Autor Tema: Prueba \(\;f\;\) se anula en algún punto de \(\;[a,b]\;\).

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15 Septiembre, 2020, 12:09 am
Respuesta #40

Buscón

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Hasta aquí bien. Cabe destacar que la clave es el punto (iii) que es lo troncal de la afirmación del teorema que enlacé y donde es decisivo que f sea continua. En otro caso pudiera ocurrir que \( f(y_n) \) no convergiese o que convergiese a un punto diferente de \( f(\rho). \)

Que la función es continua es la primera hipótesis sin ella no tiene mucho sentido lo que sigue.

Citar
   vi)   \( \rho=y_k\in{[a,b]} \)    para algún    \( k \).

 Esto no sé a que viene. No tiene porqué ocurrir. Podría ser que el límite \( \rho \) NO coincida con ningún \( y_k \).
No. El dice: Una función entre dos espacios métricos \( f:X\to Y \) es continua si y sólo si la imagen de cualquier sucesión de \( X \) convergente a un punto \( x\in X \) converge a \( f(x) \).

La cita a la fuente no la puse yo.

Pero ahí has dado en el clavo. Es más, yo diría que el límite para la sucesión    \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty} \),    al verse obligado cada término de la sucesión    \( f(y_n) \)    a verificar    \( |f(y_k)| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^{k-1}} \)    para cada    \( x\in{[a,b]} \),    no puede pertenecer a    \( [a,b] \)    lo cual es absurdo, por que también para    \( \rho\not\in{[a,b]} \)    debe verificarse, esto es, para    \( x=\rho\in{[a,b]} \)    ha de existir algún    \( y_k\in{[a,b]} \)     tal que   \( |f(y_k)| \leq \dfrac{|f(\rho)|}{5^{k-1}} \). 

Eso no tiene sentido. Eso que "dirías"  no tiene fundamento razonable alguno.


¿No es debatible?

Veréis, yo lo veo así: (Que es lo que más o menos he tratado de poner ahí)

Si la sucesión converge a cero y el cero está en el conjunto imagen de     \( f \)    no se puede verificar la condición "para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{2}{10}\Big|f(x)\Big|} \)",    y si el cero no pertenece a la imagen de    \( f \)    no se puede probar que la función se anula en algún punto.

¿Estoy muy equivocado?

Saludos.

CORREGIDO.

15 Septiembre, 2020, 12:50 pm
Respuesta #41

Luis Fuentes

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Hola

Citar
   vi)   \( \rho=y_k\in{[a,b]} \)    para algún    \( k \).

 Esto no sé a que viene. No tiene porqué ocurrir. Podría ser que el límite \( \rho \) NO coincida con ningún \( y_k \).
No. El dice: Una función entre dos espacios métricos \( f:X\to Y \) es continua si y sólo si la imagen de cualquier sucesión de \( X \) convergente a un punto \( x\in X \) converge a \( f(x) \).

La cita a la fuente no la puse yo.

No se que me quieres decir con eso. Lo único que digo es que esa condición vi) que has puesto no viene a cuento. Está mal.

Citar
Si la función converge a cero

Eso así dicho no tiene sentido. ¿Qué quieres decir con que la función converja a cero? Aquí hablamos de una sucesión, luego de una sucesión de imágenes... ¿pero qué la función converja a cero?  :-\

Citar
y el cero está en el conjunto imagen de     \( f \)    no se puede verificar la condición "para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{2}{10}\Big|f(x)\Big|} \)",    y si el cero no pertenece a la imagen de    \( f \)    no se puede probar que la función se anula en algún punto.

¿Estoy muy equivocado?

Antes de nada. Incluso si NO es tuvieses equivocado eso no influye para nada en entender la demostración. Eso te llevaría en todo caso a que no hay ninguna función cumpliendo las hipótesis del teorema y por tanto es un teorema inútil.

Por otra parte... ¡estás equivocado!. De hecho si el cero está en el conjunto imagen esa condición siempre se cumple sin más que tomar \( \cancel{y=0} \) un \( y\in [a,b] \) tal que \( f(y)=0 \).

