Autor Tema: Probar que es raíz primitiva de la unidad

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21 Abril, 2018, 07:24 pm
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mathspirit

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Estoy viendo un final donde se que \( z \in G_{24}* \)  (raíces 24-avas primitivas de la unidad)

Quiero probar que \( z^4 \) es raíz primitiva de \( G_6 \)

Puedo probar fácilmente que es raíz de \( G_6 \) pero no entiendo bien cómo probar que es primitiva.

Probar que es raíz de \( G_6 \):

\( z^{24} = (z^4)^6 = 1 \) (como da uno significa que es raíz)


Entiendo que las primitivas de n elevadas a n dan uno, pero no estoy seguro qué pasa si elevo una no-primitiva a n. Implica que no puede dar uno? Si es así entiendo cómo está resuelto pero no se si esa regla es cierta.

Me refiero a :

\( z^n = 1 \Leftrightarrow{} z \in G_n* \)

Digamos que esto explicaría el ejercicio pero me estoy inventando esta regla, no se si es cierta.

22 Abril, 2018, 07:58 am
Respuesta #1

martiniano

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Hola buenas. No es que controle mucho del asunto así que perdona si me equivoco o si cometo faltas de rigor.

Entiendo que las primitivas de n elevadas a n dan uno, pero no estoy seguro qué pasa si elevo una no-primitiva a n. Implica que no puede dar uno? Si es así entiendo cómo está resuelto pero no se si esa regla es cierta.

Si llamamos n al orden del grupo, hasta donde yo sé, una raíz no primitiva elevada a n da 1. Lo que tiene que cumplir una raíz para ser primitiva es que todas sus potencias  de exponente menor que n sean distintas de 1. Tenemos que:
\( G_{24}=\left\{{1,z^1,z^2...z^{23}}\right\} \)
\( G_6=\left\{{1,a^1,a^2...a^5}\right\} \)
Tomando \( a=z^4 \) tenemos:

\( (z^4)^1=a\neq{1} \)
\( (z^4)^2=a^2\neq{1} \)
\( (z^4)^3=a^3\neq{1} \)
\( (z^4)^4=a^4\neq{1} \)
\( (z^4)^5=a^5\neq{1} \)
\( (z^4)^6=1 \)

Espero que te sirva.