[Buscón]

Hola

Buf! Menudo lío. El teorema no. En la propuesta de Juan Pablo Sancho aparece ese     \( \rho \)    como límite de la sucesión    \( y_n \).  Y el teorema que tu citas dice expresamente que ese    \( \rho \)    debe pertenecer a    \( X \), en este caso a    \( [a,b] \).    Si no se respeta esa hipótesis del teorema no se puede usar para justificar el razonamiento de Juan Pablo Sancho.

¡De acuerdo en todo! Nadie está diciendo lo contrario. Y no hay ningún problema ahí. Ciertamente \( \rho \) es el límite de \( y_n \) y ciertamente \( \rho\in [a,b]. \)

Pero lo que pareces no entender es que NADA DE ESO TIENE QUE VER CON QUE UNO DE LOS TÉRMINOS DE LA SUCESIÓN COINCIDA CON EL LÍMITE de la misma. Incido en esto más adelante

Vale, vale, de acuerdo. Estaba yo metiendo la pata para variar. Que    \( \rho\in{[a,b]} \),    y por lo tanto    \( \rho=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{y_n}\in{[a,b]} \),    no implica que    \( \rho=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{y_n}\in{y_n} \).

Pero lo que NO tiene sentido es lo otro: decir que el límite tiene que coincidir con algún término de la sucesión. No viene a nada.

En que quedamos, si tres líneas más arriba dices lo contrario. Quizás estamos hablando de sucesiones diferentes. No sé.

Lo que yo dije es que el límite de la sucesión está en \( [a,b] \). ¡¡¡Qué tiene que ver eso con que el límite de la sucesión coincida con un término de la misma!!!.

Por ejemplo la sucesión \( \{y_n\}=\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\subset [0,1] \) converge al límite \( \rho=0\in [0,1] \) y NO EXISTE valor alguno de \( n \) para el cuál \( \rho=0=y_n \). Y tu afirmaste en (vi) que si existe; eso en rojo es lo que te sobrea.

Si, aclarado, gracias, es lo mismo de antes.

Yo veo dos sucesiones. Una    \( y_n=\{y_1,y_2\ldots\} \)    de los    \( y_k\in{[a,b]} \)    que converge a   \( \rho\in{[a,b]} \)   y otra    \( f(y_n)=\{f(y_1),f(y_2)\ldots\} \)    de las imagenes de    \( y_k \)    por    \( f \)   que converge a    \( \color{blue}f(\rho)\color{black}\in{f\big([a,b]\big)} \).   

Y veo que esto es así porque el teorema que citas así lo asegura al ser    \( f \)    continua.

Si, todo eso es correcto. En concreto lo que permite afirmar el teorema es lo que he marcado en azul.

Si, si, y con    \( f(\rho)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{f(y_n)} \)    sucede lo mismo. Tiene que ser   \( f(\rho)\in{f\big([a,b]\big)} \)    pero no necesariamente ha de ser    \( f(\rho)\in{f(y_n)} \).   Estaba yo empanado ahí.

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Sólo indicar que \( \displaystyle \sigma = \lim_{n \to +\infty} y_{k_n}  \) por que \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) puede no tener límite.

[Buscón]

Sólo indicar que \( \displaystyle \sigma = \lim_{n \to +\infty} y_{k_n}  \) por que \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) puede no tener límite.

Hay que imponer que lo tenga.

Se me ocurre entonces para lo que propones y aclarar conceptos, que se puede reconstruir el teorema de continuidad por convergencia adaptándolo al hilo.

Sería algo así:

Una función entre dos espacios métricos    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    es continua sí, y solo sí, la imagen de cualquier sucesión    \( y_n \)    de    \( [a,b] \)    convergente a un punto    \( \rho\in{[a,b]} \)    converge a    \( f(\rho) \).

La función    \( f \)    del hilo es continua por hipótesis y además verifica que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe un    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}}\big|f(x)\big| \).