Sea como sea, vuelves a disgregarte de entender la demostración. Entender la demostración no es necesariamente entender el teorema. Además entender la demostración también tiene matices: una cosa es entender uno por uno cada uno de los pasos que se dan en ella y otra la idea general que subyace en ella. Entender el teorema, entender los pasos individuales de la demostración, entender la idea subyacente... todo es interesante. Pero tienes que ir cosa por cosa, si no tienes las cosas claras e intentas entender y discutir todo a la vez, lo que haces es liarte.

Saludos.

CORREGIDO.

15 Septiembre, 2020, 01:38 pm
Respuesta #42

Buscón

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Hola

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   vi)   \( \rho=y_k\in{[a,b]} \)    para algún    \( k \).

 Esto no sé a que viene. No tiene porqué ocurrir. Podría ser que el límite \( \rho \) NO coincida con ningún \( y_k \).
No. El dice: Una función entre dos espacios métricos \( f:X\to Y \) es continua si y sólo si la imagen de cualquier sucesión de \( X \) convergente a un punto \( x\in X \) converge a \( f(x) \).

La cita a la fuente no la puse yo.

No se que me quieres decir con eso. Lo único que digo es que esa condición vi) que has puesto no viene a cuento. Está mal.


No lo digo yo, lo dice el teorema o proposición que has citado. Está con tamaño de fuente 14. No se puede hacer una demostración basada en un teorema saltándose una de sus hipótesis. Para la solución que propone Juan Pablo Sancho, o se usa ese teorema o no se usa, pero si se usa tiene que ser con todas sus hipótesis. ¿No?


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Si la función converge a cero

Eso así dicho no tiene sentido. ¿Qué quieres decir con que la función converja a cero? Aquí hablamos de una sucesión, luego de una sucesión de imágenes... ¿pero qué la función converja a cero?  :-\

Disculpa, quería decir la sucesión.


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y el cero está en el conjunto imagen de     \( f \)    no se puede verificar la condición "para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{2}{10}\Big|f(x)\Big|} \)",    y si el cero no pertenece a la imagen de    \( f \)    no se puede probar que la función se anula en algún punto.

¿Estoy muy equivocado?

Antes de nada. Incluso si NO es tuvieses equivocado eso no influye para nada en entender la demostración. Eso te llevaría en todo caso a que no hay ninguna función cumpliendo las hipótesis del teorema y por tanto es un teorema inútil.

Por otra parte... ¡estás equivocado!. De hecho si el cero está en el conjunto imagen esa condición siempre se cumple sin más que tomar \( y=0 \).

La interpretación que yo hago de la condición "para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que..." es, que, en el momento que tomo    \( x=0 \)    no encuentro ningún    \( y\neq x \)    en    \( [a,b] \)
que la verifique. ¿Me equivoco?

Sea como sea, vuelves a disgregarte de entender la demostración. Entender la demostración no es necesariamente entender el teorema. Además entender la demostración también tiene matices: una cosa es entender uno por uno cada uno de los pasos que se dan en ella y otra la idea general que subyace en ella. Entender el teorema, entender los pasos individuales de la demostración, entender la idea subyacente... todo es interesante. Pero tienes que ir cosa por cosa, si no tienes las cosas claras e intentas entender y discutir todo a la vez, lo que haces es liarte.

Me estoy perdiendo ¿la demostración del teorema que citas o la demostración de la solución propuesta por Juan Pablo Sancho para el problema planteado en el hilo?

15 Septiembre, 2020, 02:05 pm
Respuesta #43

Juan Pablo Sancho

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Pero \( x \) puede no ser cero, si \( [a,b] = [3,5]  \) por ejemplo no hay \( x = 0  \) en \( [a,b]  \) que el cero este en en intervalo no tiene por que intervenir, mira el intervalo \( [-1,5]  \) con \( f(x) = (x-1)^2  \).

15 Septiembre, 2020, 02:37 pm
Respuesta #44

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Pero \( x \) puede no ser cero, si \( [a,b] = [3,5]  \) por ejemplo no hay \( x = 0  \) en \( [a,b]  \) que el cero este en en intervalo no tiene por que intervenir, mira el intervalo \( [-1,5]  \) con \( f(x) = (x-1)^2  \).

