[Buscón]

Hasta aquí bien. Cabe destacar que la clave es el punto (iii) que es lo troncal de la afirmación del teorema que enlacé y donde es decisivo que f sea continua. En otro caso pudiera ocurrir que \( f(y_n) \) no convergiese o que convergiese a un punto diferente de \( f(\rho). \)

Que la función es continua es la primera hipótesis sin ella no tiene mucho sentido lo que sigue.

   vi)   \( \rho=y_k\in{[a,b]} \)    para algún    \( k \).

 Esto no sé a que viene. No tiene porqué ocurrir. Podría ser que el límite \( \rho \) NO coincida con ningún \( y_k \).

No. El dice: Una función entre dos espacios métricos \( f:X\to Y \) es continua si y sólo si la imagen de cualquier sucesión de \( X \) convergente a un punto \( x\in X \) converge a \( f(x) \).

La cita a la fuente no la puse yo.

Pero ahí has dado en el clavo. Es más, yo diría que el límite para la sucesión    \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty} \),    al verse obligado cada término de la sucesión    \( f(y_n) \)    a verificar    \( |f(y_k)| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^{k-1}} \)    para cada    \( x\in{[a,b]} \),    no puede pertenecer a    \( [a,b] \)    lo cual es absurdo, por que también para    \( \rho\not\in{[a,b]} \)    debe verificarse, esto es, para    \( x=\rho\in{[a,b]} \)    ha de existir algún    \( y_k\in{[a,b]} \)     tal que   \( |f(y_k)| \leq \dfrac{|f(\rho)|}{5^{k-1}} \). 

Eso no tiene sentido. Eso que "dirías"  no tiene fundamento razonable alguno.

¿No es debatible?

Veréis, yo lo veo así: (Que es lo que más o menos he tratado de poner ahí)

Si la sucesión converge a cero y el cero está en el conjunto imagen de     \( f \)    no se puede verificar la condición "para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{2}{10}\Big|f(x)\Big|} \)",    y si el cero no pertenece a la imagen de    \( f \)    no se puede probar que la función se anula en algún punto.

¿Estoy muy equivocado?

Saludos.

CORREGIDO.

[Luis Fuentes]

Hola

   vi)   \( \rho=y_k\in{[a,b]} \)    para algún    \( k \).

 Esto no sé a que viene. No tiene porqué ocurrir. Podría ser que el límite \( \rho \) NO coincida con ningún \( y_k \).

No. El dice: Una función entre dos espacios métricos \( f:X\to Y \) es continua si y sólo si la imagen de cualquier sucesión de \( X \) convergente a un punto \( x\in X \) converge a \( f(x) \).

La cita a la fuente no la puse yo.

No se que me quieres decir con eso. Lo único que digo es que esa condición vi) que has puesto no viene a cuento. Está mal.

Si la función converge a cero

Eso así dicho no tiene sentido. ¿Qué quieres decir con que la función converja a cero? Aquí hablamos de una sucesión, luego de una sucesión de imágenes... ¿pero qué la función converja a cero? 

y el cero está en el conjunto imagen de     \( f \)    no se puede verificar la condición "para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{2}{10}\Big|f(x)\Big|} \)",    y si el cero no pertenece a la imagen de    \( f \)    no se puede probar que la función se anula en algún punto.

¿Estoy muy equivocado?

Antes de nada. Incluso si NO es tuvieses equivocado eso no influye para nada en entender la demostración. Eso te llevaría en todo caso a que no hay ninguna función cumpliendo las hipótesis del teorema y por tanto es un teorema inútil.

Por otra parte... ¡estás equivocado!. De hecho si el cero está en el conjunto imagen esa condición siempre se cumple sin más que tomar \( \cancel{y=0} \) un \( y\in [a,b] \) tal que \( f(y)=0 \).

