[Buscón]

Hola.

Hola

Las sucesión    \( y_n \)    debe estar en el compacto    \( [a,b] \)    por que nos los dicen. Es una de las hipótesis del enunciado. "Sea     \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    continua..."

No, no nos lo dicen en el enunciado porque en el enunciado no hablan de ninguna sucesión. El enunciado es este:
Sea    \( f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    continua. Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( \boxed{y\in{[a,b]}} \)    tal que

\( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{2}{10}\Big|f(x)\Big|} \).    Prueba que    \( f \)    se anula en algún punto de    \( [a,b] \).

Entonces la sucesión \( \{y_n\} \) la construimos nosotros. En su construcción se usa lo que ha marcado en azul del enunciado; en particular y al respecto de tu duda lo que he metido en un cuadrado. Cada \( y_n\in  [a,b] \) se construye a partir del \( y_{n-1}\in [a,b] \) anterior por la condición en azul del enunciado. De manera precisa se construye como tu mismo describiste aquí:

Fijamos un    \( x_0\in{[a,b]} \)    y lo llamamos    \( y_1 \).

Para    \( y_1\in{[a,b]} \)   existe   \( y_2\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_2)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_1)\big|} \).

Para    \( y_2\in{[a,b]} \)   existe  \( y_3\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_3)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_2)\big|} \).

Para    \( y_3\in{[a,b]} \)    existe  \( y_4\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_4)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_3)\big|} \).

 ¿Estás de acuerdo entonces que la sucesión \( y_n \) que usaremos a lo largo de lo que queda de demostración construída como se indica cumple \( y_n\in [a,b] \)?.

Creo que si, después de ver esto

Sea \(  x_0 \in [a,b]  \) entonces por las hipótesis del enunciado existe \( x_1 \in [a,b]  \) con \( |f(x_1)| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5} \)
Como \( x_1 \in [a,b]  \) por las hipótesis del enunciado existe \( x_2 \in [a,b]  \) con \( |f(x_2)| \leq \dfrac{|f(x_1)|}{5} \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^2}  \).
Por inducción tenemos creada una sucesión \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) tal que para todo \( n\in \mathbb{N} \) se tiene:
1.) \( x_n \in [a,b]  \) y esto es por como la hemos construido, no es una hipótesis que tengamos que añadir.
2.) \( |f(x_n)| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^n}  \).
Como \( \{x_n\} \subset [a,b]  \) la sucesión está acotada entonces tiene una subsucesión convergente \( \{x_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \)
Sea \( \displaystyle \delta = \lim_{n \to +\infty} x_{k_n}  \) como para todo \( n \in \mathbb{N}  \) se tiene \( a \leq x_{k_n} \leq b  \) entonces \( \delta \in [a,b]  \) evidentemente no puede estar fuera por que la sucesión no podría acercarse.
 Como \( |f(x_{k_n})| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^{k_n}} \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^n}  \) tenemos:
\(  \displaystyle 0 = \lim_{n \to +\infty} |f(x_{k_n})| = |f(\lim_{n \to +\infty} x_{k_n})| = |f(\delta)|  \)

 está más claro.

La sucesión    \( y_n \)    no tiene por que estar necesariamente en el compacto    \( [a,b] \)    si se construye a partir de la expresión    \( \big|f(y_n)\big|\leq{\frac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \)    para algún    \( k=1,2,3\ldots \)

Esto (la afirmación en rojo) no tiene sentido. Cuando dices que "se construye a partir de la expresión    \( \big|f(y_n)\big|\leq{\frac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \)    para algún    \( k=1,2,3\ldots \)"... una vez más diría que está bien si no viese que por algún motivo que no entiendo te confunde. De manera precisa se construye como te acabo de recordar arriba; y por construcción está en el compacto \( [a,b] \). Y esa desigualdad es consecuencia de como ha sido construída.

Empieza a estar claro que    \( y_n\subset{}{[a,b]} \)    pero como apuntas aquí

Por ejemplo la sucesión \( \{y_n\}=\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\subset [0,1] \) converge al límite \( \rho=0\in [0,1] \) y NO EXISTE valor alguno de \( n \) para el cuál \( \rho=0=y_n \). Y tu afirmaste en (vi) que si existe; eso en rojo es lo que te sobrea.

sigue sin estar claro que    \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{y_n}\in{[a,b]} \)

Cualquier función convergente a cero podría verificar la desigualdad, incluidas las definidas en    \( \mathbb{R} \).

¿Y ...? Si... bueno... quizá si la función que manejamos está definida en los reales, existan OTRAS sucesiones no definidas en el compacto que cumplan una desigualdad parecida igual. ¿Y qué?. Nosotros no estamos manejando OTRAS sucesiones, o CUALQUIER sucesión. Estamos manejando una sucesión muy concreta la \( \{y_n\} \) construída de una manera muy concreta que nos garantiza que está contenida en \( [a,b] \).

Saludos.

