Autor Tema: Prueba \(\;f\;\) se anula en algún punto de \(\;[a,b]\;\).

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16 Septiembre, 2020, 03:15 pm
Respuesta #60

Juan Pablo Sancho

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Si, parece evidente, pero nada garantiza que el límite de una sucesión convergente sea un término de la sucesión.
Pero nadie dice eso.

16 Septiembre, 2020, 03:39 pm
Respuesta #61

Buscón

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Si, parece evidente, pero nada garantiza que el límite de una sucesión convergente sea un término de la sucesión.
Pero nadie dice eso.

Si    \( \rho=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{y_{n_k}}\not\in{[a,b]} \),   entonces    \( \rho \)    no pertenece al dominio de la función y no tiene sentido la expresión     \( f(\rho) \).

Hace falta garantizar que    \( \rho\in{[a,b]} \).    ¿No?

16 Septiembre, 2020, 03:44 pm
Respuesta #62

Juan Pablo Sancho

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Pero leíste esto:

Tenemos que la sucesión \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty} \) es acotada, luego tiene una subsucesión convergente \( \{y_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \),
con \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} y_{k_n} = \sigma  \), como \(  a\leq y_{k_n} \leq b  \) evidentemente se tiene que \( \sigma \in [a,b]  \).


16 Septiembre, 2020, 04:07 pm
Respuesta #63

Buscón

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Pero leíste esto:

Tenemos que la sucesión \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty} \) es acotada, luego tiene una subsucesión convergente \( \{y_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \),
con \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} y_{k_n} = \sigma  \), como \(  a\leq y_{k_n} \leq b  \) evidentemente se tiene que \( \sigma \in [a,b]  \).


¿   \( \displaystyle\Bigg[\left(\lim_{n \to{+}\infty}{y_{n_k}}=\sigma\right)\wedge \left(a\leq{y_{n_k}}\leq{b}\right)\Bigg]\Rightarrow{\sigma\in{[a,b]}} \)   ?

16 Septiembre, 2020, 04:17 pm
Respuesta #64

Juan Pablo Sancho

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Pero si es lo que pone justamente el mensaje, si \( \sigma \in [a,b]  \) la demostración es sencilla.

16 Septiembre, 2020, 04:31 pm
Respuesta #65

Luis Fuentes

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Hola

Yo aún precisaría más. La condición sobre la que se construye la sucesión    \( f(y_n) \)    por recurrencia es,    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \),    esto es, sobre las imágenes. De ahí se deduce entonces que debe existir una sucesión    \( y_n \)    que puede o no converger.

mmmm.. bien dilo como quieras. No obstante es  \( y_n \) la que se construye, aunque la condición sea sobre las imágenes de los términos que vamos eligiendo.

Mmm! Me chirría un poco.  Hemos construido    \( f(y_n) \).   

Hemos construido \( \{y_n\} \) imponiendo una condición sobre sus imágenes y automáticamente así tenemos la sucesión de imágenes \( f(y_n) \).

Citar
Con ella y con su subsucesión    \( f(y_{n_k}) \)    construida a partir de ella no hay problema. Existen por aplicar la recurrencia a la condición que debe cumplir la función    \( f \)    del enunciado. Y se puede probar que convergen a cero por la recurrencia sobre la condición y la regla del sándwich.

Así dicho, te puede llevar a error, porque no es el orden natural. Ólvidate de subsucesiones por ahora. Por construcción se demuestra que \( \{f(y_n)\} \) converge a cero, usando como dices la relación de recurrencia y la regla del sándwich.

Después no tenemos garantizada la convergencia de \( \{y_n\} \) (si la de \( \{f(y_n)\} \), pero no necesariamente la de \( \{y_n\} \)). Pero ahí usamos que por estar en un compacto tiene una subsucesión convergente \( \{y_{n_k}\} \); es ahora cuando nos preocupamos de la sucesión de imágenes de la subsucesión: \( \{f(y_{n_k})\} \), que a su vez es subsucesión de \( f(y_{n}) \) . Cómo esta era convergente a cero cualquier subsucesión de ella también converge a cero.

Citar
Aquí ya arrastro el chirrido y ademas se une un ruido de fondo. Ya no estamos en las hipótesis del teorema de continuidad por convergencia. Estamos hablando de subsucesiones usando un teorema que sólo contempla sucesiones.