Sea como sea, vuelves a disgregarte de entender la demostración. Entender la demostración no es necesariamente entender el teorema. Además entender la demostración también tiene matices: una cosa es entender uno por uno cada uno de los pasos que se dan en ella y otra la idea general que subyace en ella. Entender el teorema, entender los pasos individuales de la demostración, entender la idea subyacente... todo es interesante. Pero tienes que ir cosa por cosa, si no tienes las cosas claras e intentas entender y discutir todo a la vez, lo que haces es liarte.

Saludos.

CORREGIDO.

[Buscón]

Hola

   vi)   \( \rho=y_k\in{[a,b]} \)    para algún    \( k \).

 Esto no sé a que viene. No tiene porqué ocurrir. Podría ser que el límite \( \rho \) NO coincida con ningún \( y_k \).

No. El dice: Una función entre dos espacios métricos \( f:X\to Y \) es continua si y sólo si la imagen de cualquier sucesión de \( X \) convergente a un punto \( x\in X \) converge a \( f(x) \).

La cita a la fuente no la puse yo.

No se que me quieres decir con eso. Lo único que digo es que esa condición vi) que has puesto no viene a cuento. Está mal.

No lo digo yo, lo dice el teorema o proposición que has citado. Está con tamaño de fuente 14. No se puede hacer una demostración basada en un teorema saltándose una de sus hipótesis. Para la solución que propone Juan Pablo Sancho, o se usa ese teorema o no se usa, pero si se usa tiene que ser con todas sus hipótesis. ¿No?

Si la función converge a cero

Eso así dicho no tiene sentido. ¿Qué quieres decir con que la función converja a cero? Aquí hablamos de una sucesión, luego de una sucesión de imágenes... ¿pero qué la función converja a cero? 

Disculpa, quería decir la sucesión.

y el cero está en el conjunto imagen de     \( f \)    no se puede verificar la condición "para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{2}{10}\Big|f(x)\Big|} \)",    y si el cero no pertenece a la imagen de    \( f \)    no se puede probar que la función se anula en algún punto.

¿Estoy muy equivocado?

Antes de nada. Incluso si NO es tuvieses equivocado eso no influye para nada en entender la demostración. Eso te llevaría en todo caso a que no hay ninguna función cumpliendo las hipótesis del teorema y por tanto es un teorema inútil.

Por otra parte... ¡estás equivocado!. De hecho si el cero está en el conjunto imagen esa condición siempre se cumple sin más que tomar \( y=0 \).

La interpretación que yo hago de la condición "para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que..." es, que, en el momento que tomo    \( x=0 \)    no encuentro ningún    \( y\neq x \)    en    \( [a,b] \)
que la verifique. ¿Me equivoco?

Sea como sea, vuelves a disgregarte de entender la demostración. Entender la demostración no es necesariamente entender el teorema. Además entender la demostración también tiene matices: una cosa es entender uno por uno cada uno de los pasos que se dan en ella y otra la idea general que subyace en ella. Entender el teorema, entender los pasos individuales de la demostración, entender la idea subyacente... todo es interesante. Pero tienes que ir cosa por cosa, si no tienes las cosas claras e intentas entender y discutir todo a la vez, lo que haces es liarte.

Me estoy perdiendo ¿la demostración del teorema que citas o la demostración de la solución propuesta por Juan Pablo Sancho para el problema planteado en el hilo?

[Juan Pablo Sancho]

Pero \( x \) puede no ser cero, si \( [a,b] = [3,5]  \) por ejemplo no hay \( x = 0  \) en \( [a,b]  \) que el cero este en en intervalo no tiene por que intervenir, mira el intervalo \( [-1,5]  \) con \( f(x) = (x-1)^2  \).

[Buscón]

Pero \( x \) puede no ser cero, si \( [a,b] = [3,5]  \) por ejemplo no hay \( x = 0  \) en \( [a,b]  \) que el cero este en en intervalo no tiene por que intervenir, mira el intervalo \( [-1,5]  \) con \( f(x) = (x-1)^2  \).

Si, perdona, me estoy liando. Quería decir una vez que tomo un    \( x\in{[a,b]} \)    tal que    \( \dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|=0 \)    no puedo encontrar ningún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)    lo que a todas luces es falso.