Pues que al final se usa el teorema de continuidad por convergencia para probar resultados que se refieren a funciones continuas definidas en compactos y durante el proceso se van obteniendo y utilizando resultados que son válidos para funciones definidas en abiertos.

[Buscón]

Ves lo que haces, ahora cambias las hipótesis,¿Entendiste al final la demostración?.
Lo que te asegura las hipótesis es que siempre encontraras un valor del intervalo en que la función se anule, si cambias las hipótesis habrá veces que se cumpla y otras que no, ejemplo \( f(x) = (x-3)^2  \) en \(  ]3,5[  \) no existe valor en \( ]3,5[ \) que anule \( f \) y verifica que para cada \( x \in ]3,5[  \) existe \(  y \in ]3,5[  \) con \( |f(y)| \leq \dfrac{|f(x)|}{5}  \).
Podrías contestar lo que pone Luis.

Exacto, cambiando las hipótesis se puede llegar a las mismas conclusiónes. Algo falla ¿No?

[Juan Pablo Sancho]

No llegas a la misma conclusión, si cambias las hipótesis hay funciones que en su intervalo no se anulan, con las hipótesis originales siempre hay un elemento del intervalo que anula la función y esto ocurre por que si tienes una sucesión \( \{t_n\}_{n=1}^{+\infty} \) convergente dentro de un intervalo \( [c,d]  \) su límite está en el intervalo, cosa demostrada en el hilo.

[Buscón]

No llegas a la misma conclusión, si cambias las hipótesis hay funciones que en su intervalo no se anulan, con las hipótesis originales siempre hay un elemento del intervalo que anula la función y esto ocurre por que si tienes una sucesión \( \{t_n\}_{n=1}^{+\infty} \) convergente dentro de un intervalo \( [c,d]  \) su límite está en el intervalo, cosa demostrada en el hilo.

Por ejemplo la sucesión \( \{y_n\}=\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\subset [0,1] \) converge al límite \( \rho=0\in [0,1] \) y NO EXISTE valor alguno de \( n \) para el cuál \( \rho=0=y_n \). Y tu afirmaste en (vi) que si existe; eso en rojo es lo que te sobrea.

Lo pongo en spoiler por que está todo dicho pero no sé otra forma.

Sea \(  x_0 \in [a,b]  \) entonces por las hipótesis del enunciado existe \( x_1 \in [a,b]  \) con \( |f(x_1)| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5} \)
Como \( x_1 \in [a,b]  \) por las hipótesis del enunciado existe \( x_2 \in [a,b]  \) con \( |f(x_2)| \leq \dfrac{|f(x_1)|}{5} \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^2}  \).
Por inducción tenemos creada una sucesión \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) tal que para todo \( n\in \mathbb{N} \) se tiene:
1.) \( x_n \in [a,b]  \) y esto es por como la hemos construido, no es una hipótesis que tengamos que añadir.
2.) \( |f(x_n)| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^n}  \).
Como \( \{x_n\} \subset [a,b]  \) la sucesión está acotada entonces tiene una subsucesión convergente \( \{x_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \)
Sea \( \displaystyle \delta = \lim_{n \to +\infty} x_{k_n}  \) como para todo \( n \in \mathbb{N}  \) se tiene \( a \leq x_{k_n} \leq b  \) entonces \( \delta \in [a,b]  \) evidentemente no puede estar fuera por que la sucesión no podría acercarse.
 Como \( |f(x_{k_n})| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^{k_n}} \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^n}  \) tenemos:
\(  \displaystyle 0 = \lim_{n \to +\infty} |f(x_{k_n})| = |f(\lim_{n \to +\infty} x_{k_n})| = |f(\delta)|  \)

¿Y si no existe ningún valor para el cual   \( y_n=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{y_n} \)?

[Luis Fuentes]

Hola

Por ejemplo la sucesión \( \{y_n\}=\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\subset [0,1] \) converge al límite \( \rho=0\in [0,1] \) y NO EXISTE valor alguno de \( n \) para el cuál \( \rho=0=y_n \). Y tu afirmaste en (vi) que si existe; eso en rojo es lo que te sobrea.

sigue sin estar claro que    \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{y_n}\in{[a,b]} \)

Me parece que estás confundiendo dos cosas:

1- Que el límite \( \sigma \) de \( y_n \) esté en \( [a,b] \).
2- Que el límite \( \sigma \) COINCIDA con un término \( y_n \) de la sucesión.

¿Comprendes que son dos cosas completamente diferentes?. El ejemplo que te puse \( y_n=1/n \) cumple la primera pero NO la segunda. Su límite es \( 0 \), que si está en \( [0,1] \) pero no coincide con ningún término de la sucesión.

Esto venía a cuento de que tu en (vi) afirmabas (2). Y (2) no tiene porqué ser cierto. Sea como sea (2) NO se usa para nada en la demostración.

Pues que al final se usa el teorema de continuidad por convergencia para probar resultados que se refieren a funciones continuas definidas en compactos y durante el proceso se van obteniendo y utilizando resultados que son válidos para funciones definidas en abiertos.

