Autor Tema: Proporcionalidad ángulos al centro y arcos

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20 Abril, 2018, 09:59 am
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alicenujan

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No se si es la sección corecta, pero tengo una duda reguardo la proporcionalidad entre arcos y ángulos al centro... :(
He leido: "Se puede demostrar que se aplica el siguiente criterio: Una condición necesaria y suficiente para dos clases de cantidades en una correspondencia biyectiva son directamente proporcionales es que
• A mismas magnitudes de una clase corresponden a las mismas magnitudes de la otra;
 • la suma de dos cantidades de una clase corresponde a la suma de las cantidades correspondentes del otra clase."
Si este criterio es verdadero entonces es banal la explicación de la proporcionalidad entre ángulos al centro y arcos, Pero por qué vale este criterio?

20 Abril, 2018, 11:19 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

No se si es la sección corecta, pero tengo una duda reguardo la proporcionalidad entre arcos y ángulos al centro... :(
He leido: "Se puede demostrar que se aplica el siguiente criterio: Una condición necesaria y suficiente para dos clases de cantidades en una correspondencia biyectiva son directamente proporcionales es que
• A mismas magnitudes de una clase corresponden a las mismas magnitudes de la otra;
 • la suma de dos cantidades de una clase corresponde a la suma de las cantidades correspondentes del otra clase."
Si este criterio es verdadero entonces es banal la explicación de la proporcionalidad entre ángulos al centro y arcos, Pero por qué vale este criterio?

En realidad veo innecesario semejante trabalenguas para entender nada relacionado con ángulos y arcos.

Si queremos dar rigurosidad a esas frases (que me resultan un tanto imprecisas) tendríamos:

1- Una aplicación biyectiva \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) es una aplicación inyectiva y sobreyectiva.
2- Que corresponda a una relación de propocionalidad significa que \( f(x)=kx \) para una cierta \( k \) constante no nula.

3- Que a las mismas magnitudes de una le correspondan las mismas de otra, se traduce en que la aplicación es inyectiva.
4- Que la suma de dos cantidades de una clase corresponda a la suma de las cantidades correspondientes se traduce en que: \( f(x+y)=f(x)+f(y) \)

Entonces que (1) y (2) implican (3) y (4) es evidente.

Que (3) y (4) implican (1) y (2) no tanto; de hecho sólo es cierto si \( f \) es una aplicación continua (hipótesis razonable en el contexto en el que te mueves). La prueba es esta:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=9571.0

Saludos.

20 Abril, 2018, 11:48 am
Respuesta #2

alicenujan

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Gracias Manco, pero yo quería simplemente comprender el motivo que en una circunferencia tenemos que los angulos al centro son proporcionales a los respectivos arcos... ¿como se explica exactamente esta proporcionalidad?

20 Abril, 2018, 11:53 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Gracias Manco, pero yo quería simplemente comprender el motivo que en una circunferencia tenemos que los angulos al centro son proporcionales a los respectivos arcos... ¿como se explica exactamente esta proporcionalidad?

Es que me cuesta darte una justificación rigurosa si previamente no me das una definición rigurosa de ángulo.

Por ejemplo el Teorema de Tales asegura, que si en lugar de arcos tomas los segmentos que unen los extremos del arco tienes proporcionalidad (es decir para circunferencias concéntricas, los segementos que abarcan arcos determinados por las mismas rectas pasando por el centro son proporcionales. Ahora la longitud de un arco puede aproximarse por segmentos cada vez más pequeños y de ahí que se mantenga la proporcionalidad.

Saludos.

20 Abril, 2018, 01:17 pm
Respuesta #4

alicenujan

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Perdon pero no comprendo...
Me parece que has demostrado (repitiendo el razonamiento) que los arcos determinados de dos rectas que constituyen un angulo de circunferencias concentricas son proporcionales, invez nosotros queriamos demostrar que los angulos al centro y los respectivos arcos son proporcionales... ¿entonces? :(

20 Abril, 2018, 01:22 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Perdon pero no comprendo...
Me parece que has demostrado (repitiendo el razonamiento) que los arcos determinados de dos rectas que constituyen un angulo de circunferencias concentricas son proporcionales, invez nosotros queriamos demostrar que los angulos al centro y los respectivos arcos son proporcionales... ¿entonces? :(

¿Pero qué entiendes por ángulo?. Tienes que tener claro que para poder dar una respuesta precisa a tu pregunta tienes que tener una noción clara y precisa de lo que es ángulo y de su medida. Es curioso, porque intuitivamente es fácil tener esa noción, pero su definición y manejo riguroso es un tanto escurridizo.

En realidad un ángulo puede definirse como un par de semirectas que se cortan y su valor como el cociente entre la longitud del arco que delimintan en una circunferencia con centro la intersección de la semirectas. Para que esa definición sea buena esos arcos deben de ser proporcionales a los correspondientes radios y eso es lo que te he justificado en mi anterior mensaje.

