Hola
Hola tengo dificultades para probar este enunciado (no se como empezar)
Sea \( f(n, r) \) el número de funciones sobreyectivas de un conjunto con \( n \) elementos en un conjunto con \( r \) elementos. Demuestre que:
\( f(n, r) = r(f(n - 1, r - 1) + f(n - 1, r)) \)
Fijado un elemento en el conjunto inicial, hay dos tipos de funciones sobreyectivas.
Aquellas que lo siguien siendo si retiramos ese elemento y las que dejan de serlo.
Del primer tipo hay \( f(n-1,r)\cdot r \) aplicaciones: \( f(n-1,r) \) son las aplicaciones sobreyectivas de los \( n-1 \) elementos restantes sobre el mismo conjunto final, y multiplicamos por \( r \) porque el elemento que eliminamos lo podemos llevar a cualquiera de las \( r \) posibles imágenes.
Del segundo tipo hay \( f(n-1,r-1)\cdot r \). Hay \( r \) opciones para la imagen de ese elemento fijado; retirado éste y su imagen multiplicamos por el número de aplicaciones sobreyectivas de los \( n-1 \) elementos restantes en el conjunto inicial a los \( r-1 \) en el final.
Saludos.
