Autor Tema: Gas en globo.

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25 Abril, 2018, 06:10 pm
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Buscón

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Se está llenando un globo de forma esférica con gas a razón de    \( 50\;cm^3/s \).   Calcula la velocidad a la que

está aumentando el radio,    \( r \),    del globo cuando su valor es    \( r=5 \).



25 Abril, 2018, 06:30 pm
Respuesta #1

Buscón

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Tenemos que el volumen del globo viene dado por    \( V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3 \)    y nos dicen que    \( V'(t)=50cm^3/s \),    entonces


\( V'(t)=\displaystyle\frac{4}{3}\pi (r')^3(t)=50 \),

de donde

\( r'(t)=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{3}{4}\displaystyle\frac{50}{\pi}}=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{75}{2\pi}} \).

Como no dicen nada suponemos que la velocidad con la que se llena es constante así que en el instante en el que    \( r=5 \),    la velocidad con la que aumenta el radio también será de    \( \sqrt[3]{\displaystyle\frac{75}{2\pi}}\;cm/s \).   

???


Saludos, gracias.

25 Abril, 2018, 06:58 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Tenemos que el volumen del globo viene dado por    \( V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3 \)    y nos dicen que    \( V'(t)=50cm^3/s \),    entonces


\( V'(t)=\displaystyle\frac{4}{3}\pi (r')^3(t)=50 \),

de donde

\( r'(t)=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{3}{4}\displaystyle\frac{50}{\pi}}=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{75}{2\pi}} \).

Está mal derivado.

Tienes que:

\( V(t)=\dfrac{4}{3}\pi r(t)^3 \)

y al derivar has de aplicar la regla de la cadena:

\( V'(t)=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 3r(t)^2\cdot r'(t) \)

Corrige ahora el resto.

Saludos.

25 Abril, 2018, 07:01 pm
Respuesta #3

delmar

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Hola Buscón


Tenemos que el volumen del globo viene dado por    \( V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3 \)    y nos dicen que    \( V'(t)=50cm^3/s \)

Hasta acá esta muy bien.

Para derivar el volumen, hemos de recordar que el radio r, es una función del tiempo, t, al derivar el volumen  respecto del tiempo, se ha de utilizar entonces la regla de la cadena, y nos queda :

\( \displaystyle\frac{dV}{dt}=\displaystyle\frac{4 \pi}{3}\ 3r^2 \ \displaystyle\frac{dr}{dt} \)

Luego has supuesto muy bien que \( \displaystyle\frac{dV}{dt}=50 \) es constante, es la misma para todo t.

Ahora sí para r=5, puedes sacar el resultado es decir \( \displaystyle\frac{dr}{dt} \)

Saludos

Nota :
Se adelantó Luis Fuentes, considera esto, como un complemento.

25 Abril, 2018, 07:48 pm
Respuesta #4

Buscón

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Hola

Tenemos que el volumen del globo viene dado por    \( V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3 \)    y nos dicen que    \( V'(t)=50cm^3/s \),    entonces


\( V'(t)=\displaystyle\frac{4}{3}\pi (r')^3(t)=50 \),

de donde

\( r'(t)=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{3}{4}\displaystyle\frac{50}{\pi}}=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{75}{2\pi}} \).

Está mal derivado.


Hola, muchas gracias.

Pero no veo por que haya que derivar. La derivada ya nos la dan, es    \( V'(t)=50 cm^3/s \),   entonces, como    \( V'(t)=\displaystyle\frac{4}{3}
\pi\left(r'(t)\right)^3 \)    se supone que sólo hay que despejar ¿No?

Es decir    \( V'(t)=\displaystyle\frac{V(t+1)-V(t)}{\cancel{t}+1-\cancel{t}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4}{3}\pi\left(r(t+1)\right)^3-\displaystyle\frac{4}{3}\pi\left(r(t)\right)^3}{\cancel{t}+1-\cancel{t}}=50 \)

y despejar    \( r \)   

\( \displaystyle\frac{3}{4}\pi\big(\left(r(t+1)\right)^3-\left(r(t)\right)^3\big)=50 \)

\( \displaystyle\frac{3}{4}\pi\big(\left(r(t+1)\right)^3-\left(r(t)\right)^3\big)=50 \)

\( \left(r(t+1)\right)^3-\left(r(t)\right)^3=\displaystyle\frac{4\cdot{50}}{3\pi} \)

:-\

y efectivamente estaba mal despejado pero sigo sin ver porque hay que derivar el radio.