Si, perdona, me estoy liando. Quería decir una vez que tomo un    \( x\in{[a,b]} \)    tal que    \( \dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|=0 \)    no puedo encontrar ningún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)    lo que a todas luces es falso.

15 Septiembre, 2020, 03:30 pm
Respuesta #45

Juan Pablo Sancho

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Como que no, toma \( y = x \) y tienes \(  0 \leq \dfrac{2}{10} \cdot 0  \).

15 Septiembre, 2020, 05:17 pm
Respuesta #46

Luis Fuentes

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Hola

No lo digo yo, lo dice el teorema o proposición que has citado. Está con tamaño de fuente 14. No se puede hacer una demostración basada en un teorema saltándose una de sus hipótesis. Para la solución que propone Juan Pablo Sancho, o se usa ese teorema o no se usa, pero si se usa tiene que ser con todas sus hipótesis. ¿No?

¿Pero a qué te refieres? En el punto (vi) dices que el límite \( \rho=y_k\in{[a,b]} \) para algún \( k \), es decir, que el límite de la sucesión coincide con el valor de algún término de la sucesión. ¡El Teorema no dice nada de eso en ningún sitio!.

Quizá para ti lo relevante de (vi) es que también querías decir que \( \rho\in [a,b] \). Eso si es cierto... ¡claro!. Desde el principio partimos de una sucesión convergente en \( X \), por tanto su límite está en \( X \). En nuestro caso \( X=[a,b] \).

Pero lo que NO tiene sentido es lo otro: decir que el límite tiene que coincidir con algún término de la sucesión. No viene a nada.

Citar
La interpretación que yo hago de la condición "para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que..." es, que, en el momento que tomo    \( x=0 \)    no encuentro ningún    \( y\neq x \)    en    \( [a,b] \)
que la verifique. ¿Me equivoco?

Vaya por delante que antes me confundí y donde puse \( y=0 \) quería poner \( f(y)=0 \).

Por lo demás no se de donde te sacas interpretación. ¿Qué tiene que ver que \( x=0 \) con que exista un \( y \) cumpliendo una cierta condición en las imágenes?. No tiene nada de especial el punto cero.

Me estoy perdiendo ¿la demostración del teorema que citas o la demostración de la solución propuesta por Juan Pablo Sancho para el problema planteado en el hilo?

Lo que he dicho es válido para cualquier teorema: pueden ser cosas independientes entender el teorema, la idea de su demostración y los pasos independientes de su desmotración.

Sea como sea, en este caso no hemos hablado en ningún momento de la demostración del teorema que cito (¡no liemos más!); ese teorema vino a cuento para justificar un paso en la prueba de Juan Pablo.

Saludos.

15 Septiembre, 2020, 08:46 pm
Respuesta #47

Buscón

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Si, perdona, me estoy liando. Quería decir una vez que tomo un    \( x\in{[a,b]} \)    tal que    \( \dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|=0 \)    no puedo encontrar ningún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)    lo que a todas luces es falso.


Como que no, toma \( y = x \) y tienes \(  0 \leq \dfrac{2}{10} \cdot 0  \).

Pues eso, que lo que yo quería decir a todas luces es falso.

15 Septiembre, 2020, 09:13 pm
Respuesta #48

Buscón

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No lo digo yo, lo dice el teorema o proposición que has citado. Está con tamaño de fuente 14. No se puede hacer una demostración basada en un teorema saltándose una de sus hipótesis. Para la solución que propone Juan Pablo Sancho, o se usa ese teorema o no se usa, pero si se usa tiene que ser con todas sus hipótesis. ¿No?

¿Pero a qué te refieres? En el punto (vi) dices que el límite \( \rho=y_k\in{[a,b]} \) para algún \( k \), es decir, que el límite de la sucesión coincide con el valor de algún término de la sucesión. ¡El Teorema no dice nada de eso en ningún sitio!.


Buf! Menudo lío. El teorema no. En la propuesta de Juan Pablo Sancho aparece ese     \( \rho \)    como límite de la sucesión    \( y_n \).  Y el teorema que tu citas dice expresamente que ese    \( \rho \)    debe pertenecer a    \( X \), en este caso a    \( [a,b] \).    Si no se respeta esa hipótesis del teorema no se puede usar para justificar el razonamiento de Juan Pablo Sancho.


