Autor Tema: Gas en globo.

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05 Mayo, 2018, 10:50 am
Respuesta #20

Buscón

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Hola.
Hola

Es para no perder de vista que se está haciendo en realidad cuando se deriva. Aplicar las reglas de derivación no es demasiado difícil.

¿Es un inconveniente que no sea difícil? ¿O es una virtud?.

Retomando el hilo, ya manifesté que me parece una virtud. Sin embargo no siempre se pueden aplicar. ¿Que regla usar para calcular la derivada de    \( f(x)=|x| \)?

Y si hay un caso es probable que haya más.

Saludos.
El único punto dudoso en \( f(x)=|x| \) es \( x=0 \). Debes utilizar que la derivada por la derecha y por la izquierda de \( x=0 \), deben coincidir.

Tomando \( f(x)=\begin{cases} -x & \text{si}& x<0\\x & \text{si}& x\geq{}0\end{cases} \)

Saludos.

Pero es que "mal aplicando" las reglas de derivación sería    \( f'(x)=|x|'=|x'|=1 \),    lo cual es falso.

Aplicando las reglas a la función tal y como la defines sería    \( f'(x)=\begin{cases}-1,&x<0\\1,&x\geq{0}\end{cases} \)    que también es falso.

Es decir,    \( f'(0^-)=-1\neq{f'(0^+)}=1\neq{f'(0)}=0 \),    no existe la derivada en    \( x=0 \).

Es casi más acertado definir    \( f'(x)=\displaystyle\frac{|x|}{x} \)    saltando las reglas.

Saludos.

05 Mayo, 2018, 11:03 am
Respuesta #21

sugata

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Aplicando las reglas a la función tal y como la defines sería    \( f'(x)=\begin{cases}-1,&x<0\\1,&x\geq{0}\end{cases} \)    que también es falso.

Es decir,    \( f'(0^-)=-1\neq{f'(0^+)}=1\neq{f'(0)}=0 \),    no existe la derivada en    \( x=0 \).

Saludos.

¿Por qué dices que es falso?
La gráfica de la función son dos rectas, en la zona negativa con pendiente -1 y en la positiva 1, y en efecto no existe en 0

05 Mayo, 2018, 11:20 am
Respuesta #22

Buscón

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Aplicando las reglas a la función tal y como la defines sería    \( f'(x)=\begin{cases}-1,&x<0\\1,&x\geq{0}\end{cases} \)    que también es falso.

Es decir,    \( f'(0^-)=-1\neq{f'(0^+)}=1\neq{f'(0)}=0 \),    no existe la derivada en    \( x=0 \).

Saludos.

¿Por qué dices que es falso?
La gráfica de la función son dos rectas, en la zona negativa con pendiente -1 y en la positiva 1, y en efecto no existe en 0

Pues por que    \( f'(x)=1,\;\;\;\textrm{si}\;\;\;x>0 \)    y    \( f'(0)=0 \).    Esto es, es falso que    \( f'(x)=1,\;\;\;\textrm{si}\;\;\;x\geq{0} \)    que es el resultado de aplicar las reglas de derivación, sin tener en cuenta la singularidad en    \( x=0 \).

Me reafirmo. No siempre se pueden aplicar las reglas de derivación sin más.

Saludos.

05 Mayo, 2018, 11:26 am
Respuesta #23

sugata

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El \( x\geq{}0 \) sale por la continuidad de la función inicial, pero al derivar eres tú el que ha de evaluar ese punto crítico, que efectivamente no existe por tener derivadas laterales distintas.

05 Mayo, 2018, 11:39 am
Respuesta #24

Buscón

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El \( x\geq{}0 \) sale por la continuidad de la función inicial, pero al derivar eres tú el que ha de evaluar ese punto crítico, que efectivamente no existe por tener derivadas laterales distintas.

Estamos de acuerdo. Mi inquietud inicial era como aplicar las reglas de derivación usuales a la función    \( f(x)=|x| \). 

Saludos.

05 Mayo, 2018, 12:55 pm
Respuesta #25

robinlambada

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Hola Buscon.
Pero es que "mal aplicando" las reglas de derivación sería    \( f'(x)=\color{red}|x|'=|x'|\color{black}=1 \),    lo cual es falso.
No se muy  bien lo que quieres decir arriba, con lo de mal aplicado. Por que lo que marque en rojo es falso, en general no es cierto que la derivada del valor absoluto sea el valor absoluto de la derivada.
Citar
Aplicando las reglas a la función tal y como la defines sería    \( f'(x)=\begin{cases}-1,&x<0\\1,&\color{red}x\geq{0}\end{cases} \)    que también es falso.
No es falso, lo que ocurre es que la derivada como es un límite para que exista debe ser igual por ambos lados.