Pero una subsucesión... ¡es una sucesión!. Igual que un subconjunto es un conjunto. El llamarle subsucesión sólo nos recuerda que sus términos forman parte de otra sucesión más grande; por lo demás es una sucesión con todas las de la ley.

Citar
El chirrido y el ruido de fondo que arrastro no me permiten aceptar que la subsucesión     \( y_{n_k} \)    converge.


Te expresas como si en lugar de querer entender racionalmente las coas quisieses guiarte por sospechas y corazonadas. La subsucesión     \( y_{n_k} \)    converge porque ha surgido de aplicar el teorema que dice que toda sucesión en un compacto tiene una subsucesión convergente. Entendido esto digamos que nos discutible su convergencia.

Lo que me choca es que no te digas esto a ti mismo. "Veamos, Buscón. ¿De donde salió esa subsucesión?". En lugar de eso, prefiers mirar como "todo" de golpe en lugar de paso a paso y nublarte a ti mismo la vista.

Citar
Y aún considerando subjetivos esos ruidos y aceptando que efectivamente    \( y_{n_k} \)    converge a    \( \rho \),    ¿qué garantiza que    \( \rho\in{[a,b]} \)?

¡Porque el Teorema que estamos aplicando dice que  toda sucesión en un compacto tiene una subsucesión convergente...¡convergente a un punto del compacto obviamente!. Además toda sucesión convergente en un cerrado tiene el límite en el cerrado. En fin...

¿   \( \displaystyle\Bigg[\left(\lim_{n \to{+}\infty}{y_{n_k}}=\sigma\right)\wedge \left(a\leq{y_{n_k}}\leq{b}\right)\Bigg]\Rightarrow{\sigma\in{[a,b]}} \)   ?

Si, eso es cierto. Una sucesión convergente en un conjunto cerrado (en este caso el intervalo \( [a,b] \)) tiene su límite en el cerrado. Es una propiedad que tienes que haber utilizado consciente o inconscientemente mil veces; es intuitiva...

Saludos.

16 Septiembre, 2020, 05:35 pm
Respuesta #66

Buscón

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Hola

Yo aún precisaría más. La condición sobre la que se construye la sucesión    \( f(y_n) \)    por recurrencia es,    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \),    esto es, sobre las imágenes. De ahí se deduce entonces que debe existir una sucesión    \( y_n \)    que puede o no converger.

mmmm.. bien dilo como quieras. No obstante es  \( y_n \) la que se construye, aunque la condición sea sobre las imágenes de los términos que vamos eligiendo.

El teorema de continuidad por convergencia dice:

"Una función entre dos espacios métricos \( f:[a,b]\to \mathbb{R} \) es continua sí, y sólo sí, la imagen de cualquier sucesión de    \( [a,b] \)    convergente a un punto \( \sigma\in [a,b] \)     converge a \( f(\sigma) \)",

no dice:

"Una función entre dos espacios métricos \( f:[a,b]\to \mathbb{R} \) es continua sí, y sólo sí, cualquier sucesión de    \( f\big([a,b]\big) \)    convergente a un punto \( f(\sigma)\in f\big([a,b]\big) \)     converge a \( \sigma \)"   

y aunque lo dijese nada garantiza que   \( \rho\in{[a,b]} \).

Mmm! Me chirría un poco.  Hemos construido    \( f(y_n) \).   

Hemos construido \( \{y_n\} \) imponiendo una condición sobre sus imágenes y automáticamente así tenemos la sucesión de imágenes \( f(y_n) \).

Eso no garantiza que    \( \lim(y_{n_k})\in{[a,b]} \).

Citar
Con ella y con su subsucesión    \( f(y_{n_k}) \)    construida a partir de ella no hay problema. Existen por aplicar la recurrencia a la condición que debe cumplir la función    \( f \)    del enunciado. Y se puede probar que convergen a cero por la recurrencia sobre la condición y la regla del sándwich.

Así dicho, te puede llevar a error, porque no es el orden natural. Ólvidate de subsucesiones por ahora. Por construcción se demuestra que \( \{f(y_n)\} \) converge a cero, usando como dices la relación de recurrencia y la regla del sándwich.

