[Relentlesslife]

Hola por favor necesitaria ayuda con este problema. Hace dias que lo llevo pensando y no sale. Gracias.

Cuando un aerolito de hielo cae a través de la atmósfera, lo hace a velocidad aproximadamente constante, pues se compensa la fuerza de gravedad con la de rozamiento viscoso del aire (velocidad límite). La energía de la caída se va transformando en calor por rozamiento. Este calor se emplea en fundir y evaporar las capas superficiales del aerolito sin propagarse hacia el interior del bloque de hielo, que conserva su temperatura prácticamente constante. Supón que un aerolito se ha generado por un extraño fenómeno atmosférico a una altura de 12 Km, con una temperatura de -15°C. Si el trozo que impacta sobre el suelo tiene un volumen de 30 \( \textrm{dm}^3 \), ¿cuál era el volumen inicial del aerolito? (calor específico del hielo: 2.05 kJ/ kg K)

Resultado 31.1 \( \textrm{dm}^3 \)

[Samir M.]

Hola.

Supongamos que el aerolito empieza a caer. Dado que la altura es de 12km, podemos ignorar el intervalo de tiempo que hay entre el inicio de la caída y cuando se igualan la fuerza gravitatoria con la de rozamiento. Por tanto, podemos considerar que el aerolito cae prácticamente a velocidad constante. La energía que posee cuando alcanza su velocidad límite, es su energía potencial más la energía cinética que ha adquerido. En el momento de impactar contra el suelo, la única energía que posee es energía cinética, que es la misma que la inicial. El resto de energía se ha empleado en evaporar y fundir las capas externas del aerolito, como dice el enunciado. Llamemos a esta energía \( W \). Por tanto, \( E_p+E_c=W+E_c \) luego \( E_p = W \).

Por otro lado, puesto que el calor no se propaga al interior del hielo, la energía interna permanece constante, es decir, \( \Delta U = 0 \), luego \( \Delta W = \Delta Q \) por el primer principio de la termodinámica. Pero \( Delta Q \) es la energía que se ha empleado en elevar la temperatura de ciertas capas de la supercicie hasta su punto de fusión, más el calor latente para traspasar la interfase termodinámica del aerolito en su punto de fusión, más la energía empleada para elevar la temperatura del aerolito hasta su punto de evaporación, más el calor latente para traspasar esta interfase. En definitiva, \( \Delta Q = \Delta{m} c_{\text{hielo}}\Delta T + \Delta m L_{\text{fusión}} + \Delta m L_{\text{eva}} + c_{\text{agua}}\Delta m \Delta T' \) donde \( \Delta T = 273-258 \) y \( Delta T' = 373-273 \), luego \( \Delta Q = \Delta m \underbrace{(15c_{\text{hielo}}  + L_{\text{fusión}} +  L_{\text{eva}} + 100c_{\text{agua}} )}_{ k} =  \Delta m k  \).

Por tanto, \( E_p = \Delta Q \) y así \( mg\Delta h = \Delta m k \). Dividiendo ambos miembros por \( \Delta h \) y tomando el límite \( \Delta h \to 0  \) tenemos que \( \dfrac{g}{k}=\dfrac{1}{m}\dfrac{dm}{dh} \). Teniendo en cuenta que \( dm = m'(h) dh \) e integrando ambos miembros respecto de \( h \) tenemos que

\( \displaystyle \int_{h_0}^{h_f} \dfrac{g}{k}dh = \int_{m_0}^{m_f} \dfrac{dm}{m} \to m_i = m_f\cdot \mbox{exp}\left(\dfrac{g}{k} (h_i-h_f\right ) \). Sustituyendo datos, \( m_i \approx 28.59 kg  \) y buscando la densidad del hielo, se obtiene un volumen de 31.18 \( dm^3 \).

Saludos.