[Buscón]

No se de que me estás hablando. En ningún momento en toda la demostración se prueba que \( y_n \) converge, porque de hecho te hemos dicho que quizá no converge. Lo que se hace es tomar una subsucesión convergente cuya existencia está garantizada por ser una sucesión en un compacto \( [a,b] \). En nada de esto tiene que ver la relación de recurrencia de LA IMAGEN de los \( y_n \).

Si fue una errata y lo que hablabas es de probar que \( f(y_n) \) converge, ahí claro que es decisivo usar la expresión recurrente, como te acabo de decir arriba. Pero eso no tiene nada que ver con que previamente la sucesión \( y_n  \)ya haya sido construida y en su proceso de construcción que tu mismo resumiste en tu anterior mensaje sea inequívoco que \( y_n\in [a,b] \).

No entiendo ¿Nada tienen que ver los ladrillos en la construcción de una casa?.

Se construye    \( y_{n_k} \)    a partir de    \( y_n \),    que a su vez se construye a partir de    \( f(y_n) \)    que a su vez se construye de una relación de rrecurrencia, que  a su vez se construye de una condición que debe cumplir la función    \( f \)...

¿No tiene nada que ver la relación de recurrencia en la construcción de     \( y_{n_k} \)? 
 
¿De que sirve aplicar al final el teorema de continuidad por convergencia cuando ya se ha perdido información en el proceso de construcción de la subsucesión?

Si claro, una errata me refería al   \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\big|f(y_{n+1})\big|}\leq{\lim_{n \to{+}\infty}{\dfrac{2}{10}\big|f(y_{n})}\big|} \).

[Luis Fuentes]

Hola

No entiendo ¿Nada tienen que ver los ladrillos en la construcción de una casa?.

Olvida las metáforas y intenta centrate en los razonamientos. Las matemáticas se caracterizan por la precisión del lenguaje; ese tipo de comparaciones son vaguedades; podrían usarse para defender una cosa y la contraria.

Se construye    \( y_{n_k} \)    a partir de    \( y_n \),    que a su vez se construye a partir de    \( f(y_n) \)    que a su vez se construye de una relación de recurrencia, que  a su vez se construye de una condición que debe cumplir la función    \( f \)...

¿No tiene nada que ver la relación de recurrencia en la construcción de     \( y_{n_k} \)? 

Varias cosas:

1) En primer lugar en vez de analizar los argumentos concretos que te damos para justificar cada paso, ahí de repente te mueves como con corazonadas, "pareceres", juegos de palabras: "si esto viene de esto y esto de esto otro, esto otro no debería de tener que ver con no se que"...¡vaguedades!. ¡Concreta! Sino no hay manera.

2) Vuelves a confundir el orden de construcción de las cosas. No es que sea un error gravísimo pero no se cuanto te puede estar confundiendo.

Lo primero que se construye es la sucesión \( \{y_n\} \) (o si quieres simultáneamente a \( \{f(y_n)\} \)) así:

Fijamos un    \( x_0\in{[a,b]} \)    y lo llamamos    \( y_1 \).

Para    \( y_1\in{[a,b]} \)   existe   \( y_2\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_2)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_1)\big|} \).

Para    \( y_2\in{[a,b]} \)   existe  \( y_3\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_3)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_2)\big|} \).

Para    \( y_3\in{[a,b]} \)    existe  \( y_4\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_4)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_3)\big|} \).

...

Para    \( y_k\in{[a,b]} \)    existe   \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_{k+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_k)\big|} \)

Se construye \( \{y_n\} \) de forma que sus imágenes cumplan cierta condición; pero insisto lo que se construye es \( \{y_n\} \)- ¡Obviamente en cuanto tenemos esa sucesión tenemos la de imágenes!.

Más adelante, será cuando tomemos una subsucesión convergente.

Si claro, una errata me refería al   \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{f(y_{n+1})}\leq{\lim_{n \to{+}\infty}{f(y_{n})}} \).

