[megasaw]

Buenas, necesito ayuda con unas demostraciones de matrices que no he podido demostrar en horas, ya que llego hasta cierto punto y no demuestro nada. Las preguntas son:
1. Hallar todas las matrices cuadradas de orden 2 cuyo cuadrado sea nulo. (Es decir sea una matriz llena de ceros).
2. Si A es simétrica y P cuadrada entonces \( PAP^T \) es simétrica.
3. Demostrar que una matriz cuadrada de orden n puede descomponerse de forma única como suma de una matriz simétrica y otra asimétrica.

La primera tuve la idea de usar inducción, pero no hallé una hipótesis de la cual partir, en la segunda pensé usar las propiedades de los diferentes tipos de matrices, pero llego a un punto donde no puedo avanzar y el la última no tengo la menor idea de qué hacer... ¿Pueden ayduarme?

[delmar]

Hola

Ayudo con el 1)

Denominando A, la matriz de orden 2 cuyo cuadrado es la matriz nula.

\( A=\begin{bmatrix}{x}&{y}\\{z}&{w}\end{bmatrix}\Rightarrow{A^2=\begin{bmatrix}{x^2+zy}&{xy+yw}\\{zx+zw}&{zy+w^2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}} \)

Para que se cumpla la igualdad se han de cumplir 4 ecuaciones :

\( x^2+zy=0 \) Ec. 1

\( xy+yw=0\Rightarrow{y(x+w)=0} \) Ec. 2

\( zx+zw=0\Rightarrow{z(x+w)=0} \) Ec. 3

\( zy+w^2=0 \) Ec. 4

Considerando como parámetros a z,y

Se tienen las siguientes posibilidades :

i) \( z=0, y=0 \)

ii) \( z=0, y\neq{0} \)

iii) \( z\neq{0}, y=0 \)

iv) \( z\neq{0}, y\neq{0} \)

Alternativa i)

Por la Ec. 1  y 4 se tiene : \( x=0, z=0 \), luego A es la matriz nula

Alternativa ii)

Por la Ec. 2 se tiene : \( w=-x \), por la Ec. 1 \( x=0\Rightarrow{w=0} \), luego \( A=\begin{bmatrix}{0}&{y}\\{0}&{0}\end{bmatrix} \)

Alternativa iii)

Por la Ec. 3, \( w=-x \), por la Ec. 1, \( x=0\Rightarrow{w=0} \), luego \( A=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{z}&{0}\end{bmatrix} \)

Alternativa iv)

Por la Ec. 2 o 3, se tiene : \( w=-x \), por la Ec. 1, \( z=\displaystyle\frac{-x^2}{y} \) factible por ser \( y\neq{0} \), luego \( A=\begin{bmatrix}{x}&{y}\\{\displaystyle\frac{-x^2}{y}}&{-x}\end{bmatrix} \)

Ahí, se tienen las 4 clases de matrices cuyo cuadrado es la matriz nula, denominando Q al conjunto de estas matrices, el conjunto se puede determinar por comprensión utilizando las 4 clases obtenidas.


Saludos

[megasaw]

Hola

Ayudo con el 1)

Denominando A, la matriz de orden 2 cuyo cuadrado es la matriz nula.

\( A=\begin{bmatrix}{x}&{y}\\{z}&{w}\end{bmatrix}\Rightarrow{A^2=\begin{bmatrix}{x^2+zy}&{xy+yw}\\{zx+zw}&{zy+w^2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}} \)

Para que se cumpla la igualdad se han de cumplir 4 ecuaciones :

\( x^2+zy=0 \) Ec. 1

\( xy+yw=0\Rightarrow{y(x+w)=0} \) Ec. 2

\( zx+zw=0\Rightarrow{z(x+w)=0} \) Ec. 3

\( zy+w^2=0 \) Ec. 4

Considerando como parámetros a z,y

Se tienen las siguientes posibilidades :

i) \( z=0, y=0 \)

ii) \( z=0, y\neq{0} \)

iii) \( z\neq{0}, y=0 \)

iv) \( z\neq{0}, y\neq{0} \)

Alternativa i)

Por la Ec. 1  y 4 se tiene : \( x=0, z=0 \), luego A es la matriz nula

Alternativa ii)

Por la Ec. 2 se tiene : \( w=-x \), por la Ec. 1 \( x=0\Rightarrow{w=0} \), luego \( A=\begin{bmatrix}{0}&{y}\\{0}&{0}\end{bmatrix} \)

Alternativa iii)

Por la Ec. 3, \( w=-x \), por la Ec. 1, \( x=0\Rightarrow{w=0} \), luego \( A=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{z}&{0}\end{bmatrix} \)

Alternativa iv)

Por la Ec. 2 o 3, se tiene : \( w=-x \), por la Ec. 1, \( z=\displaystyle\frac{-x^2}{y} \) factible por ser \( y\neq{0} \), luego \( A=\begin{bmatrix}{x}&{y}\\{\displaystyle\frac{-x^2}{y}}&{-x}\end{bmatrix} \)

Ahí, se tienen las 4 clases de matrices cuyo cuadrado es la matriz nula, denominando Q al conjunto de estas matrices, el conjunto se puede determinar por comprensión utilizando las 4 clases obtenidas.


Saludos

Muchísimas gracias de verdad, pero de casualidad sabes cómo puedo demostrar las otras dos? Sólo necesito eso

[Fernando Revilla]

2. Si A es simétrica y P cuadrada entonces \( PAP^T \) es simétrica.

Verifica cada paso: \( \left(PAP^T\right)^T=(P^T)^TA^TP^T=PAP^T. \)

3. Demostrar que una matriz cuadrada de orden n puede descomponerse de forma única como suma de una matriz simétrica y otra asimétrica.

Unicidad. Si \( M=S+T \) con \( S \) simétrica y \( A \) antisimétrica, trasponiendo la igualdad y resolviendo el sistema resultante obtendrás necesariamente que \( S=\frac{1}{2}\left(M+M^T\right) \) y \( A=\frac{1}{2}\left(M-M^T\right). \)
Existencia. Verifica que efectivamente \( M=\frac{1}{2}\left(M+M^T\right)+\frac{1}{2}\left(M-M^T\right) \), que \( \frac{1}{2}\left(M+M^T\right) \) es simétrica y que \( \frac{1}{2}\left(M-M^T\right) \) es antisimétrica.

[megasaw]

2. Si A es simétrica y P cuadrada entonces \( PAP^T \) es simétrica.

Verifica cada paso: \( \left(PAP^T\right)^T=(P^T)^TA^TP^T=PAP^T. \)

3. Demostrar que una matriz cuadrada de orden n puede descomponerse de forma única como suma de una matriz simétrica y otra asimétrica.

Unicidad. Si \( M=S+T \) con \( S \) simétrica y \( A \) antisimétrica, trasponiendo la igualdad y resolviendo el sistema resultante obtendrás necesariamente que \( S=\frac{1}{2}\left(M+M^T\right) \) y \( A=\frac{1}{2}\left(M-M^T\right). \)
Existencia. Verifica que efectivamente \( M=\frac{1}{2}\left(M+M^T\right)+\frac{1}{2}\left(M-M^T\right) \), que \( \frac{1}{2}\left(M+M^T\right) \) es simétrica y que \( \frac{1}{2}\left(M-M^T\right) \) es antisimétrica.

Muchas muchas gracias!!