Quizá para ti lo relevante de (vi) es que también querías decir que \( \rho\in [a,b] \). Eso si es cierto... ¡claro!. Desde el principio partimos de una sucesión convergente en \( X \), por tanto su límite está en \( X \). En nuestro caso \( X=[a,b] \).

Pues eso es lo que yo decía.

Pero lo que NO tiene sentido es lo otro: decir que el límite tiene que coincidir con algún término de la sucesión. No viene a nada.


En que quedamos, si tres líneas más arriba dices lo contrario. Quizás estamos hablando de sucesiones diferentes. No sé.

Yo veo dos sucesiones. Una    \( y_n=\{y_1,y_2\ldots\} \)    de los    \( y_k\in{[a,b]} \)    que converge a   \( \rho\in{[a,b]} \)   y otra    \( f(y_n)=\{f(y_1),f(y_2)\ldots\} \)    de las imagenes de    \( y_k \)    por    \( f \)   que converge a    \( f(\rho)\in{f\big([a,b]\big)} \).   

Y veo que esto es así porque el teorema que citas así lo asegura al ser    \( f \)    continua.

¿Me equivoco en esto?


Citar
La interpretación que yo hago de la condición "para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que..." es, que, en el momento que tomo    \( x=0 \)    no encuentro ningún    \( y\neq x \)    en    \( [a,b] \)
que la verifique. ¿Me equivoco?

Vaya por delante que antes me confundí y donde puse \( y=0 \) quería poner \( f(y)=0 \).

Por lo demás no se de donde te sacas interpretación. ¿Qué tiene que ver que \( x=0 \) con que exista un \( y \) cumpliendo una cierta condición en las imágenes?. No tiene nada de especial el punto cero.

Si, aquí estaba yo confundiendo la sucesión del dominio con la sucesión de las imágenes. Disculpa.


15 Septiembre, 2020, 09:27 pm
Respuesta #49

Luis Fuentes

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Buf! Menudo lío. El teorema no. En la propuesta de Juan Pablo Sancho aparece ese     \( \rho \)    como límite de la sucesión    \( y_n \).  Y el teorema que tu citas dice expresamente que ese    \( \rho \)    debe pertenecer a    \( X \), en este caso a    \( [a,b] \).    Si no se respeta esa hipótesis del teorema no se puede usar para justificar el razonamiento de Juan Pablo Sancho.

¡De acuerdo en todo! Nadie está diciendo lo contrario. Y no hay ningún problema ahí. Ciertamente \( \rho \) es el límite de \( y_n \) y ciertamente \( \rho\in [a,b]. \)

Pero lo que pareces no entender es que NADA DE ESO TIENE QUE VER CON QUE UNO DE LOS TÉRMINOS DE LA SUCESIÓN COINCIDA CON EL LÍMITE de la misma. Incido en esto más adelante

Citar
Pero lo que NO tiene sentido es lo otro: decir que el límite tiene que coincidir con algún término de la sucesión. No viene a nada.


En que quedamos, si tres líneas más arriba dices lo contrario. Quizás estamos hablando de sucesiones diferentes. No sé.

Lo que yo dije es que el límite de la sucesión está en \( [a,b] \). ¡¡¡Qué tiene que ver eso con que el límite de la sucesión coincida con un término de la misma!!!.

Por ejemplo la sucesión \( \{y_n\}=\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\subset [0,1] \) converge al límite \( \rho=0\in [0,1] \) y NO EXISTE valor alguno de \( n \) para el cuál \( \rho=0=y_n \). Y tu afirmaste en (vi) que si existe; eso en rojo es lo que te sobrea.

Citar
Yo veo dos sucesiones. Una    \( y_n=\{y_1,y_2\ldots\} \)    de los    \( y_k\in{[a,b]} \)    que converge a   \( \rho\in{[a,b]} \)   y otra    \( f(y_n)=\{f(y_1),f(y_2)\ldots\} \)    de las imagenes de    \( y_k \)    por    \( f \)   que converge a    \( \color{blue}f(\rho)\color{black}\in{f\big([a,b]\big)} \).   

Y veo que esto es así porque el teorema que citas así lo asegura al ser    \( f \)    continua.