25 Abril, 2018, 09:12 pm
Respuesta #5

Buscón

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Hola Buscón


Tenemos que el volumen del globo viene dado por    \( V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3 \)    y nos dicen que    \( V'(t)=50cm^3/s \)

Hasta acá esta muy bien.

Para derivar el volumen, hemos de recordar que el radio r, es una función del tiempo, t, al derivar el volumen  respecto del tiempo, se ha de utilizar entonces la regla de la cadena, y nos queda :

\( \displaystyle\frac{dV}{dt}=\displaystyle\frac{4 \pi}{3}\ 3r^2 \ \displaystyle\frac{dr}{dt} \)

Vale. Un error imperdonable de conceptos.

Si el volumen de la esfera en un instante    \( t \)    es    \( V(t)=\displaystyle\frac{4}{3}\pi\left(r(t)\right)^3  \)   el incremento que se produce transcurrido un segundo es

\( V(t+1)=\displaystyle\frac{4}{3}\pi\left(r(t+1)\right)^3 \).

Para conocer el incremento instantáneo del volumen debemos calcular el límite

\( \displaystyle\lim_{(t+1) \to{t}}{\displaystyle\frac{V(t+1)-V(t)}{(t+1)-t}} \),

que no es otra cosa que la derivada del volumen con respecto al tiempo y que denotamos por    \( V'(t) \).

Lo que sucede es que a efectos del ejercicio se toma como    \( V'(t) \)    una aproximación a ese límite tomando como incremento de    \( t \)    un segundo, esto es, se toma

\( V'(t)\approxeq{\displaystyle\frac{V(t+1)-V(t)}{(t+1)-t}}=V(t+1)-V(t)=50cm^3/s \).

Y claro, (aquí el imperdonable error), si el volumen de la esfera en un instante    \( t \)    viene determinado por    \( V(t)=\displaystyle\frac{4}{3}\pi\left(r(t)\right)^3 \),    el incremento del volumen con respecto al tiempo viene determinado por    \( V'(t)=\left[\displaystyle\frac{4}{3}\pi\left(r(t)\right)^3\right]'=\displaystyle\frac{4}{\cancel{3}}\pi\cdot{}\cancel{3}\cdot{}(r(t))^2=4\pi\left(r(t)\right)^2\approxeq{50} \),    de donde,


\( r(t)\approxeq{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{25}{2\pi}}}\;cm/s \)

Sigo manteniendo que, como no nos dicen nada, asumimos que el ritmo de cambio del volumen es constante a lo largo del tiempo, así que en el instante en el que el valor del radio es    \( 5 \),   la velocidad de crecimiento del radio es la que hemos calculado.

A ver ahora.

Saludos, gracias.





25 Abril, 2018, 10:33 pm
Respuesta #6

Juan Pablo Sancho

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Si en \(  t_0  \) el volumen es \( V(t_0) = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3(t_0)  \)

Entonces :

\(  \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{V(t_0 + t_0 ) - V(t_0)}{h} = V'(t_0)  \)

Pones que \(  t+1 \to 1  \) cuando el \(  t = t_0  \) es constante.

\(  \displaystyle \lim_{ t \to t_0} \dfrac{V(t) - V(t_0)}{t-t_0} = V'(r(t_0)) \cdot r'(t_0)  \).

25 Abril, 2018, 11:40 pm
Respuesta #7

Buscón

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Si en \(  t_0  \) el volumen es \( V(t_0) = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3(t_0)  \)

Entonces :

\(  \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{V(t_0 + t_0 ) - V(t_0)}{h} = V'(t_0)  \)

Pones que \(  t+1 \to 1  \) cuando el \(  t = t_0  \) es constante.

