Hola
Yo aún precisaría más. La condición sobre la que se construye la sucesión \( f(y_n) \) por recurrencia es, \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \), esto es, sobre las imágenes. De ahí se deduce entonces que debe existir una sucesión \( y_n \) que puede o no converger.
mmmm.. bien dilo como quieras. No obstante es \( y_n \) la que se construye, aunque la condición sea sobre las imágenes de los términos que vamos eligiendo.
El teorema de continuidad por convergencia dice:
"Una función entre dos espacios métricos \( f:[a,b]\to \mathbb{R} \) es continua sí, y sólo sí, la imagen de cualquier sucesión de \( [a,b] \) convergente a un punto \( \sigma\in [a,b] \) converge a \( f(\sigma) \)",
no dice:
"Una función entre dos espacios métricos \( f:[a,b]\to \mathbb{R} \) es continua sí, y sólo sí, cualquier sucesión de \( f\big([a,b]\big) \) convergente a un punto \( f(\sigma)\in f\big([a,b]\big) \) converge a \( \sigma \)"
y aunque lo dijese nada garantiza que \( \rho\in{[a,b]} \).
Mmm! Me chirría un poco. Hemos construido \( f(y_n) \).
Hemos construido \( \{y_n\} \) imponiendo una condición sobre sus imágenes y automáticamente así tenemos la sucesión de imágenes \( f(y_n) \).
Eso no garantiza que \( \lim(y_{n_k})\in{[a,b]} \).
Con ella y con su subsucesión \( f(y_{n_k}) \) construida a partir de ella no hay problema. Existen por aplicar la recurrencia a la condición que debe cumplir la función \( f \) del enunciado. Y se puede probar que convergen a cero por la recurrencia sobre la condición y la regla del sándwich.
Así dicho, te puede llevar a error, porque no es el orden natural. Ólvidate de subsucesiones por ahora. Por construcción se demuestra que \( \{f(y_n)\} \) converge a cero, usando como dices la relación de recurrencia y la regla del sándwich.
Después no tenemos garantizada la convergencia de \( \{y_n\} \) (si la de \( \{f(y_n)\} \), pero no necesariamente la de \( \{y_n\} \)). Pero ahí usamos que por estar en un compacto tiene una subsucesión convergente \( \{y_{n_k}\} \); es ahora cuando nos preocupamos de la sucesión de imágenes de la subsucesión: \( \{f(y_{n_k})\} \), que a su vez es subsucesión de \( f(y_{n}) \) . Cómo esta era convergente a cero cualquier subsucesión de ella también converge a cero.
Si, tenemos garantizada la convergencia de \( y_{n_k} \) por el teorema de Bolzano-Wieierstrass, pero seguimos sin tener garantizado que \( \displaystyle\lim y_{n_k}\in{[a,b]} \)
Aquí ya arrastro el chirrido y ademas se une un ruido de fondo. Ya no estamos en las hipótesis del teorema de continuidad por convergencia. Estamos hablando de subsucesiones usando un teorema que sólo contempla sucesiones.
Pero una subsucesión... ¡es una sucesión!. Igual que un subconjunto es un conjunto. El llamarle subsucesión sólo nos recuerda que sus términos forman parte de otra sucesión más grande; por lo demás es una sucesión con todas las de la ley.
Si, aquí admito que me pase tres pueblos siendo puntilloso.
El chirrido y el ruido de fondo que arrastro no me permiten aceptar que la subsucesión \( y_{n_k} \) converge.
Te expresas como si en lugar de querer entender racionalmente las coas quisieses guiarte por sospechas y corazonadas. La subsucesión \( y_{n_k} \) converge porque ha surgido de aplicar el teorema que dice que toda sucesión en un compacto tiene una subsucesión convergente. Entendido esto digamos que nos discutible su convergencia.
Lo que me choca es que no te digas esto a ti mismo. "Veamos, Buscón. ¿De donde salió esa subsucesión?". En lugar de eso, prefiers mirar como "todo" de golpe en lugar de paso a paso y nublarte a ti mismo la vista.
El razonamiento no me parece coherente porque se basa en el teorema de continuidad por convergencia y luego no se hace uso de él. Aún así no pongo en duda la convergencia de \( y_{n_k} \). El teorema de Bolzano-Weierstrass garantiza que si existen la sucesión \( y_n \) entonces la subsucesión \( y_{n_k} \) converge, pero no dice que el límite tenga pertenecer al compacto. ¿O si? ¿Se sobreentiende? ¿No puede ser de otra manera?
Y aún considerando subjetivos esos ruidos y aceptando que efectivamente \( y_{n_k} \) converge a \( \rho \), ¿qué garantiza que \( \rho\in{[a,b]} \)?
¡Porque el Teorema que estamos aplicando dice que toda sucesión en un compacto tiene una subsucesión convergente...¡convergente a un punto del compacto obviamente!. Además toda sucesión convergente en un cerrado tiene el límite en el cerrado. En fin...
¿ \( \displaystyle\Bigg[\left(\lim_{n \to{+}\infty}{y_{n_k}}=\sigma\right)\wedge \left(a\leq{y_{n_k}}\leq{b}\right)\Bigg]\Rightarrow{\sigma\in{[a,b]}} \) ?
Si, eso es cierto. Una sucesión convergente en un conjunto cerrado (en este caso el intervalo \( [a,b] \)) tiene su límite en el cerrado. Es una propiedad que tienes que haber utilizado consciente o inconscientemente mil veces; es intuitiva...
Ahaaá, pues ya está, eso resuelve el problema de pertenencia del límite a la subsucesión \( y_{n_k} \).
Queda el ruido de fondo de usar un teorema que después no se usa, o mejor dicho, se usa para construir la subsucesión \( y_{n_k} \) a partir de la subsucesión \( f(y_{n_k}) \) a partir a su vez de la sucesión \( f(y_n) \) cuando el uso lógico debería ser al revés.
Es decir, hablando en plata, parece que \( y_{n_k} \), y sobre todo algunas de sus propiedades, nos la hemos sacado de la manga.
Saludos.
