Autor Tema: Problema de Aritmética modular.

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10 Mayo, 2018, 10:05 pm
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Eltioraperas

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Como se resuelve este problema mediante modulos???? (Aritmetica modular)
Disponemos de una cantidad total de 353€ entre monedas de 2€ y billetes de 5€. Sabemos que el importe total en euros que tenemos es  una potencia de base 2 y exponente natural, y el que hay en billetes es un cuadrado perfecto. Determinar :
¿Cuántas monedas y cuántos billetes tenemos?
 :banghead:
Este problema lo pusieron en las olimpiadas matematicas de mi ciudad pero mi profesor me dijo que tambien se podia hacer mediante modulos pero no me dijo como. Se hacer modulos pero no se como hacer este problema

10 Mayo, 2018, 10:29 pm
Respuesta #1

martiniano

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Buenas noches.
El problema es el mismo, pero en dos hilos diferentes, ¿no?
Es que o bien he entendido mal el enunciado o algo falla, porque por un lado dices que el importe total en euros es 353, y por otro que es una potencia de 2. ???
Saludos

10 Mayo, 2018, 10:36 pm
Respuesta #2

sugata

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Buenas noches.
El problema es el mismo, pero en dos hilos diferentes, ¿no?
Es que o bien he entendido mal el enunciado o algo falla, porque por un lado dices que el importe total en euros es 353, y por otro que es una potencia de 2. ???
Saludos

Me pasa igual.
Para mi quiere decir que el dinero en monedas es potencia de 2, ya que luego dice que los billetes son un cuadrado.

10 Mayo, 2018, 10:57 pm
Respuesta #3

martiniano

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Sí lo he pensado, pero no sé...
Los únicos cuadrados perfectos \( c^2\equiv{0} (mod 5) \) menores que 353 son: 25, 100 y 225.
El único que al restarlo a 353 da potencia de 2 es:
\( 353-225=2^7 \)
Y con esto ya práctiamente estaría.
He utilizado toda la aritmética modular que he podido, pero te confieso que he tenido que forzar...
Saludos.

11 Mayo, 2018, 12:05 am
Respuesta #4

Juan Pablo Sancho

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Yo lo pensé mal desde el principio, creía que era algo como \(  353 = 2^n \cdot 2 + 5 \cdot m^2  \) que no tiene solución.

11 Mayo, 2018, 12:31 am
Respuesta #5

feriva

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Este problema lo pusieron en las olimpiadas matematicas de mi ciudad pero mi profesor me dijo que tambien se podia hacer mediante modulos pero no me dijo como. Se hacer modulos pero no se como hacer este problema

¿Has visto ecuaciones diofánticas?

Si fuera así, lo primero que se tiene es la ecuación

\( 353=2x+5y
  \)

Si la sabes resolver con el algoritmo de Euclides y eso te salen estas soluciones

\( x=5z+4
  \)

\( y=69-2z
  \)

Ahora, sustituyendo

\( 353=2(5z+4)+5(69-2z)
  \)

*\( 5(69-2z)=n^{2}
  \)

\( 2(5z+4)=2^{k}
  \)

o sea

\( (5z+4)=2^{k-1}
  \)

\( z=\dfrac{2^{k-1}-4}{5}
  \)

Sustituyendo en *

\( 5(69-2(\dfrac{2^{k-1}-4}{5}))=n^{2}
  \)

\( 5(69+\dfrac{-2^{k}+8}{5})=n^{2}
  \)

\( 353-2^{k}=n^{2}
  \) donde k=7; n=15

Entonces

\( z=\dfrac{64-4}{5}=12
  \)

\( x=5(12)+4=64
  \) monedas de dos euros

\( y=69-24=45
  \) billetes de 5.

Saludos.