\(  \displaystyle \lim_{ t \to t_0} \dfrac{V(t) - V(t_0)}{t-t_0} = V'(r(t_0)) \cdot r'(t_0)  \).

Si, me lié con la notación, la cuestión es que la derivada es el límite del cociente cuando el incremento de tiempo tiende a cero, pero en el ejercicio se toma ese incremento como    \( t=1seg \),    que no es en realidad la derivada sino el incremento medio.

El incremento total del volumen del globo es

\( V(t_f)-V(t_0) \)

donde    \( t_0 \)    y    \( t_f \)    son el tiempo inicial y final respectivamente, medido en segundos.

El incremento medio de dicho volumen es

\( \displaystyle\frac{V(t_f)-V(t_0)}{t_f-t_0} \)

que es el incremento del volumen por unidad de tiempo y es el que nos dan     \( 50cm^3/s \)

El incremento en un instante    \( t \)    sería, sustituyendo por la fórmula para calcular el volumen de la esfera,

\( \begin{align*}V'(t)=\displaystyle\lim_{\vartriangle t \to{0}}{\displaystyle\frac{V(t+\vartriangle t)-V(t)}{\vartriangle t}}=\displaystyle\lim_{\vartriangle t \to{0}}{\displaystyle\frac{\frac{4}{3}\pi\big(r(t+\vartriangle t)\big)^3-\frac{4}{3}\pi\big(r(t)\big)^3}{\vartriangle t}}=\\\\
=\displaystyle\lim_{\vartriangle t \to{0}}{\displaystyle\frac{\frac{4}{3}\pi\Big[\big(r(t+\vartriangle t)\big)^3-\big(r(t)\big)^3\Big]}{\vartriangle t}},\end{align*} \)

esto es, la derivada del volumen con respecto al tiempo en el instante    \( t \).

En este caso no se como calcularla. Algo no comprendo y no se que es.  ???

Saludos y gracias.

25 Abril, 2018, 11:47 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Vale. Un error imperdonable de conceptos.

Si el volumen de la esfera en un instante    \( t \)    es    \( V(t)=\displaystyle\frac{4}{3}\pi\left(r(t)\right)^3  \)   el incremento que se produce transcurrido un segundo es

\( V(t+1)=\displaystyle\frac{4}{3}\pi\left(r(t+1)\right)^3 \).

Para conocer el incremento instantáneo del volumen debemos calcular el límite

\( \displaystyle\lim_{(t+1) \to{t}}{\displaystyle\frac{V(t+1)-V(t)}{(t+1)-t}} \),

que no es otra cosa que la derivada del volumen con respecto al tiempo y que denotamos por    \( V'(t) \).

Estás armando un galimatías. Eso de \( t+1\to t \) no tiene sentido.

Simplemente por la definición de derivada de una función y de velocidad de una magintud, cuando la función representa una magnitud respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de tal magnitud.

Entonces directamente si \( V(t) \) es la función volumen en el instante \( t \), \( V'(t) \) es la velocidad con que ese volumen cambia.

Y después, insisto en lo mismo. Para derivar \( V(t) \) no olvides aplicar la regla de la cadena.

Saludos.

26 Abril, 2018, 12:00 am
Respuesta #9

Buscón

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Hola

Vale. Un error imperdonable de conceptos.

Si el volumen de la esfera en un instante    \( t \)    es    \( V(t)=\displaystyle\frac{4}{3}\pi\left(r(t)\right)^3  \)   el incremento que se produce transcurrido un segundo es

\( V(t+1)=\displaystyle\frac{4}{3}\pi\left(r(t+1)\right)^3 \).

Para conocer el incremento instantáneo del volumen debemos calcular el límite

\( \displaystyle\lim_{(t+1) \to{t}}{\displaystyle\frac{V(t+1)-V(t)}{(t+1)-t}} \),

que no es otra cosa que la derivada del volumen con respecto al tiempo y que denotamos por    \( V'(t) \).

Estás armando un galimatías. Eso de \( t+1\to t \) no tiene sentido.

Ya me di cuenta, gracias.

Simplemente por la definición de derivada de una función y de velocidad de una magintud, cuando la función representa una magnitud respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de tal magnitud.

