[Buscón]

Pero \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(y_{n_k}) \in f([a,b])  \) no en \( [a,b] \) y esto viene de que \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} y_{k_n} = \sigma\color{red} \in [a,b]  \) entonces \( f(\sigma) \in f([a,b])  \).

Pues lo que está en rojo es lo que no veo garantizado por ningún lado.

[Juan Pablo Sancho]

Supón que \( \sigma < a  \) (lo mismo para \( \sigma > b  \))..
Toma \( \epsilon = \dfrac{a-\sigma}{2}  \) entonces existe un \( n_{\epsilon} \in \mathbb{N}  \) tal que para todo \( n \geq n_{\epsilon}  \) se tiene que \( |y_{k_n} - \sigma| < \epsilon  \) que es lo mismo que :
\( -\epsilon + \sigma  < y_{k_n} < \epsilon + \sigma = \dfrac{a-\sigma}{2} + \sigma = \dfrac{a + \sigma}{2} < \dfrac{a+a}{2} = a  \)
Entonces para \( n \geq n_{\epsilon}  \) tenemos que \( y_{k_n} < a  \) absurdo.

[Buscón]

Supón que \( \sigma < a  \) (lo mismo para \( \sigma > b  \))..
Toma \( \epsilon = \dfrac{a-\sigma}{2}  \) entonces existe un \( n_{\epsilon} \in \mathbb{N}  \) tal que para todo \( n \geq n_{\epsilon}  \) se tiene que \( |y_{k_n} - \sigma| < \epsilon  \) que es lo mismo que :
\( -\epsilon + \sigma  < y_{k_n} < \epsilon + \sigma = \dfrac{a-\sigma}{2} + \sigma = \dfrac{a + \sigma}{2} < \dfrac{a+a}{2} = a  \)
Entonces para \( n \geq n_{\epsilon}  \) tenemos que \( y_{k_n} < a  \) absurdo.

¿Y porque es absurdo    \( y_{n_k}<a \)    si la subsucesión se construye a partir de una recurrencia de la condición    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)?

Al construirla así se pierde la condición "para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que..." ¿No?       

De esa manera la sucesión    \( y_n \),    no la subsucesión    \( y_{n_k} \),    podría incluso diverger negativamente

¿Como garantizar que no lo hace?

[Juan Pablo Sancho]

Pero la sucesión \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) la construimos dentro de \( [a,b] \).

[Buscón]

Disculpa edité después de tu respuesta y no lo puse en azul. No me dió tiempo. Podrías volver a leer mi respuesta otra vez y darme tu opinión. Gracias.

[Juan Pablo Sancho]

Pero la sucesión \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) está construida dentro de \(  [a,b]  \) entonces \( f(\{y_n\}_{n=1}^{+\infty})  \) está incluida dentro de \( [m,M]  \) donde \( m \) es el mínimo de \( f([a,b]) \) y \( M \) es el máximo de \( f([a,b]) \).

[Buscón]

Pero la sucesión \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) está construida dentro de \(  [a,b]  \) entonces \( f(\{y_n\}_{n=1}^{+\infty})  \) está incluida dentro de \( [m,M]  \) donde \( m \) es el mínimo de \( f([a,b]) \) y \( M \) es el máximo de \( f([a,b]) \).

No tengo claro que la sucesión   \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty} \)    esté construida en     \( [a,b] \).

La condición que ha de verificar la función    \( f:[a,b]\rightarrow{}\mathbb{R} \)    es que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    exista algún     \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \).


La construcción de la sucesión    \( y_n \)    antes de aplicar la recurrencia:

Fijamos un    \( x_0\in{[a,b]} \)    y lo llamamos    \( y_1 \).

Para    \( y_1\in{[a,b]} \)    existe   \( y_2\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_2)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_1)\big|} \).

Para    \( y_2\in{[a,b]} \)    existe   \( y_3\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_3)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_2)\big|} \).

Para    \( y_3\in{[a,b]} \)    existe   \( y_4\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_4)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_3)\big|} \).

...


Para    \( y_k\in{[a,b]} \)    existe   \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_{k+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_k)\big|} \).

La construcción de la sucesión    \( y_n \)    después de aplicar la recurrencia.

\( \big|f(y_{n})\big|\leq{\dfrac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \)    para algún   \( k=1,2,3\ldots \)

Es una simple desigualdad. Se han dejado de contemplar los "para    \( y_k\in{[a,b]} \)    existe   \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)..."

Esa desigualdad puede cumplirla una función sin que por ello tenga que estar definida en un compacto. Y esa desigualdad es la que se usa para aplicar la regla del sándwich y concluir que debe ser    \( f(y_n) \)     convergente a cero y por consiguiente debe existir una subsucesión    \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty} \)    convergente a    \( \sigma\in{[a,b]} \) .       

[Luis Fuentes]

Hola

Es más, con esta última propiedad ¿es necesario el teorema de continuidad por convergencia para probar el resultado?

Te he indicado claramente donde se utiliza el teorema de continuidad por convergencia. ¿Cómo crees exactamente que podría evitarse? ¿Por qué sugieres que podría no ser necesario?.

La construcción de la sucesión    \( y_n \)    antes de aplicar la recurrencia:

Fijamos un    \( x_0\in{[a,b]} \)    y lo llamamos    \( y_1 \).

Para    \( y_1\in{[a,b]} \)   existe   \( y_2\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_2)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_1)\big|} \).

Para    \( y_2\in{[a,b]} \)   existe  \( y_3\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_3)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_2)\big|} \).

Para    \( y_3\in{[a,b]} \)    existe  \( y_4\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_4)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_3)\big|} \).

...