Después no tenemos garantizada la convergencia de \( \{y_n\} \) (si la de \( \{f(y_n)\} \), pero no necesariamente la de \( \{y_n\} \)). Pero ahí usamos que por estar en un compacto tiene una subsucesión convergente \( \{y_{n_k}\} \); es ahora cuando nos preocupamos de la sucesión de imágenes de la subsucesión: \( \{f(y_{n_k})\} \), que a su vez es subsucesión de \( f(y_{n}) \) . Cómo esta era convergente a cero cualquier subsucesión de ella también converge a cero.

Si, tenemos garantizada la convergencia de    \( y_{n_k} \)    por el teorema de Bolzano-Wieierstrass, pero seguimos sin tener garantizado que    \( \displaystyle\lim y_{n_k}\in{[a,b]} \)   

Citar
Aquí ya arrastro el chirrido y ademas se une un ruido de fondo. Ya no estamos en las hipótesis del teorema de continuidad por convergencia. Estamos hablando de subsucesiones usando un teorema que sólo contempla sucesiones.

Pero una subsucesión... ¡es una sucesión!. Igual que un subconjunto es un conjunto. El llamarle subsucesión sólo nos recuerda que sus términos forman parte de otra sucesión más grande; por lo demás es una sucesión con todas las de la ley.

Si, aquí admito que me pase tres pueblos siendo puntilloso.

Citar
El chirrido y el ruido de fondo que arrastro no me permiten aceptar que la subsucesión     \( y_{n_k} \)    converge.


Te expresas como si en lugar de querer entender racionalmente las coas quisieses guiarte por sospechas y corazonadas. La subsucesión     \( y_{n_k} \)    converge porque ha surgido de aplicar el teorema que dice que toda sucesión en un compacto tiene una subsucesión convergente. Entendido esto digamos que nos discutible su convergencia.

Lo que me choca es que no te digas esto a ti mismo. "Veamos, Buscón. ¿De donde salió esa subsucesión?". En lugar de eso, prefiers mirar como "todo" de golpe en lugar de paso a paso y nublarte a ti mismo la vista.

El razonamiento no me parece coherente porque se basa en el teorema de continuidad por convergencia y luego no se hace uso de él.  Aún así no pongo en duda la convergencia de    \( y_{n_k} \).    El teorema de Bolzano-Weierstrass garantiza que si existen la sucesión    \( y_n \)    entonces la subsucesión     \( y_{n_k} \)    converge, pero no dice que el límite tenga pertenecer al compacto. ¿O si? ¿Se sobreentiende?  ¿No puede ser de otra manera? :-\


Citar
Y aún considerando subjetivos esos ruidos y aceptando que efectivamente    \( y_{n_k} \)    converge a    \( \rho \),    ¿qué garantiza que    \( \rho\in{[a,b]} \)?

¡Porque el Teorema que estamos aplicando dice que  toda sucesión en un compacto tiene una subsucesión convergente...¡convergente a un punto del compacto obviamente!. Además toda sucesión convergente en un cerrado tiene el límite en el cerrado. En fin...

¿   \( \displaystyle\Bigg[\left(\lim_{n \to{+}\infty}{y_{n_k}}=\sigma\right)\wedge \left(a\leq{y_{n_k}}\leq{b}\right)\Bigg]\Rightarrow{\sigma\in{[a,b]}} \)   ?

Si, eso es cierto. Una sucesión convergente en un conjunto cerrado (en este caso el intervalo \( [a,b] \)) tiene su límite en el cerrado. Es una propiedad que tienes que haber utilizado consciente o inconscientemente mil veces; es intuitiva...

Ahaaá, pues ya está, eso resuelve el problema de pertenencia del límite a la subsucesión    \( y_{n_k} \).

Queda el ruido de fondo de usar un teorema que después no se usa, o mejor dicho, se usa para construir la subsucesión    \( y_{n_k} \)    a partir de la subsucesión    \( f(y_{n_k}) \)    a partir a su vez de la sucesión   \( f(y_n) \)    cuando el uso lógico debería ser al revés.

Es decir, hablando en plata, parece que    \( y_{n_k} \),    y sobre todo algunas de sus propiedades, nos la hemos sacado de la manga.

Saludos.

16 Septiembre, 2020, 05:54 pm
Respuesta #67

Luis Fuentes

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Hola

 Me pediste disculpas por no usar la numeración que sugerí. Pero no tienes que pedirme disculpas; esa numeración es para ayudarte a entender.