¿Te referías a eso dónde y con qué objeto?.

Saludos.

P.D. ¿Por qué continuamente ignoras los mensajes donde te invito a enumerar pasos y analizar uno a uno y concretar así la duda y te empeñas en una visión global donde embarullas todos y confundes una y otra vez unos con otros?. Si quieres haz tu propia enumeración. Pero francamente no acabo de entender, aunque sea por probar, porque no intentas ordenar las cosas.

[Buscón]

Lo primero que se construye es la sucesión \( \{y_n\} \) (o si quieres simultáneamente a \( \{f(y_n)\} \)) así:

Fijamos un    \( x_0\in{[a,b]} \)    y lo llamamos    \( y_1 \).

Para    \( y_1\in{[a,b]} \)   existe   \( y_2\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_2)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_1)\big|} \).

Para    \( y_2\in{[a,b]} \)   existe  \( y_3\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_3)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_2)\big|} \).

Para    \( y_3\in{[a,b]} \)    existe  \( y_4\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_4)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_3)\big|} \).

...

Para    \( y_k\in{[a,b]} \)    existe   \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_{k+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_k)\big|} \)

Se construye \( \{y_n\} \) de forma que sus imágenes cumplan cierta condición; pero insisto lo que se construye es \( \{y_n\} \)- ¡Obviamente en cuanto tenemos esa sucesión tenemos la de imágenes!.

Más adelante, será cuando tomemos una subsucesión convergente.

Si, lo veo.

Si claro, una errata me refería al   \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{f(y_{n+1})}\leq{\lim_{n \to{+}\infty}{f(y_{n})}} \).

¿Te referías a eso dónde y con qué objeto?.

No tiene importancia, una errata que ya está corregida en su respectiva respuesta. Si seguimos volverá a salir la cuestión.

P.D. ¿Por qué continuamente ignoras los mensajes donde te invito a enumerar pasos y analizar uno a uno y concretar así la duda y te empeñas en una visión global donde embarullas todos y confundes una y otra vez unos con otros?. Si quieres haz tu propia enumeración. Pero francamente no acabo de entender, aunque sea por probar, porque no intentas ordenar las cosas.

Disculpa. No es fácil. Y menos siendo tres en el debate.

Por hoy lo dejo ya. Un saludo.

[Buscón]

Si, me parece muy bien todo lo que pones, creo que lo entiendo y te agradezco el esfuerzo , pero sigo sin ver por ningún lado en esta respuesta, la garantía de que    \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{f(y_{n_k})}\in{[a,b]} \).    Que no digo que sea falso. Me creo lo que has puesto en otra respuesta que toda sucesión convergente en un compacto alcanza el límite, sin demostración. Pero en ese desarrollo que pones no está. Es más, con esta última propiedad ¿es necesario el teorema de continuidad por convergencia para probar el resultado?

Por ejemplo la sucesión \( \{y_n\}=\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\subset [0,1] \) converge al límite \( \rho=0\in [0,1] \) y NO EXISTE valor alguno de \( n \) para el cuál \( \rho=0=y_n \). Y tu afirmaste en (vi) que si existe; eso en rojo es lo que te sobrea.

Si, eso es cierto. Una sucesión convergente en un conjunto cerrado (en este caso el intervalo \( [a,b] \)) tiene su límite en el cerrado. Es una propiedad que tienes que haber utilizado consciente o inconscientemente mil veces; es intuitiva...

Lo que pone de manifiesto que la intuición en matemáticas es puñetera.

Saludos.

P.D. Está bien que Juan Pablo te haya demostrado que una sucesión en \( [a,b] \) tiene límite en \( [a,b] \). Pero no puedes pretender cuando haces una demostración tener por en medio que demostrar a su vez cada uno de los resultados conocidos que se utilizan. Es preferible que te creas que son ciertos en un primer momento, entiendas la demostración actual y después si quieres te preocupes de la demostración de esos resultados auxiliares.

