En el espacio medible \( (\mathbb{N},P(\mathbb{N}) \), me gustaría probar que para toda medida \( \mu:P(\mathbb{N})\to \overline{\mathbb{R}}_{+} \), existe una secuencia \( (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq \overline{\mathbb{R}}_{+} \) tal que \( \mu(A)=0 \) si \( A=\emptyset \) y \( \mu(A)=\sum_{n\in A}a_n si A\not=\emptyset. \)
Tengo lo siguiente:
Para A infinito numerable\( A=\left\{n_1,n_2,\ldots \right\} \) entonces
\( \mu(A)=\mu(\bigcup_{k=1}^{\infty}\left\{n_k\right\})\leq \sum_{k=1}^{\infty} \mu(n_k)=\sum_{m\in A} \mu(m) \) y acá defino \( a_m=\mu(m). \)
Entonces la secuencia es \( (a_n)_n=(\mu(n))_n. \)
Me gustaría probar que \( \mu \) sigma-finita si y sólo si \( a_n<\infty \)para todo \( n\in\mathbb{N} \)
Para la implicancia hacia la izquierda, tengo que para todo \( n,\ a_n<\infty, \) es decir, para todo \( n\, \mu(n)<\infty \), luego basta tomar la secuencia \( (\left\{n\right\})_{n\in \mathbb{N}} \) pues así \( \mathbb{N}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \left\{n\right\}\ y\ \mu(\left\{n\right\})=a_n<\infty \). Pero la implicancia implicación hacia la derecha no sé como demostrarla.