Entonces, si    \( y_n=\{y_1,y_2,\ldots\} \),    \( (k=1,2,3\ldots) \)    es una sucesión de     \( [a,b] \)    convergente a    \( \rho\in{[a,b]} \),    la sucesión    \( f(y_n)=\{f(y_1),f(y_2),\ldots\} \)     converge a    \( f(\rho) \).

Hay que imponer además que las sucesiones     \( y_n \)    y    \( f(y_n) \)    verifican    \( \big|f(y_{k+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_k)\big|} \)    para    \( k=1,2,\ldots \)    de donde por recurrencia se obtiene    \( \big|f(y_{n})\big|\leq{\dfrac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \)    para algún   \( k \),    y por consiguiente, aplicando la regla del sándwich    \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{f(y_n)}=0 \).


¿Correcto hasta aquí?

[Juan Pablo Sancho]

No hay que imponer que \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) sea convergente, lo que si se sabe es que por ser acotada existe una subsucesión convergente.
Ejemplo \( f(x) = -x^2+1 \) en \( [-1,1]  \) nadie te dice que \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) pueda ser \( y_n = (-1)^n  \)

[Luis Fuentes]

Hola

Una función entre dos espacios métricos    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    es continua sí, y solo sí, la imagen de cualquier sucesión    \( y_n \)    de    \( [a,b] \)    convergente a un punto    \( \rho\in{[a,b]} \)    converge a    \( f(\rho) \). (#)

Bien.

La función    \( f \)    del hilo es continua por hipótesis y además verifica que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe un    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}}\big|f(x)\big| \).  (*)

Bien.

Entonces, si    \( y_n=\{y_1,y_2,\ldots\} \),    \( (k=1,2,3\ldots) \)    es una sucesión de     \( [a,b] \)    convergente a    \( \rho\in{[a,b]} \),    la sucesión    \( f(y_n)=\{f(y_1),f(y_2),\ldots\} \)     converge a    \( f(\rho) \).

Esto.. estrictamente está bien. Aunque tiene un matiz más bien relacionado con la redacción de la demostración y con lo que viene después...

Hay que imponer además que las sucesiones     \( y_n \)    y    \( f(y_n) \)    verifican    \( \big|f(y_{k+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_k)\big|} \)    para    \( k=1,2,\ldots \)    de donde por recurrencia se obtiene    \( \big|f(y_{n})\big|\leq{\dfrac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \)    para algún   \( k \),    y por consiguiente, aplicando la regla del sándwich    \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{f(y_n)}=0 \).

Aquí viene el (o los) matiz (matices):

1- Tal como lo has redactado parece que partes de una sucesión cualquiera y le "obligas" a que cumple tal cosa. Es confuso así.
2- Más bien, usando la hipótesis (*) del enunciado se puede construir recursivamente una sucesión cumpliendo  \( \big|f(y_{k+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_k)\big|} \).
3- Eso garantiza que la sucesión de imágenes \( \{f(y_{n})\} \) converge a cero.
4- Pero NO tenemos garantizado que la sucesión \( \{y_n\} \) sea convergente (eso es lo que te dice Juan Pablo).
5- Tienes que usar que toda sucesión en un compacto tiene una subsucesión convergente \( \{y_{n_k}\} \).
6- Ahora si tienes \( \{y_{n_k}\}\to \sigma \) y \( \{f(y_{n_k})\}\to 0 \).
7- Y ahora es donde interviene ese resultado auxiliar (#). \( \{f(y_{n_k})\} \) converge a \( f(\sigma) \); pero vimos también que convergía a cero. Como el límite es único \( f(\sigma)=0 \).

Saludos.

P.D. He enumerado las observaciones intentando facilitar que si tienes dudas, concretes en que punto o puntos las encuentras.

[Buscón]

No me convence el razonamiento. Se construye recursivamente la sucesión    \( f(y_n) \)    y se prueba que converge a cero debido a la condición que debe verificar la función   \( f \).    Luego usando que toda sucesión en un compacto tiene una subsucesión convergente resulta que    \( y_{n_{\color{red}k}} \)    converge a    \( \rho \)    y por lo tanto    \( f(\rho)=0 \).