Entonces directamente si \( V(t) \) es la función volumen en el instante \( t \), \( V'(t) \) es la velocidad con que ese volumen cambia.

Si, ya. Pero hay muchas maneras de expresar ese ritmo de cambio. Gráficamente es una pendiente. Una secante a una curva es una pendiente y una tangente también. Una secante es una aproximación a la tangente en un punto, cuanto más próximos los puntos de corte con la función menor es el error. El valor que nos dan en el ejercicio, (\( 50cm^3/s \)) sería una secante . Aunque en este caso se supone que la gráfica no es un curva si no una recta y la secante se confunde con la tangente.  ¿Estoy en lo cierto?



26 Abril, 2018, 11:18 am
Respuesta #10

Luis Fuentes

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Hola

Si, ya. Pero hay muchas maneras de expresar ese ritmo de cambio. Gráficamente es una pendiente. Una secante a una curva es una pendiente y una tangente también.


 Si, hay muchas formas. Para la cómoda para hacer cuentas es la derivada. Lo que tiene que quedarte claro es que por definición la velocidad de cambio de una magnitud  respecto al tiempo es su derivada.

 Que te empeñes en usar límites, es un paso atrás. ¿Para qué entonces los matemáticos se han molestado en definir y estudiar las propiedades de la derivada?. Es como si en lugar de multiplicar \( n\cdot m \) quieres sumar \( n \) veces \( m \).

Citar
Una secante es una aproximación a la tangente en un punto, cuanto más próximos los puntos de corte con la función menor es el error. El valor que nos dan en el ejercicio, (\( 50cm^3/s \)) sería una secante . Aunque en este caso se supone que la gráfica no es un curva si no una recta y la secante se confunde con la tangente.  ¿Estoy en lo cierto?
.

 No estoy seguro de lo que quieres decir. El valor que nos dan en el ejercicio es el valor de la derivada de la función volumen respecto al tiempo \( V'(t)=50 \). Dado que es constante, la gráfica de la función volumen es una recta y todas sus tangentes y sus secantes en dos puntos, coinciden con la propia recta; pero eso es irrelevante a la hora de resolver el ejercicio.

Saludos.

26 Abril, 2018, 11:56 pm
Respuesta #11

Buscón

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 Que te empeñes en usar límites, es un paso atrás. ¿Para qué entonces los matemáticos se han molestado en definir y estudiar las propiedades de la derivada?. Es como si en lugar de multiplicar \( n\cdot m \) quieres sumar \( n \) veces \( m \).

Es para no perder de vista que se está haciendo en realidad cuando se deriva. Aplicar las reglas de derivación no es demasiado difícil.

Citar
Una secante es una aproximación a la tangente en un punto, cuanto más próximos los puntos de corte con la función menor es el error. El valor que nos dan en el ejercicio, (\( 50cm^3/s \)) sería una secante . Aunque en este caso se supone que la gráfica no es un curva si no una recta y la secante se confunde con la tangente.  ¿Estoy en lo cierto?
.

 No estoy seguro de lo que quieres decir. El valor que nos dan en el ejercicio es el valor de la derivada de la función volumen respecto al tiempo \( V'(t)=50 \). Dado que es constante, la gráfica de la función volumen es una recta y todas sus tangentes y sus secantes en dos puntos, coinciden con la propia recta; pero eso es irrelevante a la hora de resolver el ejercicio.


Pues asimilando conceptos.

En este caso el ritmo de cambio se considera constante, luego la función     \( V(t) \)    es una recta, y su derivada en todo punto    \( \big(a,f(a)\big) \)    es la pendiente de dicha recta, que viene dada por


\( V'(t)=\displaystyle\lim_{x \to{a}}{\displaystyle\frac{V(t)-V(a)}{x-a}} \).

En este ejercicio en particular, (si fuese una curva no podría ser así), se toma

\( V'(t)=\displaystyle\frac{V(t+1)-V(t)}{t+1-t}=V(t+1)-V(t)=50cm^3/s \)

Si fuese una curva no se estaría calculando la derivada, si no la velocidad media el volumen medio entre el instante
\( t \)    y el instante    \( t+1 \).