 Pero no quieres. En mi opinión entre ser ordenado o ser caótico eliges ser caótico. Lo eliges. Más allá de que entiendas o no entiendas; de que tengas ideas claras o confusas. El primer paso sería la voluntad de ser ordenado; pero francamente, te resistes. Te pones piedras a ti mismo.

 Toda la confusión que describes a continuación es hija de que tienes una idea equivocada del orden en que se aplican los resultados en la demostración.

 Voy a lo esencial que debería de aclarar todo lo anterior.

 Veamos. Este resultado:

"Una función entre dos espacios métricos \( f:[a,b]\to \mathbb{R} \) es continua sí, y sólo sí, la imagen de cualquier sucesión de    \( [a,b] \)    convergente a un punto \( \sigma\in [a,b] \)     converge a \( f(\sigma) \)", (T)

 SÓLO ES NECESARIO AL FINAL.

- NO es necesario para construir \( \{y_n\} \).
- NO es necesario para justificar que \( \{f(y_n)\} \) converge a cero.
- NO es necesario para justificar que \( \{y_n\} \) tiene una subsucesión \( \{y_{n_k}\} \) convergente a \( \rho \).
- NO es necesario para justificar que la imagen de esa subsucesión \( \{f(y_{n_k})\} \) también converge a cero.
- Es decir hasta aquí tenemos:

\(  \{y_{n_k}\}\to \rho \) sucesión convergente en \( [a,b] \)
\(  \{f(y_{n_k})\}\to 0 \) sucesión de imágenes convergente a cero.

Y es AHORA y NO ANTES cuando se aplica (T). Nos dice que \( f(y_{n_k}) \) converge a \( f(\rho) \). Ese es el uso que se hace.

Y terminamos. Como sabemos también que \(  \{f(y_{n_k})\}\to 0 \) y el límite de una sucesión si existe es único, deducimos que \( f(\rho)=0 \).

Si te hubieras fijado en mi enumeración:

Aquí viene el (o los) matiz (matices):

1- Tal como lo has redactado parece que partes de una sucesión cualquiera y le "obligas" a que cumple tal cosa. Es confuso así.
2- Más bien, usando la hipótesis (*) del enunciado se puede construir recursivamente una sucesión cumpliendo  \( \big|f(y_{k+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_k)\big|} \).
3- Eso garantiza que la sucesión de imágenes \( \{f(y_{n})\} \) converge a cero.
4- Pero NO tenemos garantizado que la sucesión \( \{y_n\} \) sea convergente (eso es lo que te dice Juan Pablo).
5- Tienes que usar que toda sucesión en un compacto tiene una subsucesión convergente \( \{y_{n_k}\} \).
6- Ahora si tienes \( \{y_{n_k}\}\to \sigma \) y \( \{f(y_{n_k})\}\to 0 \).
7- Y ahora es donde interviene ese resultado auxiliar (#). \( \{f(y_{n_k})\} \) converge a \( f(\sigma) \); pero vimos también que convergía a cero. Como el límite es único \( f(\sigma)=0 \).

Verías que el Teorema sobre la caracterización de la continuidad mediante sucesiones se utiliza AL FINAL, en el PUNTO 7.

Pero como te dije al principio, no entiendo porqué, te escapas del orden.

Sin con esto no he aclarado tus dudas, no vaciles en volver a preguntar. Pero por favor intenta leer punto por punto, a ver si los vas entendiendo uno a uno.

Saludos.

16 Septiembre, 2020, 06:08 pm
Respuesta #68

Buscón

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Si, me parece muy bien todo lo que pones, creo que lo entiendo y te agradezco el esfuerzo , pero sigo sin ver por ningún lado en esta respuesta, la garantía de que    \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{f(y_{n_k})}\in{[a,b]} \).    Que no digo que sea falso. Me creo lo que has puesto en otra respuesta que toda sucesión convergente en un compacto alcanza el límite, sin demostración. Pero en ese desarrollo que pones no está. Es más, con esta última propiedad ¿es necesario el teorema de continuidad por convergencia para probar el resultado?


Por ejemplo la sucesión \( \{y_n\}=\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\subset [0,1] \) converge al límite \( \rho=0\in [0,1] \) y NO EXISTE valor alguno de \( n \) para el cuál \( \rho=0=y_n \). Y tu afirmaste en (vi) que si existe; eso en rojo es lo que te sobrea.