Se debería probar primero que hay una subsucesión    \( f(y_{nk}) \)    convergente a cero usando la condición del enunciado y el  teorema de Weierstrass que asegura que   \( f([a,b]) \)     es un compacto y luego deducir que    \( f(\rho) \)    converge a cero.

Pero aún así, me cuesta un poco verlo, ¿que garantiza que    \( \rho\in{[a,b]} \)?

Saludos.

CORREGIDO.

[Luis Fuentes]

Hola

No me convence el razonamiento.

Fíjate que como te dije numeré el razonamiento con toda la intención; para ayudarte a centrar tu duda... ¡pero te resistes!.

Se construye recursivamente la sucesión    \( f(y_n) \) 

Es cierto eso. Pero yo lo precisaría un poco más. Se construye recursivamente la sucesión \( \{y_n\} \) (¡y claro inmediatamente uno tiene la sucesión de imágenes \( f(y_n) \)). Esa sucesión \( \{y_n\} \) está construida  para que sus imágenes cumplan una cierta condición.

  y se prueba que converge a cero debido a la condición que debe verificar la función   \( f \).   

Correcto. La condición bajo la cual hemos ido construyendo \( \{y_n\} \) nos garantiza que su sucesión de imágenes \( \{f(y_n)\} \) converge a cero.

Luego usando que toda sucesión en un compacto tiene una subsucesión convergente resulta que    \( y_n \)    converge a    \( \rho \)    y por lo tanto    \( f(\rho)=0 \).

Ojo. No que \( \{y_n\} \) converge a \( \rho \), sino que una subsucesión de \( \{y_n\} \), es decir, \( \{y_{n_k}\} \) converge a \( \rho. \)

Se debería probar primero que hay una subsucesión    \( f(y_{nk}) \)    convergente a cero usando que el  teorema de Weierstrass que asegura que   \( f([a,b]) \)     es un compacto.

La sucesión  \( f(y_{n_k}) \) es directamente la imagen de la subsucesión \( \{y_{n_k}\} \) y converge a cero porque cualquier subsucesión de una sucesión convergente es también convergente al mismo límite.

En otras palabras la convergencia de  \( \{f(y_n)\} \)  a cero y de cualquier subsucesión de ella (en particular \( f(y_{n_k}) \)) la tenemos garantizada por la condición recursiva que hemos usado para construir \( \{y_n\} \).

La convergencia que NO tenemos garantizada es la de  \( \{y_n\} \) y es sobre es sucesión sobre la que usamos que está en \( [a,b] \) compacto y por tanto tiene una subsucesión convergente.

Saludos.

P.D. Te invito de nuevo a reflexionar. Trata de concretar tus dudas en pasos concretos.

[Buscón]

Hola

No me convence el razonamiento.

Fíjate que como te dije numeré el razonamiento con toda la intención; para ayudarte a centrar tu duda... ¡pero te resistes!.

Disculpa.

Se construye recursivamente la sucesión    \( f(y_n) \) 

Es cierto eso. Pero yo lo precisaría un poco más. Se construye recursivamente la sucesión \( \{y_n\} \) (¡y claro inmediatamente uno tiene la sucesión de imágenes \( f(y_n) \)). Esa sucesión \( \{y_n\} \) está construida  para que sus imágenes cumplan una cierta condición.

Yo aún precisaría más. La condición sobre la que se construye la sucesión    \( f(y_n) \)    por recurrencia es,    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \),    esto es, sobre las imágenes. De ahí se deduce entonces que debe existir una sucesión    \( y_n \)    que puede o no converger.

  y se prueba que converge a cero debido a la condición que debe verificar la función   \( f \).   

Correcto. La condición bajo la cual hemos ido construyendo \( \{y_n\} \) nos garantiza que su sucesión de imágenes \( \{f(y_n)\} \) converge a cero.