¿O me estoy liando?

CORREGIDO.

27 Abril, 2018, 11:06 am
Respuesta #12

Luis Fuentes

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Hola

Es para no perder de vista que se está haciendo en realidad cuando se deriva. Aplicar las reglas de derivación no es demasiado difícil.

¿Es un inconveniente que no sea difícil? ¿O es una virtud?.

Citar
En este ejercicio en particular, (si fuese una curva no podría ser así), se toma

\( V'(t)=\displaystyle\frac{V(t+1)-V(t)}{t+1-t}=V(t+1)-V(t)=50cm^3/s \)

Si fuese una curva no se estaría calculando la derivada, si no la velocidad media el volumen medio entre el instante
\( t \)    y el instante    \( t+1 \).

¿O me estoy liando?

El problema es que continuamente pareces empeñado en  evaluar \( V(t+1)-V(t) \). Pero eso no es la velocidad instantánea, eso, como después has corregido es la velocidad media en el intervalo de tiempo  \( [t,t+1]. \)

Saludos.

27 Abril, 2018, 11:43 am
Respuesta #13

Buscón

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Hola

Es para no perder de vista que se está haciendo en realidad cuando se deriva. Aplicar las reglas de derivación no es demasiado difícil.

¿Es un inconveniente que no sea difícil? ¿O es una virtud?.

Yo más bien diría que una verdadera maravilla!

Citar
En este ejercicio en particular, (si fuese una curva no podría ser así), se toma

\( V'(t)=\displaystyle\frac{V(t+1)-V(t)}{t+1-t}=V(t+1)-V(t)=50cm^3/s \)

Si fuese una curva no se estaría calculando la derivada, si no la velocidad media el volumen medio entre el instante
\( t \)    y el instante    \( t+1 \).

¿O me estoy liando?

El problema es que continuamente pareces empeñado en  evaluar \( V(t+1)-V(t) \). Pero eso no es la velocidad instantánea, eso, como después has corregido es la velocidad media en el intervalo de tiempo  \( [t,t+1]. \)


No. El problema es que para definir la derivada de una función en un punto se lleva al límite la proximidad en el cociente entre, el incremento del valor que la función toma en dos puntos próximos y el incremento de dichos puntos. A esto se le llama luego derivada, incremento instantáneo, ritmo de cambio instantáneo o puntual,etc. de la función en el menor de los puntos elegidos.

Entonces, al calcular el cociente entre el incremento de los valores que la función toma en dos puntos próximos y el incremento de dichos puntos sin llevarlo al límite, no se está calculando exactamente la derivada, sino que se está calculando el incremento del valor de la función por "unidad" de incremento,  (el incremento elegido en el dominio ahora es arbitrario, ya no se lleva al límite la proximidad). Sin embargo, igualmente se le llama derivada, incremento instantáneo, ritmo de cambio instantáneo, etc., cuando en realidad, en cualquier, caso sea cual sea el incremento elegido, es un incremento medio entre dos puntos del dominio, y no instantáneo.

¿Muy descabellado?

??? ??? ???
 

Saludos.

27 Abril, 2018, 11:50 am
Respuesta #14

Luis Fuentes

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Hola

Entonces, al calcular el cociente entre el incremento de los valores que la función toma en dos puntos próximos y el incremento de dichos puntos sin llevarlo al límite, no se está calculando exactamente la derivada, sino que se está calculando el incremento del valor de la función por "unidad" de incremento,  (el incremento elegido en el dominio ahora es arbitrario, ya no se lleva al límite la proximidad). Sin embargo, igualmente se le llama derivada, incremento instantáneo, ritmo de cambio instantáneo, etc., cuando en realidad, en cualquier, caso sea cual sea el incremento elegido, es un incremento medio entre dos puntos del dominio, y no instantáneo.

Lo que he marcado en rojo está mal. Si se evalúa el incremento de la función entre dos puntos concretos (sin ningún paso posterior al límite) no es cierto que se le llame ni derivad ni incremento instantáneo.

Saludos.