Con las reglas de derivación tu solo puedes asegurar la derivada en \( x\neq{}0 \)

Lo que te vuelvo a marcar en rojo esta mal , seria:

\( f'(x)=\begin{cases}-1,&x<0\\1,&x\color{green}>\color{black}0\end{cases} \)


Citar
Es decir,    \( f'(0^-)=-1\neq{f'(0^+)}=1\neq{f'(0)}=0 \),    no existe la derivada en    \( x=0 \).
Las 2 primeras igualdades son correctas pero f'(0) no existe como dices, por tanto  \( \xcancel{f'(0)=0} \) es falso.( no se por que lo pones)
Citar
Es casi más acertado definir    \( f'(x)=\displaystyle\frac{|x|}{x} \)    saltando las reglas.

Saludos.
Es que no estás definiendo nada nuevo ,  \( f'(x)=\displaystyle\frac{|x|}{x} \)   es exactamente lo mismo que  \( f'(x)=\begin{cases}-1,&x<0\\1,&x\color{green}>\color{black}0\end{cases} \)

Pero escrito de forma abreviada, pero son equivalentes, en ambos casos no existe la derivada en \( x=0 \)

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

05 Mayo, 2018, 04:29 pm
Respuesta #26

Buscón

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La siguiente definición sustituyendo únicamente    \( f(x) \)    por    \( |x| \),   \( a \)     por    \( 0 \)    y    \( L \)    por    \( 1 \)    o    \( -1 \).

Definición.

Se dice que una función    \( f:I\longrightarrow{\mathbb{R}} \),    dada por    \( f(x)=|x| \),    es derivable en un punto    \( 0\in{I} \),    si existe el límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\frac{|x|-|0|}{x-0}} \).

Explícitamente,    \( f \)    es derivable en    \( 0 \)    si hay un número    \( 1\vee-1\in{\mathbb{R}} \)    verificando que para cada número    \( \epsilon>0 \)    existe algún número    \( \delta>0 \)    tal que para todo    \( x\in{I} \)     con    \( x\neq{a} \)    y    \( |x-a|<\delta \)    se tiene que:

\( \left|\displaystyle\frac{|x|-|0|}{x-0}-(1\vee-1)\right|\leq{\epsilon} \)

Dicho número    \( 1\vee -1 \)    se llama derivada de    \( f \)    en    \( 0 \)    y lo representamos por     \( f'(0) \).


Completamente falso. ¿No?

05 Mayo, 2018, 11:02 pm
Respuesta #27

martiniano

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Hola buenas. Vaya lío  :)
Definición.

Se dice que una función    \( f:I\longrightarrow{\mathbb{R}} \),    dada por    \( f(x)=|x| \),    es derivable en un punto    \( 0\in{I} \),    si existe el límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\frac{|x|-|0|}{x-0}} \).
Yo diría que eso es cierto, y precisamente por eso la función  \( f(x)=|x| \) no es derivable. El límite por la derecha da una cosa (1) y por la izquierda da otra (-1), luego el límite no existe.

Explícitamente,    \( f \)    es derivable en    \( 0 \)    si hay un número    \( 1\vee-1\in{\mathbb{R}} \)    verificando que para cada número    \( \epsilon>0 \)    existe algún número    \( \delta>0 \)    tal que para todo    \( x\in{I} \)     con    \( x\neq{a} \)    y    \( |x-a|<\delta \)    se tiene que:

\( \left|\displaystyle\frac{|x|-|0|}{x-0}-(1\vee-1)\right|\leq{\epsilon} \)

Con eso también estoy de acuerdo, y también por eso la función no es derivable. El tal número  \( 1\vee-1\in{\mathbb{R}} \) que debería verificar lo que dices, no existe.

Deseo haberte aclarado algo. Saludos.

05 Mayo, 2018, 11:11 pm
Respuesta #28

sugata

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Cuando evalúo valores absolutos prefiero dividir por partes como hemos hecho antes.

05 Mayo, 2018, 11:34 pm
Respuesta #29

Buscón

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Hola buenas. Vaya lío  :)
Definición.

Se dice que una función    \( f:I\longrightarrow{\mathbb{R}} \),    dada por    \( f(x)=|x| \),    es derivable en un punto    \( 0\in{I} \),    si existe el límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\frac{|x|-|0|}{x-0}} \).
Yo diría que eso es cierto, y precisamente por eso la función  \( f(x)=|x| \) no es derivable. El límite por la derecha da una cosa (1) y por la izquierda da otra (-1), luego el límite no existe.

Si, se me olvidó que el límite si existe, es único. Con eso queda resuelta la objeción.

Explícitamente,    \( f \)    es derivable en    \( 0 \)    si hay un número    \( 1\vee-1\in{\mathbb{R}} \)    verificando que para cada número    \( \epsilon>0 \)    existe algún número    \( \delta>0 \)    tal que para todo    \( x\in{I} \)     con    \( x\neq{a} \)    y    \( |x-a|<\delta \)    se tiene que:

\( \left|\displaystyle\frac{|x|-|0|}{x-0}-(1\vee-1)\right|\leq{\epsilon} \)

Con eso también estoy de acuerdo, y también por eso la función no es derivable. El tal número  \( 1\vee-1\in{\mathbb{R}} \) que debería verificar lo que dices, no existe.