11 Mayo, 2018, 04:09 am
Respuesta #6

Abdulai

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...Disponemos de una cantidad total de 353€ entre monedas de 2€ y billetes de 5€. Sabemos que el importe total en euros que tenemos es  una potencia de base 2 y exponente natural, y el que hay en billetes es un cuadrado perfecto. Determinar :
¿Cuántas monedas y cuántos billetes tenemos?
 :banghead:
Este problema lo pusieron en las olimpiadas matematicas de mi ciudad pero mi profesor me dijo que tambien se podia hacer mediante modulos pero no me dijo como. Se hacer modulos pero no se como hacer este problema

Yo lo veo de esta manera:   \( 353 = 2\;2^M+5 B \)

Con módulo 5 resulta  \( 353 \equiv 3 \equiv 2^{M+1} + 0 \) , las únicas potencias de 2 posibles son  \( 2^{2+1}\equiv 3 \) y  \( 2^{6+1}\equiv 3 \)   pero solamente  \( 353 - 128 = 225 = 15^2 \) es un cuadrado perfecto.
\( \therefore\quad M=2^6=64\;,\;B=5\cdot 3^2=45 \)


Sin aritmética modular (mas diferenciar pares de impares) no hay gran diferencia, pues siendo el importe en billetes un cuadrado perfecto tenemos que:  \( 353 = 2\;2^M+5\cdot\underbrace{5 n^2}_{B} \)
Como \( 2\;2^M \) es par ==> debe ser  \( n \) impar.  Esto nos da solamente dos posibilidades para \( n=1,3 \) porque de 5 en adelante ya es mayor de 353.
Solamente con \( n=3 \)  resulta una potencia de 2 : \( 353-\underbrace{5*5*3*3}_{225=15^2}=128= 2^{6+1} \)
\( \therefore\quad M=2^6=64\;,\;B=5\cdot 3^2=45 \)

12 Mayo, 2018, 01:50 pm
Respuesta #7

Eltioraperas

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Este problema lo pusieron en las olimpiadas matematicas de mi ciudad pero mi profesor me dijo que tambien se podia hacer mediante modulos pero no me dijo como. Se hacer modulos pero no se como hacer este problema

¿Has visto ecuaciones diofánticas?

Si fuera así, lo primero que se tiene es la ecuación

\( 353=2x+5y
  \)

Si la sabes resolver con el algoritmo de Euclides y eso te salen estas soluciones

\( x=5z+4
  \)

\( y=69-2z
  \)

Ahora, sustituyendo

\( 353=2(5z+4)+5(69-2z)
  \)

*\( 5(69-2z)=n^{2}
  \)

\( 2(5z+4)=2^{k}
  \)

o sea

\( (5z+4)=2^{k-1}
  \)

\( z=\dfrac{2^{k-1}-4}{5}
  \)

Sustituyendo en *

\( 5(69-2(\dfrac{2^{k-1}-4}{5}))=n^{2}
  \)

\( 5(69+\dfrac{-2^{k}+8}{5})=n^{2}
  \)

\( 353-2^{k}=n^{2}
  \) donde k=7; n=15

Entonces

\( z=\dfrac{64-4}{5}=12
  \)

\( x=5(12)+4=64
  \) monedas de dos euros

\( y=69-24=45
  \) billetes de 5.

Saludos.
en la parte de \( 353-2^{k}=n^{2}
  \) donde k=7; n=15 de donde sacaste el k=7 y el n=15 es lo unico que no se lo demas si lo entiendo

12 Mayo, 2018, 08:16 pm
Respuesta #8

feriva

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en la parte de \( 353-2^{k}=n^{2}
  \) donde k=7; n=15 de donde sacaste el k=7 y el n=15 es lo unico que no se lo demas si lo entiendo

Ah, perdóname que se me olvidó citar a martiniano, que lo explica en su segunda respuesta, la respuesta #3 del hilo; ahí lo explica él (pensaba haberlo citado pero mientras hacía las cuentas se me fue de la cabeza).

Saludos.