27 Abril, 2018, 01:46 pm
Respuesta #15

Buscón

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Hola

Entonces, al calcular el cociente entre el incremento de los valores que la función toma en dos puntos próximos y el incremento de dichos puntos sin llevarlo al límite, no se está calculando exactamente la derivada, sino que se está calculando el incremento del valor de la función por "unidad" de incremento,  (el incremento elegido en el dominio ahora es arbitrario, ya no se lleva al límite la proximidad). Sin embargo, igualmente se le llama derivada, incremento instantáneo, ritmo de cambio instantáneo, etc., cuando en realidad, en cualquier, caso sea cual sea el incremento elegido, es un incremento medio entre dos puntos del dominio, y no instantáneo.

Lo que he marcado en rojo está mal. Si se evalúa el incremento de la función entre dos puntos concretos (sin ningún paso posterior al límite) no es cierto que se le llame ni derivad ni incremento instantáneo.

Saludos.

Entonces cuando se dice que un cuerpo se mueve a    \( 20m/sg. \)    no se hace referencia a la velocidad instantánea del cuerpo, sino a cuanto se ha movido en un segundo. Sin paso al límite, no se hace referencia a su ritmo de cambio instantáneo, esto es,

\( E'=\displaystyle\lim_{\triangle t \to{0}}{\displaystyle\frac{E(t+\triangle t)-E(t)}{\triangle  t}}\neq{}\displaystyle\frac{E(t+\triangle t)-E(t)}{\cancel{t}+1-\cancel{t}}=\triangle E/sg. \),    donde     \( E=\textrm{espacio recorrido} \).

\( \triangle E/sg. \)    es pues la velocidad media del cuerpo durante un tiempo igual a un segundo. Podría tener infinidad de velocidades instantáneas, todas ellas muy distintas entre sí, en ese segundo.

Cuando se dice "La velocidad de un cuerpo es de     \( 20 m/s \)..." ¿Se debe entender que es velocidad instantánea?

Realmente la velocidad instantánea es un concepto abstracto que no existe. ¿No?

Saludos.

27 Abril, 2018, 09:29 pm
Respuesta #16

robinlambada

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Hola Buscón , vaya lio que te estás montando.
Hola

Entonces, al calcular el cociente entre el incremento de los valores que la función toma en dos puntos próximos y el incremento de dichos puntos sin llevarlo al límite, no se está calculando exactamente la derivada, sino que se está calculando el incremento del valor de la función por "unidad" de incremento,  (el incremento elegido en el dominio ahora es arbitrario, ya no se lleva al límite la proximidad). Sin embargo, igualmente se le llama derivada, incremento instantáneo, ritmo de cambio instantáneo, etc., cuando en realidad, en cualquier, caso sea cual sea el incremento elegido, es un incremento medio entre dos puntos del dominio, y no instantáneo.

Lo que he marcado en rojo está mal. Si se evalúa el incremento de la función entre dos puntos concretos (sin ningún paso posterior al límite) no es cierto que se le llame ni derivad ni incremento instantáneo.

Saludos.

Entonces cuando se dice que un cuerpo se mueve a    \( 20m/sg. \)    no se hace referencia a la velocidad instantánea del cuerpo, sino a cuanto se ha movido en un segundo. Sin paso al límite, no se hace referencia a su ritmo de cambio instantáneo, esto es,

\( E'=\displaystyle\lim_{\triangle t \to{0}}{\displaystyle\frac{E(t+\triangle t)-E(t)}{\triangle  t}}\neq{}\displaystyle\frac{E(t+\triangle t)-E(t)}{\cancel{t}+1-\cancel{t}}=\triangle E/sg. \),    donde     \( E=\textrm{espacio recorrido} \).

\( \triangle E/sg. \)    es pues la velocidad media del cuerpo durante un tiempo igual a un segundo. Podría tener infinidad de velocidades instantáneas, todas ellas muy distintas entre sí, en ese segundo.