Si, todo eso es correcto. En concreto lo que permite afirmar el teorema es lo que he marcado en azul.

Saludos.

15 Septiembre, 2020, 09:54 pm
Respuesta #50

Buscón

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Buf! Menudo lío. El teorema no. En la propuesta de Juan Pablo Sancho aparece ese     \( \rho \)    como límite de la sucesión    \( y_n \).  Y el teorema que tu citas dice expresamente que ese    \( \rho \)    debe pertenecer a    \( X \), en este caso a    \( [a,b] \).    Si no se respeta esa hipótesis del teorema no se puede usar para justificar el razonamiento de Juan Pablo Sancho.

¡De acuerdo en todo! Nadie está diciendo lo contrario. Y no hay ningún problema ahí. Ciertamente \( \rho \) es el límite de \( y_n \) y ciertamente \( \rho\in [a,b]. \)

Pero lo que pareces no entender es que NADA DE ESO TIENE QUE VER CON QUE UNO DE LOS TÉRMINOS DE LA SUCESIÓN COINCIDA CON EL LÍMITE de la misma. Incido en esto más adelante

Vale, vale, de acuerdo. Estaba yo metiendo la pata para variar. Que    \( \rho\in{[a,b]} \),    y por lo tanto    \( \rho=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{y_n}\in{[a,b]} \),    no implica que    \( \rho=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{y_n}\in{y_n} \).

Citar
Pero lo que NO tiene sentido es lo otro: decir que el límite tiene que coincidir con algún término de la sucesión. No viene a nada.


En que quedamos, si tres líneas más arriba dices lo contrario. Quizás estamos hablando de sucesiones diferentes. No sé.

Lo que yo dije es que el límite de la sucesión está en \( [a,b] \). ¡¡¡Qué tiene que ver eso con que el límite de la sucesión coincida con un término de la misma!!!.

Por ejemplo la sucesión \( \{y_n\}=\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\subset [0,1] \) converge al límite \( \rho=0\in [0,1] \) y NO EXISTE valor alguno de \( n \) para el cuál \( \rho=0=y_n \). Y tu afirmaste en (vi) que si existe; eso en rojo es lo que te sobrea.

Si, aclarado, gracias, es lo mismo de antes.

Citar
Yo veo dos sucesiones. Una    \( y_n=\{y_1,y_2\ldots\} \)    de los    \( y_k\in{[a,b]} \)    que converge a   \( \rho\in{[a,b]} \)   y otra    \( f(y_n)=\{f(y_1),f(y_2)\ldots\} \)    de las imagenes de    \( y_k \)    por    \( f \)   que converge a    \( \color{blue}f(\rho)\color{black}\in{f\big([a,b]\big)} \).   

Y veo que esto es así porque el teorema que citas así lo asegura al ser    \( f \)    continua.

Si, todo eso es correcto. En concreto lo que permite afirmar el teorema es lo que he marcado en azul.

Si, si, y con    \( f(\rho)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{f(y_n)} \)    sucede lo mismo. Tiene que ser   \( f(\rho)\in{f\big([a,b]\big)} \)    pero no necesariamente ha de ser    \( f(\rho)\in{f(y_n)} \).   Estaba yo empanado ahí.

Saludos.

15 Septiembre, 2020, 11:04 pm
Respuesta #51

Juan Pablo Sancho

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Sólo indicar que \( \displaystyle \sigma = \lim_{n \to +\infty} y_{k_n}  \) por que \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) puede no tener límite.

16 Septiembre, 2020, 12:16 am
Respuesta #52

Buscón

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Sólo indicar que \( \displaystyle \sigma = \lim_{n \to +\infty} y_{k_n}  \) por que \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) puede no tener límite.

Hay que imponer que lo tenga.

Se me ocurre entonces para lo que propones y aclarar conceptos, que se puede reconstruir el teorema de continuidad por convergencia adaptándolo al hilo.

Sería algo así:

Una función entre dos espacios métricos    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    es continua sí, y solo sí, la imagen de cualquier sucesión    \( y_n \)    de    \( [a,b] \)    convergente a un punto    \( \rho\in{[a,b]} \)    converge a    \( f(\rho) \).

La función    \( f \)    del hilo es continua por hipótesis y además verifica que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe un    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}}\big|f(x)\big| \).