Siguiendo tu ejemplo de dar consejos. Te aconsejo  menos negrita, menos consejos y más rojo. Se trata de debatir sobre matemáticas no sobre mi. Por eso no me gusta responder a comentarios que no tienen que ver con lo que se está debatiendo, pero me está resultando imposible.

 

[Buscón]

Y siguiendo con el hilo. Yo lo veo así.

Las sucesión    \( y_n \)    debe estar en el compacto    \( [a,b] \)    por que nos los dicen. Es una de las hipótesis del enunciado. "Sea     \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    continua..."

La sucesión    \( y_n \)    no tiene por que estar necesariamente en el compacto    \( [a,b] \)    si se construye a partir de la expresión    \( \big|f(y_n)\big|\leq{\frac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \)    para algún    \( k=1,2,3\ldots \)

Cualquier función convergente a cero podría verificar la desigualdad, incluidas las definidas en    \( \mathbb{R} \).

A partir de aquí, todo lo que se diga cojea.

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Lo pongo en spoiler por que está todo dicho pero no sé otra forma.

Spoiler

Sea \(  x_0 \in [a,b]  \) entonces por las hipótesis del enunciado existe \( x_1 \in [a,b]  \) con \( |f(x_1)| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5} \)
Como \( x_1 \in [a,b]  \) por las hipótesis del enunciado existe \( x_2 \in [a,b]  \) con \( |f(x_2)| \leq \dfrac{|f(x_1)|}{5} \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^2}  \).
Por inducción tenemos creada una sucesión \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) tal que para todo \( n\in \mathbb{N} \) se tiene:
1.) \( x_n \in [a,b]  \) y esto es por como la hemos construido, no es una hipótesis que tengamos que añadir.
2.) \( |f(x_n)| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^n}  \).
Como \( \{x_n\} \subset [a,b]  \) la sucesión está acotada entonces tiene una subsucesión convergente \( \{x_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \)
Sea \( \displaystyle \delta = \lim_{n \to +\infty} x_{k_n}  \) como para todo \( n \in \mathbb{N}  \) se tiene \( a \leq x_{k_n} \leq b  \) entonces \( \delta \in [a,b]  \) evidentemente no puede estar fuera por que la sucesión no podría acercarse.
 Como \( |f(x_{k_n})| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^{k_n}} \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^n}  \) tenemos:
\(  \displaystyle 0 = \lim_{n \to +\infty} |f(x_{k_n})| = |f(\lim_{n \to +\infty} x_{k_n})| = |f(\delta)|  \)

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

Las sucesión    \( y_n \)    debe estar en el compacto    \( [a,b] \)    por que nos los dicen. Es una de las hipótesis del enunciado. "Sea     \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    continua..."

No, no nos lo dicen en el enunciado porque en el enunciado no hablan de ninguna sucesión. El enunciado es este:
Sea    \( f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    continua. Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( \boxed{y\in{[a,b]}} \)    tal que

\( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{2}{10}\Big|f(x)\Big|} \).    Prueba que    \( f \)    se anula en algún punto de    \( [a,b] \).

Entonces la sucesión \( \{y_n\} \) la construimos nosotros. En su construcción se usa lo que ha marcado en azul del enunciado; en particular y al respecto de tu duda lo que he metido en un cuadrado. Cada \( y_n\in  [a,b] \) se construye a partir del \( y_{n-1}\in [a,b] \) anterior por la condición en azul del enunciado. De manera precisa se construye como tu mismo describiste aquí:

Fijamos un    \( x_0\in{[a,b]} \)    y lo llamamos    \( y_1 \).

Para    \( y_1\in{[a,b]} \)   existe   \( y_2\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_2)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_1)\big|} \).

Para    \( y_2\in{[a,b]} \)   existe  \( y_3\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_3)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_2)\big|} \).