Cuando se dice "La velocidad de un cuerpo es de     \( 20 m/s \)..." ¿Se debe entender que es velocidad instantánea?
En principio si, pero también es la promedio, me explico:

- La velocidad instantánea va asociada por definición a un instante concreto, o te dicen la velocidad en \( t=t_o \), entonces es evidente que se trata de la velocidad instantánea. Si solo te dicen que la velocidad es 50 \( cm^3/s \) y no especifican, se entiende que es la velocidad instantánea y promedio, que coinciden. ya que si no coincidieran te deberían especificar cual de ellas es y normalmente si es instantánea te deben decir el instante y si es promedio el intervalo de tiempo.

Creo que lo que te ha confundido ha sido la forma de decirte la velocidad con que cambia el volumen, cuando te dicen que el volumen se incrementa a razón de 50 \( cm^3/s \) como no te están diciendo cual es el intervalo de tiempo tomado \( t_o \) y \( t_1 \), esa razón de incremento de volumen es constante y en el fondo te están diciendo que la velocidad (ya no es necesario decir si es la promedio o la instantánea pues coinciden) de llenado es de \( V'(t)=50 ,cm^3/s \)

Y te piden la velocidad de aumento del radio en el instante que vale 5 cm. por tanto te piden la velocidad instantánea cuando \( r=5 \)

Se está llenando un globo de forma esférica con gas a razón de    \( 50\;cm^3/s \).   Calcula la velocidad a la que

está aumentando el radio,    \( r \),    del globo cuando su valor es    \( r=5 \).



Por ello  si \( t_5 \) es cuando el radio es 5, \( r(t_5)=5 \) ¡¡OJO la velocidad instántenea de incremento del radio ya no es constante

Debes calcular \( r'(t_5)=\displaystyle\frac{dr(t_5)}{dt} \) , para ello debes derivar en alguna expresión que aparezcas el radio ( explícito o implícito)

Para ello tienes:

\( V(r(t))=\displaystyle\frac{4\pi}{3}r^3(t) \)  y \( V'(t)=50 \)

\( V'(t)=\frac{dV}{dr}\cdot{\frac{dr}{dt}}=3\cdot{}\displaystyle\frac{4\pi}{3}r^2(t)\cdot{}r`(t) \)

Citar

Realmente la velocidad instantánea es un concepto abstracto que no existe. ¿No?

Saludos.
Bueno , depende del significado que le demos a abstracto, en principio es un concepto abstracto en el mismo sentido que lo es el concepto de límite.

Si entendemos abstracto como lo que se obtiene por abstracción, en ese caso no existe realmente*  la  la velocidad instantánea. (* como realidad observable directamente en la naturaleza)


Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

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04 Mayo, 2018, 11:23 am
Respuesta #17

Buscón

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Hola

Es para no perder de vista que se está haciendo en realidad cuando se deriva. Aplicar las reglas de derivación no es demasiado difícil.

¿Es un inconveniente que no sea difícil? ¿O es una virtud?.

Retomando el hilo, ya manifesté que me parece una virtud. Sin embargo no siempre se pueden aplicar. ¿Que regla usar para calcular la derivada de    \( f(x)=|x| \)?

Y si hay un caso es probable que haya más.

Saludos.

05 Mayo, 2018, 09:21 am
Respuesta #18

robinlambada

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Hola.
Hola

Es para no perder de vista que se está haciendo en realidad cuando se deriva. Aplicar las reglas de derivación no es demasiado difícil.

¿Es un inconveniente que no sea difícil? ¿O es una virtud?.

Retomando el hilo, ya manifesté que me parece una virtud. Sin embargo no siempre se pueden aplicar. ¿Que regla usar para calcular la derivada de    \( f(x)=|x| \)?

Y si hay un caso es probable que haya más.

Saludos.
El único punto dudoso en \( f(x)=|x| \) es \( x=0 \). Debes utilizar que la derivada por la derecha y por la izquierda de \( x=0 \), deben coincidir.

Tomando \( f(x)=\begin{cases} -x & \text{si}& x<0\\x & \text{si}& x\geq{}0\end{cases} \)

Saludos.
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05 Mayo, 2018, 09:28 am
Respuesta #19

robinlambada

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Hola viendo el sentido de la pregunta, en tu ejemplo también puedes aplicar las reglas de derivación para cualquier punto que no sea el x=0 y en el cero ves los límites laterales.

Saludos.
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