Entonces, si    \( y_n=\{y_1,y_2,\ldots\} \),    \( (k=1,2,3\ldots) \)    es una sucesión de     \( [a,b] \)    convergente a    \( \rho\in{[a,b]} \),    la sucesión    \( f(y_n)=\{f(y_1),f(y_2),\ldots\} \)     converge a    \( f(\rho) \).

Hay que imponer además que las sucesiones     \( y_n \)    y    \( f(y_n) \)    verifican    \( \big|f(y_{k+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_k)\big|} \)    para    \( k=1,2,\ldots \)    de donde por recurrencia se obtiene    \( \big|f(y_{n})\big|\leq{\dfrac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \)    para algún   \( k \),    y por consiguiente, aplicando la regla del sándwich    \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{f(y_n)}=0 \).


¿Correcto hasta aquí?

16 Septiembre, 2020, 08:08 am
Respuesta #53

Juan Pablo Sancho

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No hay que imponer que \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) sea convergente, lo que si se sabe es que por ser acotada existe una subsucesión convergente.
Ejemplo \( f(x) = -x^2+1 \) en \( [-1,1]  \) nadie te dice que \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) pueda ser \( y_n = (-1)^n  \)

16 Septiembre, 2020, 09:44 am
Respuesta #54

Luis Fuentes

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Una función entre dos espacios métricos    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    es continua sí, y solo sí, la imagen de cualquier sucesión    \( y_n \)    de    \( [a,b] \)    convergente a un punto    \( \rho\in{[a,b]} \)    converge a    \( f(\rho) \). (#)

Bien.

Citar
La función    \( f \)    del hilo es continua por hipótesis y además verifica que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe un    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}}\big|f(x)\big| \).  (*)

Bien.

Citar
Entonces, si    \( y_n=\{y_1,y_2,\ldots\} \),    \( (k=1,2,3\ldots) \)    es una sucesión de     \( [a,b] \)    convergente a    \( \rho\in{[a,b]} \),    la sucesión    \( f(y_n)=\{f(y_1),f(y_2),\ldots\} \)     converge a    \( f(\rho) \).

Esto.. estrictamente está bien. Aunque tiene un matiz más bien relacionado con la redacción de la demostración y con lo que viene después...

Citar
Hay que imponer además que las sucesiones     \( y_n \)    y    \( f(y_n) \)    verifican    \( \big|f(y_{k+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_k)\big|} \)    para    \( k=1,2,\ldots \)    de donde por recurrencia se obtiene    \( \big|f(y_{n})\big|\leq{\dfrac{\big|f(y_k)\big|}{5^n}} \)    para algún   \( k \),    y por consiguiente, aplicando la regla del sándwich    \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{f(y_n)}=0 \).

Aquí viene el (o los) matiz (matices):

1- Tal como lo has redactado parece que partes de una sucesión cualquiera y le "obligas" a que cumple tal cosa. Es confuso así.
2- Más bien, usando la hipótesis (*) del enunciado se puede construir recursivamente una sucesión cumpliendo  \( \big|f(y_{k+1})\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y_k)\big|} \).
3- Eso garantiza que la sucesión de imágenes \( \{f(y_{n})\} \) converge a cero.
4- Pero NO tenemos garantizado que la sucesión \( \{y_n\} \) sea convergente (eso es lo que te dice Juan Pablo).
5- Tienes que usar que toda sucesión en un compacto tiene una subsucesión convergente \( \{y_{n_k}\} \).
6- Ahora si tienes \( \{y_{n_k}\}\to \sigma \) y \( \{f(y_{n_k})\}\to 0 \).
7- Y ahora es donde interviene ese resultado auxiliar (#). \( \{f(y_{n_k})\} \) converge a \( f(\sigma) \); pero vimos también que convergía a cero. Como el límite es único \( f(\sigma)=0 \).

Saludos.

P.D. He enumerado las observaciones intentando facilitar que si tienes dudas, concretes en que punto o puntos las encuentras.