Mmm! Me chirría un poco.  Hemos construido    \( f(y_n) \).    Con ella y con su subsucesión    \( f(y_{n_k}) \)    construida a partir de ella no hay problema. Existen por aplicar la recurrencia a la condición que debe cumplir la función    \( f \)    del enunciado. Y se puede probar que convergen a cero por la recurrencia sobre la condición y la regla del sándwich.

Luego usando que toda sucesión en un compacto tiene una subsucesión convergente resulta que    \( y_n \)    converge a    \( \rho \)    y por lo tanto    \( f(\rho)=0 \).

Ojo. No que \( \{y_n\} \) converge a \( \rho \), sino que una subsucesión de \( \{y_n\} \), es decir, \( \{y_{n_k}\} \) converge a \( \rho. \)

Si, disculpa. Ya está corregido.

Aquí ya arrastro el chirrido y ademas se une un ruido de fondo. Ya no estamos en las hipótesis del teorema de continuidad por convergencia. Estamos hablando de subsucesiones usando un teorema que sólo contempla sucesiones.

Se debería probar primero que hay una subsucesión    \( f(y_{nk}) \)    convergente a cero usando que el  teorema de Weierstrass que asegura que   \( f([a,b]) \)     es un compacto.

La sucesión  \( f(y_{n_k}) \) es directamente la imagen de la subsucesión \( \{y_{n_k}\} \) y converge a cero porque cualquier subsucesión de una sucesión convergente es también convergente al mismo límite.

En otras palabras la convergencia de  \( \{f(y_n)\} \)  a cero y de cualquier subsucesión de ella (en particular \( f(y_{n_k}) \)) la tenemos garantizada por la condición recursiva que hemos usado para construir \( \{y_n\} \).

La convergencia que NO tenemos garantizada es la de  \( \{y_n\} \) y es sobre es sucesión sobre la que usamos que está en \( [a,b] \) compacto y por tanto tiene una subsucesión convergente.

El chirrido y el ruido de fondo que arrastro no me permiten aceptar que la subsucesión     \( y_{n_k} \)    converge. Y aún considerando subjetivos esos ruidos y aceptando que efectivamente    \( y_{n_k} \)    converge a    \( \rho \),    ¿qué garantiza que    \( \rho\in{[a,b]} \)?

[Juan Pablo Sancho]

Pero si tienes una sucesión \( \{\eta_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) sea o no convergente si está acotada tiene una subsucesión \( \{\eta_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \) convergente, Teorema de Bolzano - Wierstrass .
Tenemos que la sucesión \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty} \) es acotada, luego tiene una subsucesión convergente \( \{y_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \),
con \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} y_{k_n} = \sigma  \), como \(  a\leq y_{k_n} \leq b  \) evidentemente se tiene que \( \sigma \in [a,b]  \).
Como tenemos construida la subsucesión \( \{y_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \)
Verificando:
1.)\( |y_{k_n}| \leq \dfrac{|f(x)|}{5^{k_n}}  \) entonces \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} |y_{k_n}| = 0  \).
2.)\( f \) es continua en \( [a,b]  \) entonces \( \displaystyle 0 = \lim_{n \to +\infty} f(y_{k_n}) = f(\lim_{n \to +\infty}  y_{k_n}) = f(\sigma)  \)

Te puse esto también:

No hay que imponer que \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) sea convergente, lo que si se sabe es que por ser acotada existe una subsucesión convergente.
Ejemplo \( f(x) = -x^2+1 \) en \( [-1,1]  \) nadie te dice que \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) pueda ser \( y_n = (-1)^n  \)

[Buscón]

Tenemos que la sucesión \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty} \) es acotada, luego tiene una subsucesión convergente \( \{y_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \),
con \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} y_{k_n} = \sigma  \), como \(  a\leq y_{k_n} \leq b  \) evidentemente se tiene que \( \sigma \in [a,b]  \).

Si, parece evidente, pero nada garantiza que el límite de una sucesión convergente sea un término de la sucesión.