Si, eso es cierto. Una sucesión convergente en un conjunto cerrado (en este caso el intervalo \( [a,b] \)) tiene su límite en el cerrado. Es una propiedad que tienes que haber utilizado consciente o inconscientemente mil veces; es intuitiva...


Lo que pone de manifiesto que la intuición en matemáticas es puñetera.

Saludos.

16 Septiembre, 2020, 06:37 pm
Respuesta #69

Juan Pablo Sancho

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Pero \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(y_{n_k}) \in f([a,b])  \) no en \( [a,b] \) y esto viene de que \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} y_{k_n} = \sigma \in [a,b]  \) entonces \( f(\sigma) \in f([a,b])  \).

16 Septiembre, 2020, 06:40 pm
Respuesta #70

Buscón

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Pero \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(y_{n_k}) \in f([a,b])  \) no en \( [a,b] \) y esto viene de que \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} y_{k_n} = \sigma\color{red} \in [a,b]  \) entonces \( f(\sigma) \in f([a,b])  \).

Pues lo que está en rojo es lo que no veo garantizado por ningún lado.


16 Septiembre, 2020, 08:01 pm
Respuesta #71

Juan Pablo Sancho

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Supón que \( \sigma < a  \) (lo mismo para \( \sigma > b  \))..
Toma \( \epsilon = \dfrac{a-\sigma}{2}  \) entonces existe un \( n_{\epsilon} \in \mathbb{N}  \) tal que para todo \( n \geq n_{\epsilon}  \) se tiene que \( |y_{k_n} - \sigma| < \epsilon  \) que es lo mismo que :
\( -\epsilon + \sigma  < y_{k_n} < \epsilon + \sigma = \dfrac{a-\sigma}{2} + \sigma = \dfrac{a + \sigma}{2} < \dfrac{a+a}{2} = a  \)
Entonces para \( n \geq n_{\epsilon}  \) tenemos que \( y_{k_n} < a  \) absurdo.

16 Septiembre, 2020, 08:50 pm
Respuesta #72

Buscón

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Supón que \( \sigma < a  \) (lo mismo para \( \sigma > b  \))..
Toma \( \epsilon = \dfrac{a-\sigma}{2}  \) entonces existe un \( n_{\epsilon} \in \mathbb{N}  \) tal que para todo \( n \geq n_{\epsilon}  \) se tiene que \( |y_{k_n} - \sigma| < \epsilon  \) que es lo mismo que :
\( -\epsilon + \sigma  < y_{k_n} < \epsilon + \sigma = \dfrac{a-\sigma}{2} + \sigma = \dfrac{a + \sigma}{2} < \dfrac{a+a}{2} = a  \)
Entonces para \( n \geq n_{\epsilon}  \) tenemos que \( y_{k_n} < a  \) absurdo.

¿Y porque es absurdo    \( y_{n_k}<a \)    si la subsucesión se construye a partir de una recurrencia de la condición    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)?

Al construirla así se pierde la condición "para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que..." ¿No?       

De esa manera la sucesión    \( y_n \),    no la subsucesión    \( y_{n_k} \),    podría incluso diverger negativamente

¿Como garantizar que no lo hace?

16 Septiembre, 2020, 08:53 pm
Respuesta #73

Juan Pablo Sancho

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Pero la sucesión \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) la construimos dentro de \( [a,b] \).

16 Septiembre, 2020, 08:58 pm
Respuesta #74

Buscón

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Disculpa edité después de tu respuesta y no lo puse en azul. No me dió tiempo. Podrías volver a leer mi respuesta otra vez y darme tu opinión. Gracias.

16 Septiembre, 2020, 09:04 pm
Respuesta #75

Juan Pablo Sancho

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Pero la sucesión \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) está construida dentro de \(  [a,b]  \) entonces \( f(\{y_n\}_{n=1}^{+\infty})  \) está incluida dentro de \( [m,M]  \) donde \( m \) es el mínimo de \( f([a,b]) \) y \( M \) es el máximo de \( f([a,b]) \).

16 Septiembre, 2020, 09:33 pm
Respuesta #76

Buscón

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Pero la sucesión \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) está construida dentro de \(  [a,b]  \) entonces \( f(\{y_n\}_{n=1}^{+\infty})  \) está incluida dentro de \( [m,M]  \) donde \( m \) es el mínimo de \( f([a,b]) \) y \( M \) es el máximo de \( f([a,b]) \).