16 Septiembre, 2020, 11:39 am
Respuesta #55

Buscón

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No me convence el razonamiento. Se construye recursivamente la sucesión    \( f(y_n) \)    y se prueba que converge a cero debido a la condición que debe verificar la función   \( f \).    Luego usando que toda sucesión en un compacto tiene una subsucesión convergente resulta que    \( y_{n_{\color{red}k}} \)    converge a    \( \rho \)    y por lo tanto    \( f(\rho)=0 \).

Se debería probar primero que hay una subsucesión    \( f(y_{nk}) \)    convergente a cero usando la condición del enunciado y el  teorema de Weierstrass que asegura que   \( f([a,b]) \)     es un compacto y luego deducir que    \( f(\rho) \)    converge a cero.

Pero aún así, me cuesta un poco verlo, ¿que garantiza que    \( \rho\in{[a,b]} \)?

Saludos.

CORREGIDO.

16 Septiembre, 2020, 12:43 pm
Respuesta #56

Luis Fuentes

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Hola

No me convence el razonamiento.

Fíjate que como te dije numeré el razonamiento con toda la intención; para ayudarte a centrar tu duda... ¡pero te resistes!.

Citar
Se construye recursivamente la sucesión    \( f(y_n) \) 

Es cierto eso. Pero yo lo precisaría un poco más. Se construye recursivamente la sucesión \( \{y_n\} \) (¡y claro inmediatamente uno tiene la sucesión de imágenes \( f(y_n) \)). Esa sucesión \( \{y_n\} \) está construida  para que sus imágenes cumplan una cierta condición.

Citar
  y se prueba que converge a cero debido a la condición que debe verificar la función   \( f \).   

Correcto. La condición bajo la cual hemos ido construyendo \( \{y_n\} \) nos garantiza que su sucesión de imágenes \( \{f(y_n)\} \) converge a cero.

Citar
Luego usando que toda sucesión en un compacto tiene una subsucesión convergente resulta que    \( y_n \)    converge a    \( \rho \)    y por lo tanto    \( f(\rho)=0 \).

Ojo. No que \( \{y_n\} \) converge a \( \rho \), sino que una subsucesión de \( \{y_n\} \), es decir, \( \{y_{n_k}\} \) converge a \( \rho. \)

Citar
Se debería probar primero que hay una subsucesión    \( f(y_{nk}) \)    convergente a cero usando que el  teorema de Weierstrass que asegura que   \( f([a,b]) \)     es un compacto.

La sucesión  \( f(y_{n_k}) \) es directamente la imagen de la subsucesión \( \{y_{n_k}\} \) y converge a cero porque cualquier subsucesión de una sucesión convergente es también convergente al mismo límite.

En otras palabras la convergencia de  \( \{f(y_n)\} \)  a cero y de cualquier subsucesión de ella (en particular \( f(y_{n_k}) \)) la tenemos garantizada por la condición recursiva que hemos usado para construir \( \{y_n\} \).

La convergencia que NO tenemos garantizada es la de  \( \{y_n\} \) y es sobre es sucesión sobre la que usamos que está en \( [a,b] \) compacto y por tanto tiene una subsucesión convergente.

Saludos.

P.D. Te invito de nuevo a reflexionar. Trata de concretar tus dudas en pasos concretos.

16 Septiembre, 2020, 01:24 pm
Respuesta #57

Buscón

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Hola

No me convence el razonamiento.

Fíjate que como te dije numeré el razonamiento con toda la intención; para ayudarte a centrar tu duda... ¡pero te resistes!.

Disculpa.


Citar
Se construye recursivamente la sucesión    \( f(y_n) \) 

Es cierto eso. Pero yo lo precisaría un poco más. Se construye recursivamente la sucesión \( \{y_n\} \) (¡y claro inmediatamente uno tiene la sucesión de imágenes \( f(y_n) \)). Esa sucesión \( \{y_n\} \) está construida  para que sus imágenes cumplan una cierta condición.

Yo aún precisaría más. La condición sobre la que se construye la sucesión    \( f(y_n) \)    por recurrencia es,    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \),    esto es, sobre las imágenes. De ahí se deduce entonces que debe existir una sucesión    \( y_n \)    que puede o no converger.

Citar
  y se prueba que converge a cero debido a la condición que debe verificar la función   \( f \).   

Correcto. La condición bajo la cual hemos ido construyendo \( \{y_n\} \) nos garantiza que su sucesión de imágenes \( \{f(y_n)\} \) converge a cero.