Saludos.

20 Abril, 2018, 01:33 pm
Respuesta #6

alicenujan

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Gracias Manco. Con ángulo entiendo simplemente
la parte del plano entre dos semirectas que salen del mismo punto (vértice). Pero no leo bién has dicho que tu definición de ángulo es el cociente entre cosa?

(Y también no comprendo como utilizas exactamente el teorema de Tales...)

aquí lo que decìa del criterio que en mi libro esta escrito
"Vale cioè il seguente criterio (che non dimostriamo)" que significa "Vale este criterio (que no vamos a demostrar)"
... "primer criterio de proporcionalidad". ¿Entonces como se demuestra?



ps. ¿como se hace a poner la imagen en el post?

20 Abril, 2018, 07:25 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Gracias Manco. Con ángulo entiendo simplemente
la parte del plano entre dos semirectas que salen del mismo punto (vértice).

Pero eso es una definición de ángulo, pero no de medida del ángulo.

Citar
Pero no leo bién has dicho que tu definición de ángulo es el cociente entre cosa?

Básicamente el cociente entre la longitud del arco y el radio de la circunferencia sobre el cuál está el mismo.

Citar
(Y también no comprendo como utilizas exactamente el teorema de Tales...)



Mira el dibujo. El Teorema de Tales permite afirmar que las longitudes de los segmentos rojos y azules con proporcionales a los radios de las correspondientes circunferencias; dado que los arcos pueden aproximarse por segmentos cada vez más pequeños la propiedad se traslada a la longitud de los arcos.

Citar
aquí lo que decìa del criterio que en mi libro esta escrito
"Vale cioè il seguente criterio (che non dimostriamo)" que significa "Vale este criterio (que no vamos a demostrar)"
... "primer criterio de proporcionalidad". ¿Entonces como se demuestra?




Insisto en lo mismo. Para demostrar eso lo primero es darle un significado riguroso. Lo he hecho en mi primera respuesta. Te remito a ella.

En otro caso. ¿Qué entiendes por magnitud? ¿Qué entiendes por proporcionalidad? ¿Qué entiendes por "suma de magntiudes"? ¿En qué conjunto definies esa suma? ¿Cómo está definida?.

Citar
ps. ¿como se hace a poner la imagen en el post?

Mira aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=3659.msg14457#msg14457

Saludos.

22 Abril, 2018, 12:14 pm
Respuesta #8

alicenujan

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Hola Manco, perdon por el retraso... (estaba ocupada con las tareas de la escuela).
Sinceramente no entendí lo que has dicho sobre la aplicación de el teorema de Tales. Quiero decir, el teorema de Tales dice: ": Si dos rectas, no necesariamente paralelas, son cortadas por un sistema de rectas paralelas, entonces los segmentos que resultan sobre una de las dos rectas son proporcionales a los correspondientes segmentos obtenidos sobre la otra."
y en tu dibujo ¿cuál sono las rectas paralelas, y como aplicas el teorema de Tales exactamente?

Esto es lo que pienso (no se si efectivamente corecto...):
Con "magnitud" me refiero a la palabra italiana "grandezza" que significa ( he leido así) los entes que se pueden sumar y confrontar, establecer si son iguales o de lo contrario, cuál de ellos es el major.

Con proporcionalidad entiendo por ejemplo \( y=kx \) que quiere decir que el cociente entre \( y \) y \( x \) es costante y en general las magnitudes de dos clases en correspondencia biunivoca son directamente proporcionales cuando el cociente de dos magnitudes de la primera clase es igual al cociente de las dos magnitudes correspondientes de la segunda clase.

Por suma de magnitudes quiero decir simplemente la suma de magnitudes por ejemplo de una clase y imagino de ser en los conjunto de los números reales positivos...
(Con medida de un ángulo creo que es establecer el número que indica cuántas veces otro ángulo, elegido como unidad de medida, está contenido en el ángulo dado, y el numeró que se obtiene se dice medida de la amplitud del ángulo).

22 Abril, 2018, 01:38 pm
Respuesta #9

sugata

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En el dibujo, en cada uno de los arcos, las líneas rojas y azules son paralelas.
Pero no son paralelas a las líneas de los otros arcos.

22 Abril, 2018, 01:44 pm
Respuesta #10

alicenujan

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Pero, ¿por qué son paralelas, y como se aplica exactamente el teorema de Tales, es dicir, por qué
los segmentos rojos y azules son proporcionales a los radios de las correspondientes circunferencias? :(

22 Abril, 2018, 01:53 pm
Respuesta #11

sugata

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Date cuenta que los segmentos empiezan y acaban en un punto de la circunferencia, o sea que están a la distancia del radio.
Tenemos entonces la línea coloreada que corta a las semirrectas justo a la distancia que mide el radio.
Thales nos dice que se guardan las proporciones entre los segmentos coloreados y los respectivos radios.
No tengo en el móvil para hacer dibujos, ahí lo verías mejor.

