Autor Tema: \(a,b,c\) para \(\begin{cases}x^2,&x\leq c\\ax+b,&x>c\end{cases}\) derivable.

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30 Abril, 2018, 02:05 pm
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Buscón

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Calcula el valor de    \( a \)    y    \( b \)    en función de    \( c \),    para que exista la derivada en el punto     \( c \)    de la

siguiente función:


\( f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leq{c}\\ax+b,&x>c\end{cases} \)


30 Abril, 2018, 04:46 pm
Respuesta #1

Buscón

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Tengo dudas.

Es claro que para    \( c\in{\mathbb{R}} \),    \( f \)    es continua, (condición necesaria para que sea derivable), en    \( (-\infty,c]\cup{(c,+\infty)} \)
por ser composición, suma... de funciones continuas en dicho conjunto.

Para que sea continua en    \( c \)    por la derecha deberá ser

\( \displaystyle\lim_{x \to{c^+}}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{c^+}}{(ax+b)}=f(c)=c^2 \),

haciendo paso al límite por la derecha se obtiene

\( ac^++b=c^2\Rightarrow{c^2-ac^+-b=0} \),

cuyas soluciones aplicando la fórmula cuadrática son

\( \cancel{c=\displaystyle\frac{a\pm{\sqrt[ ]{a^2+4b}}}{2}} \).


Para que dichas soluciones existan deben ser reales y se deberá verificar

\( \cancel{a^2\geq{4b}\Rightarrow{b\leq{\displaystyle\frac{a^2}{4}}}.} \)

\begin{equation}c^2=ac+b.\end{equation}

Por otro lado    \( f'(x)=\begin{cases}2x,&x\leq{c}\\a,&x>c\end{cases} \)    y por lo tanto para que sea continua derivable en    \( c \)    deberá ser  

\( \displaystyle\lim_{x \to{c^-}}{f'(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{c^+}}{f'(x)}=f'(c)=2c \),

\( \displaystyle\lim_{x \to{c^-}}{2x}=\displaystyle\lim_{x \to{c^+}}{a}=f'(c)=2c \),

lo que implica al hacer paso al límite   \begin{equation}a=2c,\end{equation}

de (1) y (2) se obtienen las relaciones pedidas,

\( \begin{cases}a&=&2c\\\cancel{b}&\cancel{\leq}&\cancel{{c^2}}\\\color{red}b&\color{red}=&\color{red}-c^2\end{cases} \)


Espero sea correcto, saludos y gracias por cualquier aporte o revisión.

CORREGIDO por gentileza de Juan Pablo Sancho. Muchas.

30 Abril, 2018, 10:00 pm
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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Para ser continua  debe cumplirse \(  c^2 = ac + b  \)

Para  su derivada:
   
 \(  2c = a  \) entonces:

\(  c^2 = 2 \cdot  c^2 + b  \)


04 Septiembre, 2020, 01:45 pm
Respuesta #3

Buscón

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Intentando resolverlo,  usando la definición de derivada de una función en un punto.

Para que    \( f \)    sea derivable en    \( x=c \)    deberá existir el    \( \displaystyle\lim_{x \to{c}}{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}} \).

Este límite existirá sí, y sólo si,    \( \displaystyle\lim_{x \to{c}\\x<c}{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}}=\displaystyle\lim_{x \to{c}\\x>c}{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}} \),    sustituyendo y operando, el límite existirá sí, y sólo si

\( \displaystyle\lim_{x \to{c}\\x<c}{\frac{x^2-c^2}{x-c}}=\displaystyle\lim_{x \to{c}\\x>c}{\frac{ax+\cancel{b}-ac-\cancel{b}}{x-c}} \)


sí y sólo si

\( x^2-c^2=ax-ac \)

sí, y sólo si

\( x^2-ax+ac-c^2=0 \).

Las soluciones a la ecuación son    \( x_i=\dfrac{a\pm{\sqrt[ ]{a^2-4ac+4c^2}}}{2}=\dfrac{a\pm{(a-2c)}}{2}=\begin{cases}x_1=a-c\\\\x_2=-c.\end{cases} \)   

Y llegados a este punto no se como seguir ni que conclusiones sacar. ¿Existe por que la ecuación tiene soluciones?, ¿Como obtener las relaciones pedidas?

Saludos y gracias.

04 Septiembre, 2020, 03:26 pm
Respuesta #4

mg

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Lo primero que se debe cumplir es que f sea continua en x=c. Por tanto por definición de continuidad deben coincidir los limites laterales de f en c y ademas coincidir con f(c).

\( \lim_{x \to c^-}{f(x)}=\lim_{x \to c^-}{x^2}=c^2=f(c) \)
\( \lim_{x \to c^+}{f(x)}=\lim_{x \to c^+}{ax+b}=2ac+b \)

entonces por lo anterior debe ser

\( c^2=ac+b \) donde, \( b=c^2-ac \)





Intentando resolverlo,  usando la definición de derivada de una función en un punto.

