(x)+\log(y) \], en tu caso más bien \[ \log(x/y)=\log(x)-\log(y) \].

Y luego de (2) pasas a (3) con la identidad de la serie geométrica \[ \frac1{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k \] cuando \[ x\to 0 \] que es válida para valores tales que \[ |x|<1 \], lo que significa que tenemos que considerar que \[ \left|\frac{\log_2(p)}{\log_2(n)}\right|=\left|\frac{\ln(p)}{\ln(n)}\right|< 1 \]. La identidad de la serie geométrica se puede escribir usando la notación de Landau como \[ \frac1{1-x}\in 1+x+\ldots+x^n+O(x^{n+1}) \] cuando \[ x \] tiende a cero para cualquier \[ n\in\Bbb N \] que elijamos, en tu caso para \[ n=1 \]. (Aunque la serie geométrica es la serie de Maclaurin de la función \[ f(x):=\frac1{1-x} \], dicho de otro modo, la serie de Taylor de \[ f \] alrededor de \[ x=0 \].)

Otra forma de pasar de (2) a (3) sería verificar directamente que

\[ \displaystyle \frac1{1-y}-1-y\in O(y^2),\quad\text{ cuando }y\to 0\tag{*} \]

para \[ y:=\frac{\ln p}{\ln n}=\frac{\ln(n)}{\ln(p)} \]. Para verificar (*) arreglamos el lado izquierdo, quedando la expresión \[ \frac{y^2}{1-y}\in O(y^2),\quad\text{cuando }y\to 0 \], y usando la definición de la notación de Landau lo anterior en este caso es equivalente a decir que \[ \lim_{y\to 0}\frac{\frac{y^2}{1-y}}{y^2}\in\Bbb R \], lo cual es cierto ya que tal límite es \[ 1 \].

No sé si te habrá quedado claro.



EDICIÓN: no es necesario que \[ \left|\frac{\log_2(p)}{\log_2(n)}\right|=\left|\frac{\ln(p)}{\ln(n)}\right|< 1 \], se puede usar el teorema de Taylor directamente, el cual no necasita que la serie de Taylor exista o que ésta sea convergente.

22 Mayo, 2018, 04:34 pm
Respuesta #2

cronopiomx

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Ahora entiendo mejor, muchas gracias, Saludos!