Para    \( y_3\in{[a,b]} \)    existe  \( y_4\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_4)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_3)\big|} \).

 ¿Estás de acuerdo entonces que la sucesión \( y_n \) que usaremos a lo largo de lo que queda de demostración construída como se indica cumple \( y_n\in [a,b] \)?.

La sucesión    \( y_n \)    no tiene por que estar necesariamente en el compacto    \( [a,b] \)    si se construye a partir de la expresión    \( \big|f(y_n)\big|\leq{\frac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \)    para algún    \( k=1,2,3\ldots \)

Esto (la afirmación en rojo) no tiene sentido. Cuando dices que "se construye a partir de la expresión    \( \big|f(y_n)\big|\leq{\frac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \)    para algún    \( k=1,2,3\ldots \)"... una vez más diría que está bien si no viese que por algún motivo que no entiendo te confunde. De manera precisa se construye como te acabo de recordar arriba; y por construcción está en el compacto \( [a,b] \). Y esa desigualdad es consecuencia de como ha sido construída.

Cualquier función convergente a cero podría verificar la desigualdad, incluidas las definidas en    \( \mathbb{R} \).

¿Y ...? Si... bueno... quizá si la función que manejamos está definida en los reales, existan OTRAS sucesiones no definidas en el compacto que cumplan una desigualdad parecida igual. ¿Y qué?. Nosotros no estamos manejando OTRAS sucesiones, o CUALQUIER sucesión. Estamos manejando una sucesión muy concreta la \( \{y_n\} \) construída de una manera muy concreta que nos garantiza que está contenida en \( [a,b] \).

Saludos.

[Buscón]

Tomando por ejemplo la función    \( f:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( f(x)=\tan(x) \).

Esta función es continua en     \( (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \)    y verifica que para cada    \( x\in{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})} \)     hay algún    \( y\in{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}}\big|f(x)\big| \).

Construimos la sucesión     \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty} \)    de la siguiente manera:

Lo pongo en spoiler por que está todo dicho pero no sé otra forma.

Sea \(  x_0 \in \color{blue}(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})  \) entonces por las hipótesis del enunciado existe \( x_1 \in \color{blue}(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})  \) con \( |f(x_1)| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5} \)
Como \( x_1 \in \color{blue}(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})  \) por las hipótesis del enunciado existe \( x_2 \in \color{blue}(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \) con \( |f(x_2)| \leq \dfrac{|f(x_1)|}{5} \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^2}  \).
Por inducción tenemos creada una sucesión \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) tal que para todo \( n\in \mathbb{N} \) se tiene:
1.) \( x_n \in \color{blue}(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})  \) y esto es por como la hemos construido, no es una hipótesis que tengamos que añadir.
2.) \( |f(x_n)| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^n}  \).
Como \( \{x_n\} \subset [a,b]  \) la sucesión está acotada entonces tiene una subsucesión convergente \( \{x_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \)
Sea \( \displaystyle \delta = \lim_{n \to +\infty} x_{k_n}  \) como para todo \( n \in \mathbb{N}  \) se tiene \( \color{blue}-\frac{\pi}{2}< x_{k_n}< \frac{\pi}{2}  \) entonces \( \delta \in\color{blue}(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})   \) evidentemente no puede estar fuera por que la sucesión no podría acercarse.
 Como \( |f(x_{k_n})| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^{k_n}} \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^n}  \) tenemos:
\(  \displaystyle 0 = \lim_{n \to +\infty} |f(x_{k_n})| = |f(\lim_{n \to +\infty} x_{k_n})| = |f(\delta)|  \)

Las únicas diferencias son las que están en azul. Esto es, sustituyendo    \( a \)    por    \( -\frac{\pi}{2} \),    \( b \)   por    \( \frac{\pi}{2} \)    y tomando el intervalo abierto se puede llegar a las mismas conclusiones.

¿Porqué?   