Para que    \( f \)    sea derivable en    \( x=c \)    deberá existir el    \( \displaystyle\lim_{x \to{c}}{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}} \).

Este límite existirá sí, y sólo si,    \( \displaystyle\lim_{x \to{c}\\x<c}{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}}=\displaystyle\lim_{x \to{c}\\x>c}{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}} \),    sustituyendo y operando, el límite existirá sí, y sólo si

\( \displaystyle\lim_{x \to{c}\\x<c}{\frac{x^2-c^2}{x-c}}=\displaystyle\lim_{x \to{c}\\x>c}{\frac{ax+\cancel{b}-ac-\cancel{b}}{x-c}} \)


sí y sólo si

\( x^2-c^2=ax-ac \)
[/b]

Eso de ahi no me convence, en mi opinión deberías resolver los límites de las derivadas es decir:
\( \displaystyle\lim_{x \to{c}\\x<c}{\frac{x^2-c^2}{x-c}}=\displaystyle\lim_{x \to{c}\\x>c}{\frac{ax+\cancel{b}-ac-\cancel{b}}{x-c}} \)

que equivale a,
\( \displaystyle\lim_{x \to{c}\\x<c}{\frac{(x+c)(x-c)}{x-c}}=\lim_{x \to{c}\\x<c}{(x+c)}=\lim_{x \to{c}\\x>c}{a}\displaystyle=\lim_{x \to{c}\\x>c}{\frac{ax+\cancel{b}-ac-\cancel{b}}{x-c}} \)

Evidentemente de lo anterior se deduce que para que \(  f(x) \) sea derivable en \( x=c \) tiene que ser
\( 2c=a \).

\( \displaystyle\lim_{x \to{c^-}}{f'(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{c^+}}{f'(x)}=f'(c)=2c \),

\( \displaystyle\lim_{x \to{c^-}}{2x}=\displaystyle\lim_{x \to{c^+}}{a}=f'(c)=2c \),

lo que implica al hacer paso al límite   \begin{equation}a=2c,\end{equation}

de (1) y (2) se obtienen las relaciones pedidas,

\( \begin{cases}a&=&2c\\\cancel{b}&\cancel{\leq}&\cancel{{c^2}}\\\color{red}b&\color{red}=&\color{red}-c^2\end{cases} \)


Espero sea correcto, saludos y gracias por cualquier aporte o revisión.

CORREGIDO por gentileza de Juan Pablo Sancho. Muchas.
Una vez hecha esta comprobación podríamos afirmar y no antes que \( f'(x) \) existe \( x=c \) si y solo si \( a =2c \).



04 Septiembre, 2020, 03:54 pm
Respuesta #5

Buscón

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Intentando resolverlo,  usando la definición de derivada de una función en un punto.

Para que    \( f \)    sea derivable en    \( x=c \)    deberá existir el    \( \displaystyle\lim_{x \to{c}}{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}} \).

Este límite existirá sí, y sólo si,    \( \displaystyle\lim_{x \to{c}\\x<c}{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}}=\displaystyle\lim_{x \to{c}\\x>c}{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}} \),    sustituyendo y operando, el límite existirá sí, y sólo si

\( \displaystyle\lim_{x \to{c}\\x<c}{\frac{x^2-c^2}{x-c}}=\displaystyle\lim_{x \to{c}\\x>c}{\frac{ax+\cancel{b}-ac-\cancel{b}}{x-c}} \)


sí y sólo si

\( x^2-c^2=ax-ac \)
[/b]

Eso de ahi no me convence, en mi opinión deberías resolver los límites de las derivadas es decir:
\( \displaystyle\lim_{x \to{c}\\x<c}{\frac{x^2-c^2}{x-c}}=\displaystyle\lim_{x \to{c}\\x>c}{\frac{ax+\cancel{b}-ac-\cancel{b}}{x-c}} \)

que equivale a,
\( \displaystyle\lim_{x \to{c}\\x<c}{\frac{(x+c)(x-c)}{x-c}}=\lim_{x \to{c}\\x<c}{(x+c)}=\lim_{x \to{c}\\x>c}{a}\displaystyle=\lim_{x \to{c}\\x>c}{\frac{ax+\cancel{b}-ac-\cancel{b}}{x-c}} \)

Evidentemente de lo anterior se deduce que para que \(  f(x) \) sea derivable en \( x=c \) tiene que ser
\( 2c=a \).

Si, gracias, mucho mejor. Está claro que no es un buen camino.    \( x-c \)    puede tomar valores muy distintos dependiendo de si nos acercamos por la derecha o nos acercamos por la izquierda si la función no es continua, así que, efectivamente, lo primero es probar que es continua. No siendo condición suficiente, sí es condición necesaria que   \( f \)    sea continua para que sea derivable.

Saludos.