[Juan Pablo Sancho]

Como que no, toma \( y = x \) y tienes \(  0 \leq \dfrac{2}{10} \cdot 0  \).

[Luis Fuentes]

Hola

No lo digo yo, lo dice el teorema o proposición que has citado. Está con tamaño de fuente 14. No se puede hacer una demostración basada en un teorema saltándose una de sus hipótesis. Para la solución que propone Juan Pablo Sancho, o se usa ese teorema o no se usa, pero si se usa tiene que ser con todas sus hipótesis. ¿No?

¿Pero a qué te refieres? En el punto (vi) dices que el límite \( \rho=y_k\in{[a,b]} \) para algún \( k \), es decir, que el límite de la sucesión coincide con el valor de algún término de la sucesión. ¡El Teorema no dice nada de eso en ningún sitio!.

Quizá para ti lo relevante de (vi) es que también querías decir que \( \rho\in [a,b] \). Eso si es cierto... ¡claro!. Desde el principio partimos de una sucesión convergente en \( X \), por tanto su límite está en \( X \). En nuestro caso \( X=[a,b] \).

Pero lo que NO tiene sentido es lo otro: decir que el límite tiene que coincidir con algún término de la sucesión. No viene a nada.

La interpretación que yo hago de la condición "para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que..." es, que, en el momento que tomo    \( x=0 \)    no encuentro ningún    \( y\neq x \)    en    \( [a,b] \)
que la verifique. ¿Me equivoco?

Vaya por delante que antes me confundí y donde puse \( y=0 \) quería poner \( f(y)=0 \).

Por lo demás no se de donde te sacas interpretación. ¿Qué tiene que ver que \( x=0 \) con que exista un \( y \) cumpliendo una cierta condición en las imágenes?. No tiene nada de especial el punto cero.

Me estoy perdiendo ¿la demostración del teorema que citas o la demostración de la solución propuesta por Juan Pablo Sancho para el problema planteado en el hilo?

Lo que he dicho es válido para cualquier teorema: pueden ser cosas independientes entender el teorema, la idea de su demostración y los pasos independientes de su desmotración.

Sea como sea, en este caso no hemos hablado en ningún momento de la demostración del teorema que cito (¡no liemos más!); ese teorema vino a cuento para justificar un paso en la prueba de Juan Pablo.

Saludos.

[Buscón]

Si, perdona, me estoy liando. Quería decir una vez que tomo un    \( x\in{[a,b]} \)    tal que    \( \dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|=0 \)    no puedo encontrar ningún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)    lo que a todas luces es falso.

Como que no, toma \( y = x \) y tienes \(  0 \leq \dfrac{2}{10} \cdot 0  \).

Pues eso, que lo que yo quería decir a todas luces es falso.

[Buscón]

Hola

No lo digo yo, lo dice el teorema o proposición que has citado. Está con tamaño de fuente 14. No se puede hacer una demostración basada en un teorema saltándose una de sus hipótesis. Para la solución que propone Juan Pablo Sancho, o se usa ese teorema o no se usa, pero si se usa tiene que ser con todas sus hipótesis. ¿No?

¿Pero a qué te refieres? En el punto (vi) dices que el límite \( \rho=y_k\in{[a,b]} \) para algún \( k \), es decir, que el límite de la sucesión coincide con el valor de algún término de la sucesión. ¡El Teorema no dice nada de eso en ningún sitio!.

Buf! Menudo lío. El teorema no. En la propuesta de Juan Pablo Sancho aparece ese     \( \rho \)    como límite de la sucesión    \( y_n \).  Y el teorema que tu citas dice expresamente que ese    \( \rho \)    debe pertenecer a    \( X \), en este caso a    \( [a,b] \).    Si no se respeta esa hipótesis del teorema no se puede usar para justificar el razonamiento de Juan Pablo Sancho.

Quizá para ti lo relevante de (vi) es que también querías decir que \( \rho\in [a,b] \). Eso si es cierto... ¡claro!. Desde el principio partimos de una sucesión convergente en \( X \), por tanto su límite está en \( X \). En nuestro caso \( X=[a,b] \).