[Juan Pablo Sancho]

Ves lo que haces, ahora cambias las hipótesis,¿Entendiste al final la demostración?.
Lo que te asegura las hipótesis es que siempre encontraras un valor del intervalo en que la función se anule, si cambias las hipótesis habrá veces que se cumpla y otras que no, ejemplo \( f(x) = (x-3)^2  \) en \(  ]3,5[  \) no existe valor en \( ]3,5[ \) que anule \( f \) y verifica que para cada \( x \in ]3,5[  \) existe \(  y \in ]3,5[  \) con \( |f(y)| \leq \dfrac{|f(x)|}{5}  \).
Podrías contestar lo que pone Luis.

[Luis Fuentes]

Hola

Tomando por ejemplo la función    \( f:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( f(x)=\tan(x) \).

Esta función es continua en     \( (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \)    y verifica que para cada    \( x\in{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})} \)     hay algún    \( y\in{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}}\big|f(x)\big| \).

Construimos la sucesión     \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty} \)    de la siguiente manera:

Lo pongo en spoiler por que está todo dicho pero no sé otra forma.

Sea \(  x_0 \in \color{blue}(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})  \) entonces por las hipótesis del enunciado existe \( x_1 \in \color{blue}(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})  \) con \( |f(x_1)| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5} \)
Como \( x_1 \in \color{blue}(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})  \) por las hipótesis del enunciado existe \( x_2 \in \color{blue}(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \) con \( |f(x_2)| \leq \dfrac{|f(x_1)|}{5} \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^2}  \).
Por inducción tenemos creada una sucesión \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) tal que para todo \( n\in \mathbb{N} \) se tiene:
1.) \( x_n \in \color{blue}(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})  \) y esto es por como la hemos construido, no es una hipótesis que tengamos que añadir.
2.) \( |f(x_n)| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^n}  \).
Como \( \{x_n\} \subset [a,b]  \) la sucesión está acotada entonces tiene una subsucesión convergente \( \{x_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \)
Sea \( \displaystyle \delta = \lim_{n \to +\infty} x_{k_n}  \) como para todo \( n \in \mathbb{N}  \) se tiene \( \color{blue}-\frac{\pi}{2}< x_{k_n}< \frac{\pi}{2}  \) entonces \( \delta \in\color{blue}(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})   \) evidentemente no puede estar fuera por que la sucesión no podría acercarse.
 Como \( |f(x_{k_n})| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^{k_n}} \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^n}  \) tenemos:
\(  \displaystyle 0 = \lim_{n \to +\infty} |f(x_{k_n})| = |f(\lim_{n \to +\infty} x_{k_n})| = |f(\delta)|  \)

Las únicas diferencias son las que están en azul. Esto es, sustituyendo    \( a \)    por    \( -\frac{\pi}{2} \),    \( b \)   por    \( \frac{\pi}{2} \)    y tomando el intervalo abierto se puede llegar a las mismas conclusiones.

El problema ahí es que lo que he marcado en rojo no es cierto. Que la sucesión esté en \( (-\pi/2,\pi/2) \) (OJO, intevalo abierto) no garantiza que el límite esté dentro de ese intervalo; podría ser el extremo.

Por ejemplo la sucesión \( y_n=-\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{n} \) está en \( (-\pi/2,\pi/2) \) pero su límite es \( -\pi/2 \) que está fuera de ese intervalo abierto.

La función que has puesto de ejemplo aun así cumple que se anula en un punto; pero eso no puede probarse como está escrito arriba por el motivo que he indicado. Se anula... porque se anula digamos.

De hecho modificando un poco el ejemplo:

\( f:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( f(x)=-|\tan(x)|-1 \).

 es continua en     \( (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \)    y verifica que para cada    \( x\in{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})} \)     hay algún    \( y\in{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}}\big|f(x)\big| \).

Sin embargo no se anula en ningún punto.

Saludos.