[elimogo]

Buenas tardes, tengo el siguiente problema y no se como resolverlo;

Sea \( Q=[0,1] \)x\( [0,1] \)\( \subset{\mathbb{R^2}} \) un rectangulo y \( f:Q\longrightarrow{\mathbb{R}} \) una función definida por:
\( f(x,y)=\begin{cases}1 & \text{si}& 0\leq{x}\leq{\displaystyle\frac{1}{2}}\\0 & \text{si}& \displaystyle\frac{1}{2}<x\leq{1} \displaystyle\end{cases} \).
 
 1. Demuestre que \( f \) no es continua sobre \( Q \).
 2. Demuestre por definición que \( f \) es integrable sobre \( Q \).

[arkady-svidrigailov]

Se me ocurre algo para la parte 1:

Si \( f \) fuera continua, debería ser en los puntos interiores \( (a,b) \): \( \displaystyle\lim_{(x, y) \to (a,b )}{f} = f(a, b) \). Si se toma el punto \( (1/2, 1/2) \), se tiene que \( f(1/2, 1/2) = 1 \), y debería ser \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to (1/2, 1/2)}{f} =1 \). Defínase \( g(x) = f(x, 1/2) \), debería ser \( \displaystyle\lim_{x \to 1/2}{g} = 1 \), pero resulta que tal límite es \( 0 \). Por lo tanto \( f \) no es continua.

[Luis Fuentes]

Hola

 Para la prueba de la integrabilidad basta tener en cuenta que en cualquier rectángulo que no corte a la recta \( x=1 \) las sumas inferiores y superiores coinciden y en los que si la cortan la diferencia es \( 1 \) por el área del rectángulo. Recburiendo la recta \( x=1 \) por rectángulos suficientemente pequeños puede hacerse esta diferencia tan pequeña como se quiera.

Saludos.