Autor Tema: Raíces "complejas"

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25 Abril, 2018, 10:55 am
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Reaversword

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Hola, soy nuevo en el foro, y os traigo una pregunta, quizá un tanto extrema, que no consigo aclarar por mi mismo.

Primero, un poco de teoría básica:

\( \sqrt[2.0]{8} = 2.8284..... \) ó \( \sqrt[3.0]{8} = 2.0 \)



En la relacion que existe entre raices y potencias, cabe decir que esto mismo se puede expresar como:

\(  8^\frac{1}{2.0} = 2.8284.... \) ó \(  8^\frac{1}{3.0} = 2.0 \)



Sin embargo, tal y como se eneñan las potencias, -y esto tiene que ver mucho con la pregunta final- se hace difícil imaginar, o al menos para mí lo es, como representar esto literalmente, es decir:

\(  8^{2.0} = 8 * 8 \)

pero...

\(  8^\frac{1}{2.0} =  \) aaa... 8*cuanto?, medio ocho * medio ocho (que no 4 por 4)?



Además, sabemos que cuando el índice de una raíz es impar, es posible calcular el resultado para un número negativo sin meternos en números complejos:

Par:
\( \sqrt[2.0]{-8} = 2.8284.....*i = \sqrt[2.0]{8} * \sqrt[2.0]{-1} \)

Impar:
\( \sqrt[3.0]{-8} = -2.0 \)



El índice no puede ser cero, porque puesto en forma de potencia:

\( \sqrt[0.0]{n} =  n^ \frac{1}{0} \) es un número elevado a infinito, es decir, igual a infinito



Pero aún hay más, el índice de una raíz también puede ser negativo, cosa que invierte el resultado (1/resultado) :

\( \sqrt[-2.0]{8} = \frac{1}{2.8284.....} \)

\( \sqrt[-3.0]{8} = \frac{1}{2.0} \)


Esto en forma de potencia significa invertir la base, para dejar el exponente de la potencia como un número positivo, de esta manera:

\(  n^{-exp} = \frac{1}{n^{exp}} \)

como aquí:

\(  8^\frac{1}{-2} = \frac{1}{8^\frac{1}{2}} = \frac{1}{2.8284....} = 0,35355..... \)

\(  8^\frac{1}{-3} = \frac{1}{8^\frac{1}{3}}  = \frac{1}{2.0} = 0.5 \)



...y por supuesto, podemos combinar ambos negativos:

\(  -8^\frac{1}{-2} =  \frac{1}{-8^\frac{1}{2}}  = \frac{1}{-2.8284....*i} \)

\(  -8^\frac{1}{-3} = \frac{1}{-8^\frac{1}{3}}  = \frac{1}{-2.0} = -0.5 \)



Además, está claro que mientras que estamos acostumbrados a las raíces de índice entero (raíz cuadrada, cúbica, etc...), existen las flotantes:

\( \sqrt[2.0]{8} = 2.8284..... \)
\( \sqrt[2.2]{8} = 2,5733..... \)
\( \sqrt[2.4]{8} = 2,3784..... \)
\( \sqrt[2.6]{8} = 2,2250..... \)
\( \sqrt[2.8]{8} = 2,1015..... \)
\( \sqrt[3.0]{8} = 2.0 \)


Ahora bien, y aquí es donde la cosa se pone interesante: Si bien está claro que sólo podemos calcular las raíces de índice impar sin necesidad de usar números complejos, ¿qué sucede cuando el índice de una raíz no es un entero?.
Sabemos que con un índice 2, -*- ó +*+ siempre será +, y que con un índice 3, -*-*- ó +*+*+ pueden ser ambas cosas, pero si el índice es flotante, ¿Cómo ejecutamos exactamente la operación de signos? No existe la "fracción de -" * "fracción de -". Si bien podemos calcular el valor de raíces de índice flotante, ¿Cómo calculamos su signo?


Un saludo al foro

25 Abril, 2018, 11:42 am
Respuesta #1

Masacroso

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En análisis matemático las potencias de números reales positivos se definen a través del álgebra asociada a un cuerpo ordenado primero y luego a través de límites. Es decir, tomando siempre \( x>0 \) primero se estudian las potencias enteras, luego las raíces enteras, luego las potencias racionales (es decir, un número elevado a un número racional) y por último las potencias elevadas a un número real cualquiera.

Si el índice \( a \) de una raíz (o potencia) no es entero pero es racional entonces las soluciones reales a la ecuación \( x^a=c \) pueden tener signo positivo o negativo, dependiendo del número racional que sea. Si el índice \( a \) no es racional entonces se define normalmente el valor de \( x^a \) como positivo a través del límite de una sucesión de índices racionales.

No conozco el tema a fondo pero me parece que el único valor posible que se le puede adjudicar a \( x^a \) cuando \( a \) no es racional es positivo (habría que ver si definiendo el límite con sucesiones  de índices complejos la cosa cambia o tiene sentido).

26 Abril, 2018, 11:43 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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26 Abril, 2018, 11:00 pm
Respuesta #3

Reaversword

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Hola chicos, gracias por las respuestas, tengo mucho que repasar y re-estudiar para darle forma a todo esto de nuevo en mi cabeza, y las circunstancias no me dejan, pero tarde o temprano.

Tengo que mirar lo del límite de sucesión, el caso de los irracionales (ya he visto que uno de los links va de cabeza al tema), y ya me he dado cuenta del tremendo error que es quedarse en un índice de 2.2, en lugar de en un 11/5, por ejemplo, cosa que aclara bastante la situación para los reales racionales.

A ver si me dejan sacar un poco de tiempo y puedo ahondar más. Gracias por las respuestas de nuevo, ya tengo por dónde seguir tirando del hilo. Una maravilla comprobar que no estás sólo cuando realmente lo necesitas.