Mmm! Me chirría un poco.  Hemos construido    \( f(y_n) \).    Con ella y con su subsucesión    \( f(y_{n_k}) \)    construida a partir de ella no hay problema. Existen por aplicar la recurrencia a la condición que debe cumplir la función    \( f \)    del enunciado. Y se puede probar que convergen a cero por la recurrencia sobre la condición y la regla del sándwich.


Citar
Luego usando que toda sucesión en un compacto tiene una subsucesión convergente resulta que    \( y_n \)    converge a    \( \rho \)    y por lo tanto    \( f(\rho)=0 \).

Ojo. No que \( \{y_n\} \) converge a \( \rho \), sino que una subsucesión de \( \{y_n\} \), es decir, \( \{y_{n_k}\} \) converge a \( \rho. \)

Si, disculpa. Ya está corregido.

Aquí ya arrastro el chirrido y ademas se une un ruido de fondo. Ya no estamos en las hipótesis del teorema de continuidad por convergencia. Estamos hablando de subsucesiones usando un teorema que sólo contempla sucesiones.


Citar
Se debería probar primero que hay una subsucesión    \( f(y_{nk}) \)    convergente a cero usando que el  teorema de Weierstrass que asegura que   \( f([a,b]) \)     es un compacto.

La sucesión  \( f(y_{n_k}) \) es directamente la imagen de la subsucesión \( \{y_{n_k}\} \) y converge a cero porque cualquier subsucesión de una sucesión convergente es también convergente al mismo límite.

En otras palabras la convergencia de  \( \{f(y_n)\} \)  a cero y de cualquier subsucesión de ella (en particular \( f(y_{n_k}) \)) la tenemos garantizada por la condición recursiva que hemos usado para construir \( \{y_n\} \).

La convergencia que NO tenemos garantizada es la de  \( \{y_n\} \) y es sobre es sucesión sobre la que usamos que está en \( [a,b] \) compacto y por tanto tiene una subsucesión convergente.

El chirrido y el ruido de fondo que arrastro no me permiten aceptar que la subsucesión     \( y_{n_k} \)    converge. Y aún considerando subjetivos esos ruidos y aceptando que efectivamente    \( y_{n_k} \)    converge a    \( \rho \),    ¿qué garantiza que    \( \rho\in{[a,b]} \)?

16 Septiembre, 2020, 02:11 pm
Respuesta #58

Juan Pablo Sancho

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Pero si tienes una sucesión \( \{\eta_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) sea o no convergente si está acotada tiene una subsucesión \( \{\eta_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \) convergente, Teorema de Bolzano - Wierstrass .
Tenemos que la sucesión \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty} \) es acotada, luego tiene una subsucesión convergente \( \{y_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \),
con \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} y_{k_n} = \sigma  \), como \(  a\leq y_{k_n} \leq b  \) evidentemente se tiene que \( \sigma \in [a,b]  \).
Como tenemos construida la subsucesión \( \{y_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \)
Verificando:
1.)\( |y_{k_n}| \leq \dfrac{|f(x)|}{5^{k_n}}  \) entonces \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} |y_{k_n}| = 0  \).
2.)\( f \) es continua en \( [a,b]  \) entonces \( \displaystyle 0 = \lim_{n \to +\infty} f(y_{k_n}) = f(\lim_{n \to +\infty}  y_{k_n}) = f(\sigma)  \)

Te puse esto también:
No hay que imponer que \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) sea convergente, lo que si se sabe es que por ser acotada existe una subsucesión convergente.
Ejemplo \( f(x) = -x^2+1 \) en \( [-1,1]  \) nadie te dice que \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) pueda ser \( y_n = (-1)^n  \)

16 Septiembre, 2020, 02:47 pm
Respuesta #59

Buscón

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Tenemos que la sucesión \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty} \) es acotada, luego tiene una subsucesión convergente \( \{y_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \),
con \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} y_{k_n} = \sigma  \), como \(  a\leq y_{k_n} \leq b  \) evidentemente se tiene que \( \sigma \in [a,b]  \).


Si, parece evidente, pero nada garantiza que el límite de una sucesión convergente sea un término de la sucesión.