22 Abril, 2018, 02:24 pm
Respuesta #12

alicenujan

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Perdoname pero yo no comprendo... :(
Tales dice que los segmentos que se obtienen en las transversales son proporcionales entre ellos, y no me parece que dice que las rectas  paralelas son proporcionales a los respectivos segmentos... (en este caso a los radios).

22 Abril, 2018, 02:40 pm
Respuesta #13

sugata

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Fijate que cuando trazas paralelas a un par de semirrectas estas creando triángulos semejantes donde los lados en la misma semirrectas serán proporcionales, pero además la proporción entre dos lado en distinta semirrectas también se mantiene.
Thales no lo dice así, pero por semejanzas se puede ampliar.

22 Abril, 2018, 04:27 pm
Respuesta #14

alicenujan

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Gracias sugata ahora creo que lo entedí! :)
Porque el teorema de Tales implica que los triangulos son similares entonces los lados son en proporcione y en particular, los segmentos (de los arcos, también los arcos) sono proporcionales a los respectivos radios. Es decir, hemos demostrado que radios y arcos son proporcionales; pero me parece que no hemos demostrado que los arcos son proporcionales a los ángulos... ¿o no? :(

22 Abril, 2018, 04:36 pm
Respuesta #15

sugata

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Fijate lo que te dice Luis Fuentes justo después del dibujo.
Los segmentos se pueden aproximar tanto como se quieran al arco.
Ahí lo tienes.
Otra Forma:
Se puede definir un ángulo como un arco, con lo que ya lo tendríamos resuelto, o con tu definición de la parte del plano entre dos semirrectas. En ese caso podríamos observar la semejanza entre áreas.

23 Abril, 2018, 10:02 am
Respuesta #16

alicenujan

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mmm... no soy completamente segura de haber entendido.. :(
Pruebo a resumir lo que he entendido:
Hemos demostrado la proporcionalidad entre arcos y los respectivos radios; entonces esto significa que a cada ángulo (medido en grados) corresponde un unico \( \frac{l}{r} \) pero esto no me parece que demuestra la proporcionalidad entre los ángulos al centro y los respectivos arcos, entonces ¿cómo se demuestra?

Otra pregunta, si por por ejemplo lo calculamos, tenemos que \( 180° \) corresponde a \( \pi _{rad} \) pero me parece que esto no implica que \( 360° \) corresponde a \( 2\pi _{rad} \) porque si \( 180° \) determina un determinado valor \( \frac{l}{r} \),
¿cómo hago a hacer segura que si el ángulo es el doble (en grados), tenemos que el corespondiente ángulo (en radiantes) es también el doble? Quizás podría suceder que el "nuevo" ángulo (en radiantes) es menor del precedente...
Para estar segura, pienso que tenemos saber que los ángulos al centro son proporcionales a los respectivos arcos, porque en esta manera dada una misma circunferencia tenemos que si el ángulo aumenta el correspondiente arco aumenta (porque estamos asumiendo la proporcionalidas entre ángulo al centro y arcos correspondientes), mientra el radio es lo mismo (estamos asumiendo una misma circuferencia), y esto implica que  \( \frac{l}{r} \) se duplica (respecto ad antes porque hemos dicho que el ángulo duplica).
Resumiendo, ¿entonces cómo se explica la proporcionalidas entre ángulos al centro y los respectivos arcos?
ps. @sugata no comprendo cuando dices"En ese caso podríamos observar la semejanza entre áreas", ¿cómo se hace exactamente?

26 Abril, 2018, 12:17 pm
Respuesta #17

Luis Fuentes

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Hola

mmm... no soy completamente segura de haber entendido.. :(
Pruebo a resumir lo que he entendido:
Hemos demostrado la proporcionalidad entre arcos y los respectivos radios; entonces esto significa que a cada ángulo (medido en grados) corresponde un unico \( \frac{l}{r} \) pero esto no me parece que demuestra la proporcionalidad entre los ángulos al centro y los respectivos arcos, entonces ¿cómo se demuestra?

Antes de seguir: ¿exactamente cómo defines la medida de un ángulo?.

Saludos.

03 Mayo, 2018, 09:57 pm
Respuesta #18

alicenujan

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Hola Manco, por primero gracias por tu ayudo; no se el motivo pero leeo solo ahora...
Con medida de un ángulo me parece que lo había escrito pero no hay problema a rescribirlo; con medida de un ángulo entiendo establecer el número que indica cuántas veces otro ángulo, elegido como unidad de medida, está contenido en el ángulo dado, y el numeró que se obtiene se dice medida de la amplitud del ángulo, solo esto...