No tengo claro que la sucesión   \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty} \)    esté construida en     \( [a,b] \).

La condición que ha de verificar la función    \( f:[a,b]\rightarrow{}\mathbb{R} \)    es que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    exista algún     \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \).


La construcción de la sucesión    \( y_n \)    antes de aplicar la recurrencia:

Fijamos un    \( x_0\in{[a,b]} \)    y lo llamamos    \( y_1 \).

Para    \( y_1\in{[a,b]} \)    existe   \( y_2\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_2)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_1)\big|} \).

Para    \( y_2\in{[a,b]} \)    existe   \( y_3\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_3)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_2)\big|} \).

Para    \( y_3\in{[a,b]} \)    existe   \( y_4\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_4)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_3)\big|} \).

...


Para    \( y_k\in{[a,b]} \)    existe   \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_{k+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_k)\big|} \).

La construcción de la sucesión    \( y_n \)    después de aplicar la recurrencia.

\( \big|f(y_{n})\big|\leq{\dfrac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \)    para algún   \( k=1,2,3\ldots \)

Es una simple desigualdad. Se han dejado de contemplar los "para    \( y_k\in{[a,b]} \)    existe   \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)..."

Esa desigualdad puede cumplirla una función sin que por ello tenga que estar definida en un compacto. Y esa desigualdad es la que se usa para aplicar la regla del sándwich y concluir que debe ser    \( f(y_n) \)     convergente a cero y por consiguiente debe existir una subsucesión    \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty} \)    convergente a    \( \sigma\in{[a,b]} \) .       

16 Septiembre, 2020, 10:26 pm
Respuesta #77

Luis Fuentes

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Hola

Es más, con esta última propiedad ¿es necesario el teorema de continuidad por convergencia para probar el resultado?

Te he indicado claramente donde se utiliza el teorema de continuidad por convergencia. ¿Cómo crees exactamente que podría evitarse? ¿Por qué sugieres que podría no ser necesario?.

La construcción de la sucesión    \( y_n \)    antes de aplicar la recurrencia:

Fijamos un    \( x_0\in{[a,b]} \)    y lo llamamos    \( y_1 \).

Para    \( y_1\in{[a,b]} \)   existe   \( y_2\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_2)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_1)\big|} \).

Para    \( y_2\in{[a,b]} \)   existe  \( y_3\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_3)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_2)\big|} \).

Para    \( y_3\in{[a,b]} \)    existe  \( y_4\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_4)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_3)\big|} \).

...


Para    \( y_k\in{[a,b]} \)    existe   \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_{k+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_k)\big|} \)

AQUI

La construcción de la sucesión    \( y_n \)    después de aplicar la recurrencia.

\( \big|f(y_{n})\big|\leq{\dfrac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \)    para algún   \( k=1,2,3\ldots \)

Es una simple desigualdad. Se han dejado de contemplar los "para    \( y_k\in{[a,b]} \)    existe   \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)..."

Esa distinción de "antes y después de aplicar la recurrencia" no tiene sentido ninguno. La sucesión \( \{y_n\} \) la construyes al principio como has descrito y ese proceso se acaba donde he puesto AQUI.  ¡CLARAMENTE!, en ese proceso cada \( y_1,y_2,y_3 \), etcétera que íbamos eligiendo está en \( [a,b] \). Entonces la sucesión \( \{y_n\}\subset [a,b] \).

¿Cómo puedes pretender que lo que hagas después con esa sucesión destruya esa propiedad? ¡No tiene sentido!

Lo que haces después en donde tu pones "después de aplicar la recurrencia" es utilizar como hemos construído la sucesión para probar una propiedad sobre la sucesión de imágenes. Eso no modifica...¡obviamente!... la sucesión \( \{y_n\} \) que sigue donde estaba: en \( [a,b] \).

Saludos.

P.D. Está bien que Juan Pablo te haya demostrado que una sucesión en \( [a,b] \) tiene límite en \( [a,b] \). Pero no puedes pretender cuando haces una demostración tener por en medio que demostrar a su vez cada uno de los resultados conocidos que se utilizan. Es preferible que te creas que son ciertos en un primer momento, entiendas la demostración actual y después si quieres te preocupes de la demostración de esos resultados auxiliares.