Deseo haberte aclarado algo. Saludos.

\( \displaystyle\lim_{x \to{0^-}}{\displaystyle\frac{|x|}{x}}=-1 \),   existe.

\( \displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{\displaystyle\frac{|x|}{x}}=1 \),   existe.

Saludos y gracias.

06 Mayo, 2018, 11:32 am
Respuesta #30

martiniano

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Sí, los límites laterales existen pero el límite no.

06 Mayo, 2018, 11:50 am
Respuesta #31

Buscón

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Sí, los límites laterales existen pero el límite no.

Ya, aún así a mi me gusta más esta

Definición.

Se dice que una función    \( f:I\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    es derivable en un punto    \( a\in{I} \),    si existe el límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}} \).

Explícitamente,    \( f \)    es derivable en    \( a \)    si hay un único número    \( L\in{\mathbb{R}} \)    verificando que para cada número    \( \epsilon>0 \)    existe algún número    \( \delta>0 \)    tal que para todo    \( x\in{I} \)     con    \( x\neq{a} \)    y    \( |x-a|<\delta \)    se tiene que:

\( \left|\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-L\right|\leq{\epsilon} \)

Dicho número    \( L \)    se llama derivada de    \( f \)    en    \( a \)    y lo representamos por     \( f'(a) \).


Un saludo y perdona por lo cansino.

EDITADO.

Me contesto yo, "lo que está en rojo ya está implícito en la definición de límite"

06 Mayo, 2018, 12:08 pm
Respuesta #32

martiniano

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Ah vale, ahora entiendo lo que te pasaba. En la adaptación de la definición no tuviste en cuenta la palabra único.
Me alegro de que ya esté todo claro.
Saludos.

03 Septiembre, 2020, 12:26 am
Respuesta #33

Buscón

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Revisando el hilo veo que derivó hacia algo distinto a intentar resolver el problema planteado. Además, y esto tiene miga, he intentado volver a resolverlo y no estoy seguro de saber hacerlo.

Usar la notación de Leibniz facilita las cosas. Se tiene que el radio es función del volumen que a su vez es función del tiempo, entonces:

\( \dfrac{dr}{dt}=\dfrac{dr}{dV}\cdot{}\dfrac{dV}{dt} \).

Sabiendo que

\( V=\dfrac{4}{3}\pi r^3\Rightarrow{r=\sqrt[3]{\dfrac{3}{4\pi}}\cdot{V^{\frac{1}{3}}}}\Rightarrow{\dfrac{dr}{dV}=\dfrac{V^{-\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{36\pi}}} \)

y como nos dicen que

\( \dfrac{dV}{dt}=50 \)

se sigue que

\( \dfrac{dr}{dt}=\dfrac{V^{-\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{36\pi}}\cdot{50} \)

No dicen nada, así que suponiendo el ritmo de llenado constante, listo! Cuando el radio mide    \( 5\,cm \)    su ritmo de cambio es de    \(  \dfrac{\left(\frac{4}{3}\pi 5^3\right)^{-\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{36\pi}}\cdot{50} \)    centímetros por segundo.

Saludos.

03 Septiembre, 2020, 10:41 am
Respuesta #34

robinlambada

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Hola.
Revisando el hilo veo que derivó hacia algo distinto a intentar resolver el problema planteado. Además, y esto tiene miga, he intentado volver a resolverlo y no estoy seguro de saber hacerlo.

Usar la notación de Leibniz facilita las cosas. Se tiene que el radio es función del volumen que a su vez es función del tiempo, entonces:

\( \dfrac{dr}{dt}=\dfrac{dr}{dV}\cdot{}\dfrac{dV}{dt} \).

Sabiendo que

\( V=\dfrac{4}{3}\pi r^3\Rightarrow{r=\sqrt[3]{\dfrac{3}{4\pi}}\cdot{V^{\frac{1}{3}}}}\Rightarrow{\dfrac{dr}{dV}=\dfrac{V^{-\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{36\pi}}} \)

y como nos dicen que

\( \dfrac{dV}{dt}=50 \)

se sigue que

\( \dfrac{dr}{dt}=\dfrac{V^{-\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{36\pi}}\cdot{50} \)

No dicen nada, así que suponiendo el ritmo de llenado constante, listo! Cuando el radio mide    \( 5\,cm \)    su ritmo de cambio es de    \(  \dfrac{\left(\frac{4}{3}\pi 5^3\right)^{-\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{36\pi}}\cdot{50} \)    centímetros por segundo.

Saludos.
A bote pronto parece que está bien, pero aún se puede simplificar más.

Es más fácil así:

$$\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dr}\dfrac{dr}{dt}=4\pi r^2\cdot{}\dfrac{dr}{dt}=50\Rightarrow{}\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{50}{4\pi r^2}\Rightarrow{}r'(r=5)=\frac{1}{2\pi}$$

Saludos
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.