Pues eso es lo que yo decía.

Pero lo que NO tiene sentido es lo otro: decir que el límite tiene que coincidir con algún término de la sucesión. No viene a nada.

En que quedamos, si tres líneas más arriba dices lo contrario. Quizás estamos hablando de sucesiones diferentes. No sé.

Yo veo dos sucesiones. Una    \( y_n=\{y_1,y_2\ldots\} \)    de los    \( y_k\in{[a,b]} \)    que converge a   \( \rho\in{[a,b]} \)   y otra    \( f(y_n)=\{f(y_1),f(y_2)\ldots\} \)    de las imagenes de    \( y_k \)    por    \( f \)   que converge a    \( f(\rho)\in{f\big([a,b]\big)} \).   

Y veo que esto es así porque el teorema que citas así lo asegura al ser    \( f \)    continua.

¿Me equivoco en esto?

La interpretación que yo hago de la condición "para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que..." es, que, en el momento que tomo    \( x=0 \)    no encuentro ningún    \( y\neq x \)    en    \( [a,b] \)
que la verifique. ¿Me equivoco?

Vaya por delante que antes me confundí y donde puse \( y=0 \) quería poner \( f(y)=0 \).

Por lo demás no se de donde te sacas interpretación. ¿Qué tiene que ver que \( x=0 \) con que exista un \( y \) cumpliendo una cierta condición en las imágenes?. No tiene nada de especial el punto cero.

Si, aquí estaba yo confundiendo la sucesión del dominio con la sucesión de las imágenes. Disculpa.

[Luis Fuentes]

Hola

Buf! Menudo lío. El teorema no. En la propuesta de Juan Pablo Sancho aparece ese     \( \rho \)    como límite de la sucesión    \( y_n \).  Y el teorema que tu citas dice expresamente que ese    \( \rho \)    debe pertenecer a    \( X \), en este caso a    \( [a,b] \).    Si no se respeta esa hipótesis del teorema no se puede usar para justificar el razonamiento de Juan Pablo Sancho.

¡De acuerdo en todo! Nadie está diciendo lo contrario. Y no hay ningún problema ahí. Ciertamente \( \rho \) es el límite de \( y_n \) y ciertamente \( \rho\in [a,b]. \)

Pero lo que pareces no entender es que NADA DE ESO TIENE QUE VER CON QUE UNO DE LOS TÉRMINOS DE LA SUCESIÓN COINCIDA CON EL LÍMITE de la misma. Incido en esto más adelante

Pero lo que NO tiene sentido es lo otro: decir que el límite tiene que coincidir con algún término de la sucesión. No viene a nada.

En que quedamos, si tres líneas más arriba dices lo contrario. Quizás estamos hablando de sucesiones diferentes. No sé.

Lo que yo dije es que el límite de la sucesión está en \( [a,b] \). ¡¡¡Qué tiene que ver eso con que el límite de la sucesión coincida con un término de la misma!!!.

Por ejemplo la sucesión \( \{y_n\}=\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\subset [0,1] \) converge al límite \( \rho=0\in [0,1] \) y NO EXISTE valor alguno de \( n \) para el cuál \( \rho=0=y_n \). Y tu afirmaste en (vi) que si existe; eso en rojo es lo que te sobrea.

Yo veo dos sucesiones. Una    \( y_n=\{y_1,y_2\ldots\} \)    de los    \( y_k\in{[a,b]} \)    que converge a   \( \rho\in{[a,b]} \)   y otra    \( f(y_n)=\{f(y_1),f(y_2)\ldots\} \)    de las imagenes de    \( y_k \)    por    \( f \)   que converge a    \( \color{blue}f(\rho)\color{black}\in{f\big([a,b]\big)} \).   

Y veo que esto es así porque el teorema que citas así lo asegura al ser    \( f \)    continua.

Si, todo eso es correcto. En concreto lo que permite afirmar el teorema es lo que he marcado en azul.

Saludos.