En otro caso, si intentas abarcar todo a la vez contribuirás a tu propia confusión.

16 Septiembre, 2020, 10:58 pm
Respuesta #78

Buscón

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Hola

Es más, con esta última propiedad ¿es necesario el teorema de continuidad por convergencia para probar el resultado?

Te he indicado claramente donde se utiliza el teorema de continuidad por convergencia. ¿Cómo crees exactamente que podría evitarse? ¿Por qué sugieres que podría no ser necesario?.

La construcción de la sucesión    \( y_n \)    antes de aplicar la recurrencia:

Fijamos un    \( x_0\in{[a,b]} \)    y lo llamamos    \( y_1 \).

Para    \( y_1\in{[a,b]} \)   existe   \( y_2\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_2)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_1)\big|} \).

Para    \( y_2\in{[a,b]} \)   existe  \( y_3\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_3)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_2)\big|} \).

Para    \( y_3\in{[a,b]} \)    existe  \( y_4\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_4)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_3)\big|} \).

...


Para    \( y_k\in{[a,b]} \)    existe   \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y_{k+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_k)\big|} \)

AQUI

La construcción de la sucesión    \( y_n \)    después de aplicar la recurrencia.

\( \big|f(y_{n})\big|\leq{\dfrac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \)    para algún   \( k=1,2,3\ldots \)

Es una simple desigualdad. Se han dejado de contemplar los "para    \( y_k\in{[a,b]} \)    existe   \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)..."

Esa distinción de "antes y después de aplicar la recurrencia" no tiene sentido ninguno. La sucesión \( \{y_n\} \) la construyes al principio como has descrito y ese proceso se acaba donde he puesto AQUI.  ¡CLARAMENTE!, en ese proceso cada \( y_1,y_2,y_3 \), etcétera que íbamos eligiendo está en \( [a,b] \). Entonces la sucesión \( \{y_n\}\subset [a,b] \).

¿Cómo puedes pretender que lo que hagas después con esa sucesión destruya esa propiedad? ¡No tiene sentido!

¿Y a que se debe que no sea posible probar que    \( \big|f(y_{\color{red}\cancel{\color{black}k}\color{red}n\color{black}+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_{\color{red}\cancel{\color{black}k}\color{red}n})\big|} \)    converge, pero si sea posible probar que    \( \big|f(y_{n})\big|\leq{\dfrac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \)    para algún   \( k=1,2,3\ldots \)    converge a cero?

Te invito a que pruebes que la sucesión     \( y_n \)    converge antes de dar el paso a la expresión recurrente.

CORREGIDO.

16 Septiembre, 2020, 11:04 pm
Respuesta #79

Luis Fuentes

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Hola

¿Y a que se debe que no sea posible probar que    \( \big|f(y_{k+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_k)\big|} \)    converge

Esa frase no tiene sentido. ¿Qué es probar que una desigualdad converja o no converja?.

Citar
, pero si se puede probar que    \( \big|f(y_{n})\big|\leq{\dfrac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \)    para algún   \( k=1,2,3\ldots \)    converge a cero?

Lo que se prueba es que \( \{f_(y_n)\} \) converge a cero. Se prueba utilizando la desigualdad \( \big|f(y_{n})\big|\leq{\dfrac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \), que a su vez se deduce de la relación  \( \big|f(y_{k+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_k)\big|} \)

Citar
Te invito a que pruebes que la sucesión     \( y_n \)    converge antes de dar el paso a la expresión recurrente.

No se de que me estás hablando. En ningún momento en toda la demostración se prueba que \( y_n \) converge, porque de hecho te hemos dicho que quizá no converge. Lo que se hace es tomar una subsucesión convergente cuya existencia está garantizada por ser una sucesión en un compacto \( [a,b] \). En nada de esto tiene que ver la relación de recurrencia de LA IMAGEN de los \( y_n \).

Si fue una errata y lo que hablabas es de probar que \( f(y_n) \) converge, ahí claro que es decisivo usar la expresión recurrente, como te acabo de decir arriba. Pero eso no tiene nada que ver con que previamente la sucesión \( y_n  \)ya haya sido construida y en su proceso de construcción que tu mismo resumiste en tu anterior mensaje sea inequívoco que \( y_n\in [a,b] \).

Saludos.