Autor Tema: Sombra de hombre que se aleja de una farola.

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28 Abril, 2018, 11:36 pm
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Buscón

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Un hombre se aleja de una farola a razón de    \( 1,5m/sg. \)    Sabiendo que la altura del hombre es de

\( 1,8\,\textrm{metros} \)    y la de la farola de    \( 15\,\textrm{metros} \),    calcula la velocidad a la que está aumentando la sombra del

hombre proyectada por la luz.



29 Abril, 2018, 12:12 am
Respuesta #1

Abdulai

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Un hombre se aleja de una farola a razón de    \( 1,5m/sg. \)    Sabiendo que la altura del hombre es de
\( 1,8\,\textrm{metros} \)    y la de la farola de    \( 15\,\textrm{metros} \),    calcula la velocidad a la que está aumentando la sombra del hombre proyectada por la luz.


Si hacés un dibujo e identificás los triángulos semejantes, tenés que:

\( \dfrac{x_h(t)}{f-h} = \dfrac{x_s(t)}{h} \) 

con 
\( x_h(t) \)  distancia del hombre a la farola.
\( x_s(t) \)  longitud de la sombra.
\( h \)  altura del hombre.
\( f \)  altura de la farola.

Derivando ambos miembros tenemos las velocidades:

\( \dfrac{V_h}{f-h} = \dfrac{V_s}{h} \) 

29 Abril, 2018, 05:30 am
Respuesta #2

delmar

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Hola Buscón

Una forma, siguiendo el consejo de Abdulai, de utilizar un gráfico, lo adjunto :



En un instante t, se tiene como una fotografía el gráfico. Se considera una referencia XY solidaria a tierra, para determinar las posiciones.  La farola esta inmóvil con \( X=0 \), la posición del hombre esta determinada por la abscisa del punto H, es decir por \( x_H \), y la sombra ocupa la parte del eje X comprendida entre el punto H y el S. Siendo S la intersección entre el eje X y el rayo de luz (recta) determinado por el foco de la farola \( (0,15) \) y la cabeza del hombre \( (X_H,1.8) \)

Luego la ecuación del rayo de luz es : \( \displaystyle\frac{15-1.8}{X_H}=\displaystyle\frac{Y-1.8}{X_H-X}\Rightarrow{15X_H-13.2X=YX_H} \), en consecuencia \( X_S=\displaystyle\frac{15X_H}{13.2} \), luego S es \( (\displaystyle\frac{15X_H}{13.2},0) \)

La longitud de la sombra es : \( L_S=X_S-X_H=\displaystyle\frac{1.8X_H}{13.2} \), esto es una función del tiempo, por que \( X_H \) es una función del tiempo.

Nos piden la variación de la longitud de la sombra respecto del tiempo  (no es apropiado el término velocidad) es decir \( \displaystyle\frac{dL_S}{dt}=\displaystyle\frac{1.8}{13.2} \ \displaystyle\frac{dX_H}{dt}=(\displaystyle\frac{1.8}{13.2}) \ 1.5 \), que coincide con la respuesta de Abdulai

Esperamos tu razonamiento.

Saludos

29 Abril, 2018, 05:40 pm
Respuesta #3

Buscón

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Si, gracias. No conseguía ver la semejanza de triángulos. Lo dejo a mi manera.

Se puede suponer la siguiente instantánea en    \( t_0 \)


donde    \( x_h(t_0) \)    es la distancia recorrida por el hombre y    \( x_s(t_0) \)    es la longitud de la sombra proyectada.

Por semejanza de triángulos debe ser,


\( \displaystyle\frac{13.2}{x_h(t_0)}=\displaystyle\frac{1.8}{x_s(t_0)} \),


\( x_s(t_0)=\displaystyle\frac{1.8\cdot{}x_h(t_0)}{13.2} \),


\( x'_s(t_0)=\displaystyle\frac{1.8}{13.2}\cdot{x'_h(t_0)}=\displaystyle\frac{1.8\cdot{1.5}}{13.2}m/sg \).

Saludos.


04 Septiembre, 2020, 01:05 am
Respuesta #4

Buscón

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Mejor así


Lo que piden es    \( s'(t) \).   De la relación de los triángulos semejantes

\( \dfrac{\color{red}13,2}{x(t)}=\dfrac{1,8}{s(t)} \)

de donde

\( s(t)=\dfrac{1,8}{\color{red}13,2}\color{black}\cdot{x(t)} \)

derivando

\( s'(t)=\dfrac{1,8}{\color{red}13,2}\cdot{x'(t)} \)

y como nos dan    \( x'(t) \)    sólo hay que sustituir

\( s'(t)=\dfrac{1,8\cdot{1,5}}{\color{red}13,2}=\color{red}0,20\,\color{black}m/s \)

Saludos.

04 Septiembre, 2020, 01:26 am
Respuesta #5

delmar

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Es incorrecto \( x'(t) \) es la velocidad del extremo derecho de la sombra, no es la velocidad del hombre.


Saludos

04 Septiembre, 2020, 01:38 am
Respuesta #6

Buscón

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Es incorrecto \( x'(t) \) es la velocidad del extremo derecho de la sombra, no es la velocidad del hombre.


Saludos

 :laugh: :laugh: :laugh: O sea que estaba mejor antes. Gracias.

04 Septiembre, 2020, 06:08 am
Respuesta #7

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
La velocidad de crecimiento del tamaño de la sombra es la velocidad del extremo derecho de la sombra menos la velocidad del hombre
Es la derivada de la diferencia de posiciones xs-xh respecto del tiempo.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)