Autor Tema: ¿Una función representa una distancia?

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01 Mayo, 2018, 03:12 pm
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hortiz

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Buenos días me podrían ayudar con esta pregunta, gracias por anticipado.

¿Es la función \(  f: \mathbb{R}\rightarrow{}\mathbb{R} \) definida por \( f(x)=\left |{x}\right | \) una distancia en \( \mathbb{R} \).

01 Mayo, 2018, 05:28 pm
Respuesta #1

martiniano

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Yo diría que no, porque una distancia debe tomar parejas de elementos de un mismo conjunto, y la aplicación propuesta toma números reales de uno en uno

01 Mayo, 2018, 05:40 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

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¿Es la función \(  f: \mathbb{R}\rightarrow{}\mathbb{R} \) definida por \( f(x)=\left |{x}\right | \) una distancia en \( \mathbb{R} \).

Ciertamente no lo es por las razones que te da martiniano. Lo que si es un conocido ressultado es que si \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) es función estrictamente creciente, endonces \( d(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right| \) es una distancia en \( \mathbb{R} \). Mira aquí.

01 Mayo, 2018, 06:28 pm
Respuesta #3

hortiz

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Yo diría que no, porque una distancia debe tomar parejas de elementos de un mismo conjunto, y la aplicación propuesta toma números reales de uno en uno

Buenos días, ¿se podría demostrar algebraicamente?, muchas gracias.

01 Mayo, 2018, 06:29 pm
Respuesta #4

hortiz

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¿Es la función \(  f: \mathbb{R}\rightarrow{}\mathbb{R} \) definida por \( f(x)=\left |{x}\right | \) una distancia en \( \mathbb{R} \).

Ciertamente no lo es por las razones que te da martiniano. Lo que si es un conocido ressultado es que si \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) es función estrictamente creciente, endonces \( d(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right| \) es una distancia en \( \mathbb{R} \). Mira aquí.

Interesante, muchas gracias

01 Mayo, 2018, 06:49 pm
Respuesta #5

martiniano

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Hola buenas.
Sí bueno, es que una aplicación para ser distancia debe estar definida a partir de aquí:
\( f:A\times{A}\rightarrow{\mathbb{R}^+} \)
Y aparte cumplir unas propiedades que se pueden comprobar cuando la aplicación encaja en el prototipo que digo.
La aplicación que propones no es de éstas.
Saludos

01 Mayo, 2018, 07:08 pm
Respuesta #6

hméndez

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¿Es la función \(  f: \mathbb{R}\rightarrow{}\mathbb{R} \) definida por \( f(x)=\left |{x}\right | \) una distancia en \( \mathbb{R} \).

Ciertamente no lo es por las razones que te da martiniano. Lo que si es un conocido ressultado es que si \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) es función estrictamente creciente, endonces \( d(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right| \) es una distancia en \( \mathbb{R} \). Mira aquí.

Preguntan por una distancia en \( \mathbb{R} \)...
¿No podría serlo..., si se entiende como la distancia del número \( x \) al origen?

Saludos

01 Mayo, 2018, 07:56 pm
Respuesta #7

hortiz

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Buenas Tardes muchas gracias por su ayuda, ahora la pregunta seria: ¿Que clases de funciones representan una distancia en R?, saludos.

01 Mayo, 2018, 08:31 pm
Respuesta #8

martiniano

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02 Mayo, 2018, 03:38 am
Respuesta #9

hortiz

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Buenas noches , gracias por la ayuda ,me puedes recomendar algún libro .

02 Mayo, 2018, 09:38 am
Respuesta #10

martiniano

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Pues de topología el Munkress está bien,  pero no sé si es lo que buscas. De espacios métricos no sabría recomendarte, la verdad, y a mí también me interesaría.

¿Es la función \(  f: \mathbb{R}\rightarrow{}\mathbb{R} \) definida por \( f(x)=\left |{x}\right | \) una distancia en \( \mathbb{R} \).

Ciertamente no lo es por las razones que te da martiniano. Lo que si es un conocido ressultado es que si \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) es función estrictamente creciente, endonces \( d(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right| \) es una distancia en \( \mathbb{R} \). Mira aquí.

Preguntan por una distancia en \( \mathbb{R} \)...
¿No podría serlo..., si se entiende como la distancia del número \( x \) al origen?

Saludos

Eso es cierto, pero diría que el enunciado debería especificarlo.
Saludos.

02 Mayo, 2018, 10:56 am
Respuesta #11

Fernando Revilla

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Preguntan por una distancia en \( \mathbb{R} \)...
¿No podría serlo..., si se entiende como la distancia del número \( x \) al origen?

No, una distancia en \( \mathbb{R} \) es necesariamente una aplicación \( d:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}^+. \) Si es la euclídea, sería \( d(x,y)=\left |{x-y}\right | \) y la función que tú das \( f(x)=\left |{x}\right |=\left |{x-0}\right | \) no es una distancia, es una representación de la restriccion de \( d \) al conjunto \( \mathbb{R}\times \left\{{0}\right\} \) i.e. \( f(x)=d(x,0). \)

02 Mayo, 2018, 11:38 am
Respuesta #12

martiniano

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Gracias Fernando, ¿entonces dices que es incorrecto afirmar que f(x) representa una distancia del número x al origen?

02 Mayo, 2018, 12:05 pm
Respuesta #13

Fernando Revilla

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Gracias Fernando, ¿entonces dices que es incorrecto afirmar que f(x) representa una distancia del número x al origen?

Eso no es incorrecto. Lo que es incorrecto es decir que \( f \) representa una función distancia.

02 Mayo, 2018, 12:17 pm
Respuesta #14

martiniano

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Entendido, estoy de acuerdo. Muchas gracias.

03 Mayo, 2018, 12:54 am
Respuesta #15

hméndez

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Preguntan por una distancia en \( \mathbb{R} \)...
¿No podría serlo..., si se entiende como la distancia del número \( x \) al origen?

No, una distancia en \( \mathbb{R} \) es necesariamente una aplicación \( d:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}^+. \) Si es la euclídea, sería \( d(x,y)=\left |{x-y}\right | \) y la función que tú das \( f(x)=\left |{x}\right |=\left |{x-0}\right | \) no es una distancia, es una representación de la restriccion de \( d \) al conjunto \( \mathbb{R}\times \left\{{0}\right\} \) i.e. \( f(x)=d(x,0). \)

Todo claro, Fernando. ¡Muchas gracias!

Saludos

06 Mayo, 2018, 12:40 am
Respuesta #16

hortiz

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Muchas gracias Martiniano, Méndez y Fernando por sus aportes, saludos.