Para    \( y_k\in{[a,b]} \)    existe   \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_{k+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_k)\big|} \)

AQUI

La construcción de la sucesión    \( y_n \)    después de aplicar la recurrencia.

\( \big|f(y_{n})\big|\leq{\dfrac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \)    para algún   \( k=1,2,3\ldots \)

Es una simple desigualdad. Se han dejado de contemplar los "para    \( y_k\in{[a,b]} \)    existe   \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)..."

Esa distinción de "antes y después de aplicar la recurrencia" no tiene sentido ninguno. La sucesión \( \{y_n\} \) la construyes al principio como has descrito y ese proceso se acaba donde he puesto AQUI.  ¡CLARAMENTE!, en ese proceso cada \( y_1,y_2,y_3 \), etcétera que íbamos eligiendo está en \( [a,b] \). Entonces la sucesión \( \{y_n\}\subset [a,b] \).

¿Cómo puedes pretender que lo que hagas después con esa sucesión destruya esa propiedad? ¡No tiene sentido!

Lo que haces después en donde tu pones "después de aplicar la recurrencia" es utilizar como hemos construído la sucesión para probar una propiedad sobre la sucesión de imágenes. Eso no modifica...¡obviamente!... la sucesión \( \{y_n\} \) que sigue donde estaba: en \( [a,b] \).

Saludos.

P.D. Está bien que Juan Pablo te haya demostrado que una sucesión en \( [a,b] \) tiene límite en \( [a,b] \). Pero no puedes pretender cuando haces una demostración tener por en medio que demostrar a su vez cada uno de los resultados conocidos que se utilizan. Es preferible que te creas que son ciertos en un primer momento, entiendas la demostración actual y después si quieres te preocupes de la demostración de esos resultados auxiliares.

En otro caso, si intentas abarcar todo a la vez contribuirás a tu propia confusión.

[Buscón]

Hola

Es más, con esta última propiedad ¿es necesario el teorema de continuidad por convergencia para probar el resultado?

Te he indicado claramente donde se utiliza el teorema de continuidad por convergencia. ¿Cómo crees exactamente que podría evitarse? ¿Por qué sugieres que podría no ser necesario?.

La construcción de la sucesión    \( y_n \)    antes de aplicar la recurrencia:

Fijamos un    \( x_0\in{[a,b]} \)    y lo llamamos    \( y_1 \).

Para    \( y_1\in{[a,b]} \)   existe   \( y_2\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_2)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_1)\big|} \).

Para    \( y_2\in{[a,b]} \)   existe  \( y_3\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_3)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_2)\big|} \).

Para    \( y_3\in{[a,b]} \)    existe  \( y_4\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_4)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_3)\big|} \).

...


Para    \( y_k\in{[a,b]} \)    existe   \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_{k+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_k)\big|} \)

AQUI

La construcción de la sucesión    \( y_n \)    después de aplicar la recurrencia.

\( \big|f(y_{n})\big|\leq{\dfrac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \)    para algún   \( k=1,2,3\ldots \)

Es una simple desigualdad. Se han dejado de contemplar los "para    \( y_k\in{[a,b]} \)    existe   \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)..."

Esa distinción de "antes y después de aplicar la recurrencia" no tiene sentido ninguno. La sucesión \( \{y_n\} \) la construyes al principio como has descrito y ese proceso se acaba donde he puesto AQUI.  ¡CLARAMENTE!, en ese proceso cada \( y_1,y_2,y_3 \), etcétera que íbamos eligiendo está en \( [a,b] \). Entonces la sucesión \( \{y_n\}\subset [a,b] \).

¿Cómo puedes pretender que lo que hagas después con esa sucesión destruya esa propiedad? ¡No tiene sentido!

¿Y a que se debe que no sea posible probar que    \( \big|f(y_{\color{red}\cancel{\color{black}k}\color{red}n\color{black}+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_{\color{red}\cancel{\color{black}k}\color{red}n})\big|} \)    converge, pero si sea posible probar que    \( \big|f(y_{n})\big|\leq{\dfrac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \)    para algún   \( k=1,2,3\ldots \)    converge a cero?

Te invito a que pruebes que la sucesión     \( y_n \)    converge antes de dar el paso a la expresión recurrente.

CORREGIDO.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Y a que se debe que no sea posible probar que    \( \big|f(y_{k+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_k)\big|} \)    converge

Esa frase no tiene sentido. ¿Qué es probar que una desigualdad converja o no converja?.

, pero si se puede probar que    \( \big|f(y_{n})\big|\leq{\dfrac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \)    para algún   \( k=1,2,3\ldots \)    converge a cero?

Lo que se prueba es que \( \{f_(y_n)\} \) converge a cero. Se prueba utilizando la desigualdad \( \big|f(y_{n})\big|\leq{\dfrac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \), que a su vez se deduce de la relación  \( \big|f(y_{k+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_k)\big|} \)

Te invito a que pruebes que la sucesión     \( y_n \)    converge antes de dar el paso a la expresión recurrente.

No se de que me estás hablando. En ningún momento en toda la demostración se prueba que \( y_n \) converge, porque de hecho te hemos dicho que quizá no converge. Lo que se hace es tomar una subsucesión convergente cuya existencia está garantizada por ser una sucesión en un compacto \( [a,b] \). En nada de esto tiene que ver la relación de recurrencia de LA IMAGEN de los \( y_n \).

Si fue una errata y lo que hablabas es de probar que \( f(y_n) \) converge, ahí claro que es decisivo usar la expresión recurrente, como te acabo de decir arriba. Pero eso no tiene nada que ver con que previamente la sucesión \( y_n  \)ya haya sido construida y en su proceso de construcción que tu mismo resumiste en tu anterior mensaje sea inequívoco que \( y_n\in [a,b] \).

Saludos.