Autor Tema: Curva algebraica plana

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09 Mayo, 2018, 04:53 pm
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conchivgr

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Hola.

Dado un cuerpo \( K \) y sea \( K[X] \) el anillo de polinomios definido en el cuerpo \( K \) en la indeterminada \( X \)definimos el cuerpo de funciones racionales como:

\( K(x)=\left\{{\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}, f(x),g(x)\in{K[X]},g(x)\neq{0} }\right\} \)

Ahora, me dicen que una curva afín, es una extensión algebraica finita del cuerpo de funciones racionales \( K(x) \), determinada por un polinomio (el ideal generado por él), la cual introduce una nueva variable.

Podría alguien poner un ejemplo?.

Tomemos, por ejemplo, \( K=\mathbb{C} \). Entonces el cuerpo de funciones racionales es \( \mathbb{C}(x) \). Entendido.

Ahora, tomemos el polinomio \( y^2-x \).

Cómo se extiende \( \mathbb{C}(x) \) usando el polinomio anterior?. Y qué significa esta extensión dada por el polinomio?

Es simplemente el conjunto de puntos \( (x,y) \) de \( \mathbb{C^2} \) que verifican \( y^2-x=0 \)?.

Por otro lado, la curva es una variedad \( V \) de dimensión \( 1 \).

Cómo es el cuerpo de funciones racionales \( \mathbb{C}(V) \)?.

Lo necesito entender, porque ahora quiero extender \( \mathbb{C}(V) \) para obtener otra curva que sea una cubierta de la primera.

Necesito algún ejemplo muy concreto para poder terminar de entender esto.

Muchísimas gracias y besos.