De nuevo sin precisión imposible aclararse. Se usa el teorema de continuidad por convergencia para un PASO muy concreto de la demostración; igualmente se usan otros resultados en otros PASOS. Cualquiera de esos resultados que se usan igualmente se podrán usar en otros casos con algunas hipótesis diferentes; pero lo que interesa es como los usamos en esa demostración. Divagar sobre los mil y unos otros casos en que podríamos aplicarlos, con mil y un matices... sería eterno.

Saludos.

[Buscón]

De nuevo sin precisión imposible aclararse. Se usa el teorema de continuidad por convergencia para un PASO muy concreto de la demostración; igualmente se usan otros resultados en otros PASOS. Cualquiera de esos resultados que se usan igualmente se podrán usar en otros casos con algunas hipótesis diferentes; pero lo que interesa es como los usamos en esa demostración. Divagar sobre los mil y unos otros casos en que podríamos aplicarlos, con mil y un matices... sería eterno.

¿Empezamos la demostración paso a paso enumerando los pasos por si hay que mirar atrás? Para ahorrarte trabajo tu pones los pasos, yo los desarrollo, pongo las objeciones y tu las corriges o debates si quieres.

Si cada respuesta que comienza con PASO es un paso, ya quedan enumeradas y es fácil referirse a él para debatirlo. Los pasos se pueden citar pero nunca modificar. Si se ha de hacer por lo que sea se vuelve a comenzar desde dicho paso.

¿Hace?

[Fernando Revilla]

P.D. Está bien que Juan Pablo te haya demostrado que una sucesión en \( [a,b] \) tiene límite en \( [a,b] \). Pero no puedes pretender cuando haces una demostración tener por en medio que demostrar a su vez cada uno de los resultados conocidos que se utilizan. Es preferible que te creas que son ciertos en un primer momento, entiendas la demostración actual y después si quieres te preocupes de la demostración de esos resultados auxiliares.

Siguiendo tu ejemplo de dar consejos. Te aconsejo  menos negrita, menos consejos y más rojo. Se trata de debatir sobre matemáticas no sobre mi. Por eso no me gusta responder a comentarios que no tienen que ver con lo que se está debatiendo, pero me está resultando imposible.

Muy sensible. Estás tú solito ocupando páginas y páginas con hilos interminables a años luz de distancia con el resto de los mortales de este foro y encima eres desagradecido. Que hablen sobre ti debería ser más obligado que hablar de matemáticas por razones obvias. Los usuarios que te reponden son en general mas pacientes que el Santo Job, pero yo te aconsejaría que reflexionaras un tiempo prudencial sobre tu esquema mental acerca de las matemáticas.

[Buscón]

P.D. Está bien que Juan Pablo te haya demostrado que una sucesión en \( [a,b] \) tiene límite en \( [a,b] \). Pero no puedes pretender cuando haces una demostración tener por en medio que demostrar a su vez cada uno de los resultados conocidos que se utilizan. Es preferible que te creas que son ciertos en un primer momento, entiendas la demostración actual y después si quieres te preocupes de la demostración de esos resultados auxiliares.

Siguiendo tu ejemplo de dar consejos. Te aconsejo  menos negrita, menos consejos y más rojo. Se trata de debatir sobre matemáticas no sobre mi. Por eso no me gusta responder a comentarios que no tienen que ver con lo que se está debatiendo, pero me está resultando imposible.

Muy sensible. Estás tú solito ocupando páginas y páginas con hilos interminables a años luz de distancia con el resto de los mortales de este foro y encima eres desagradecido. Que hablen sobre ti debería ser más obligado que hablar de matemáticas por razones obvias. Los usuarios que te reponden son en general mas pacientes que el Santo Job, pero yo te aconsejaría que reflexionaras un tiempo prudencial sobre tu esquema mental acerca de las matemáticas.

No me gusta debatir sobre mí ni sobre nadie. Respeto a todo el mundo. Me he visto obligado a hacer ese comentario por comentarios directos hacia mi forma de hacer o de ver o de enfocar esto o aquello que creo que lo único que hacen es entorpecer aún más mi torpeza.

No es cierto que sea desagradecido. Revisando los hilos donde intervengo se pueden contar las veces que aparece la palabra gracias.

Que soy torpe creo que salta a la vista, no hace falta meter el dedo en la llaga. 

Saludos.

[Fernando Revilla]

No es cierto que sea desagradecido. Revisando los hilos donde intervengo se pueden contar las veces que aparece la palabra gracias.

Hasta que te ayudan tanto que le pones una cota superior al agradecimiento.

[Buscón]

No es cierto que sea desagradecido. Revisando los hilos donde intervengo se pueden contar las veces que aparece la palabra gracias.

Hasta que te ayudan tanto que le pones una cota superior al agradecimiento.

No están obligados. Si lo hacen es porque les divierte. Supongo. Habría que preguntárselo a ellos.

¿No es mejor abrir otro hilo para el tema?