Sea \( X \) espacio métrico y \( \epsilon>0 \). Para \( A\subseteq X \) se define \( {\mu^{\ast}}_{\epsilon}=\min\left\{|I|: A\subseteq B(x_i,\epsilon)\right\} \)
a) Probar que \( {\mu^{\ast}}_{\epsilon} \)es medida exterior.
b) Se se define \( \mu(A)=\lim_{\epsilon\to 0} {\mu^{\ast}}_{\epsilon} \). Encontrar explícitamente \( \mu(A) \) y probar que es una medida.
No logro encontrar el \( \mu(A). \) Estaba viendo y según veo debería ser \( \mu(A)=|A| \) la cardinalidad de \( A \), pues si \( \epsilon\to 0, \) me queda que \( A\subseteq B(x_i,0) \) es decir, debería pasar, \( A\subseteq \bigcup_{x_i \in A} \left\{x_i\right\} \) y así \( |I|=|A|. \)
¿Cómo lo encuentro y pruebo?
Saludos
