[Buscón]

Ya decía yo. La interpretación que hice de ese límite en rojo es    \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|f(x)|}{2^{k_n}} =  0  \)       \( (x\in{[a,b]}) \)    ¿Quizás si hubiese puesto    \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|f(x_0)|}{2^{k_n}} =  0
 \)?    No recuerdo quien comentó hace poco que usaba muchos "chirimbolitos", me parece poco LaTeX dada la ambigüedad del lenguaje. Total, sólo cambia un subíndice de nada. 

Pues no sé si te sirven de mucho poner más "chirimbolitos", porque lo que pones en rojo para mí es claramente verdadero. Yo lo interpreto como "para todo \( x \in [a,b] \) se tiene que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|f(x)|}{2^{k_n}} =  0  \)", lo cual es exactamente lo mismo que decir que para cada \( x \) en \( [a,b] \) fijado, tienes que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|f(x)|}{2^{k_n}} =  0  \). Es decir, no sé ni se me ocurre qué interpretación le das tú a lo que pones en rojo.

Pues, después de leer tu respuesta, lo interpreto igual que tu. Ya casi no soy capaz de entender la interpretación que le daba antes. Gracias y un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

No. El enlace que pones adaptándolo minimamente al hilo dice     \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}}\textrm{ continua }\Longleftrightarrow{\forall{\,Yn}.\;\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{Y_n}=x_0\in{[a,b]}}\Rightarrow{\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)}=f(x_0)} \)

No. El dice: Una función entre dos espacios métricos \( f:X\to Y \) es continua si y sólo si la imagen de cualquier sucesión de \( X \) convergente a un punto \( x\in X \) converge a \( f(x) \).

En nuestro caso \( X=[a,b] \) e \( Y=\Bbb R \) y sabemos por hipótesis que la función \( f \) es continua.

La sucesión convergente en \( X \) es \( \{y_n\} \) con el último nombre que le has dado (el nombre es lo de menos); llamémosle al límite \( \sigma=\lim_{n \to{+}\infty}{}y_n \). Entonces lo que dice el Teorema es que la sucesión de imágenes, es decir \( \{f(y_n)\} \) converge a la imagen del límite es decir a \( f(\sigma) \). Es decir:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}f(y_n)=f(\sigma)=f\left(\lim_{n \to{+}\infty}y_n\right) \)

Se debe a la ignorancia y la torpeza, fundamentalmente.

Sinceramente no me parece que sea eso. Me parece sobre todo precipitación; en un mal entendido espíritu crítico, me parece que buscas plantear una duda antes de realmente haberte detenido a intentar entender lo que te proponen.

Saludos.

CORREGIDO

[Buscón]

Hola

No. El enlace que pones adaptándolo minimamente al hilo dice     \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}}\textrm{ continua }\Longleftrightarrow{\forall{\,Yn}.\;\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{Y_n}=x_0\in{[a,b]}}\Rightarrow{\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)}=f(x_0)} \)

No. El dice: Una función entre dos espacios métricos \( f:X\to Y \) es continua si y sólo si la imagen de cualquier sucesión  \( X \) convergente a un punto \( x\in X \) converge a \( f(x) \).

En nuestro caso \( X=[a,b] \) e \( Y=\Bbb R \) y sabemos por hipótesis que la función \( f \) es continua.

La sucesión convergente en \( X \) es \( \{y_n\} \) con el último nombre que le has dado (el nombre es lo de menos); llamémosle al límite \( \sigma=\lim_{n \to{+}\infty}{}y_n \). Entonces lo que dice el Teorema es que la sucesión de imágenes, es decir \( \{f(y_n)\} \) converge a la imagen del límite es decir a \( f(\sigma) \). Es decir:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}f(y_n)=f(\sigma)=f\left(\lim_{n \to{+}\infty}y_n\right) \)

Me cuesta entenderlo. Lo expreso sin cambiar los nombres protagonistas del teorema a ver si me aclaro. No entiendo el motivo por el cual  el autor nombra igual el espacio métrico y la sucesión.

La función    \( f \)    del enunciado es continua por hipótesis. Así que debe verificar que la imagen de cualquier sucesión     \( X \)    convergente a un punto    \( x\in{[a,b]} \)    converge a    \( f(x) \).

Creo que hasta aquí las únicas diferencias son los espacios métricos,    \( [a,b] \)    es    \( X \)    y    \( \mathbb{R} \)    es    \( Y \).     Tu dirás.

Las hipótesis que considero además de la continuidad de    \( f \)    son:

La sucesión que converge a    \( x\in{[a,b]} \)    es    \( X=\big\{X_1,X_2,X_3,\ldots,X_n,\ldots\big\} \).    Esto es,    \( \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}{X_n}=x \).    Aquí entiendo que    \( x\in{[a,b]} \)     no es un término de la sucesión    \( X \).   

La imagen de la sucesión    \( X \),    por    \( f \),    que converge a    \( f(x) \),    (o la sucesión de las imágenes por    \( f \)    que converge a    \( f(x) \)),    es    \( f(X)=\big\{f(X_1),f(X_2),f(X_3),\ldots,f(X_n),...\big\} \).    Aquí entiendo dos cosas. Primero: la sucesión    \( X \)    es distinta de la sucesión    \( f(X) \)    y segundo:    \( f(x) \)    no es un término de la sucesión   \( f(X) \),     

Hasta aquí puedo leer porque sin un poco de meditación me lío de mala manera. Bueno, incluso con ella.

¿Correcto hasta aquí o hay que considerar alguna cosa antes de poder seguir? Porque quiero aplicarlo al problema planteado tal y como propone Juan Pablo Sancho. Gracias anticipadas por las molestias que te pueda estar causando y saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Me cuesta entenderlo. Lo expreso sin cambiar los nombres protagonistas del teorema a ver si me aclaro. No entiendo el motivo por el cual  el autor nombra igual el espacio métrico y la sucesión.

Es que el autor no los nombra igual (no le da nombre de hecho; habla de una sucesión de \( X \); me comí el "de"); fue una errata por mi parte. Pero esto es una de las cosas que no entiendo. Si eso te choca, ¿no sería lo razonable que tu mismo hubieses acudido a la fuente a ver si había alguna errata?.

Creo que hasta aquí las únicas diferencias son los espacios métricos,    \( [a,b] \)    es    \( X \)    y    \( \mathbb{R} \)    es    \( Y \).     Tu dirás.

Si; pero yo no llamaría a eso diferencias. Sino que aplicas un teorema a un caso general; es decir los espacios métricos cualesquiera \( X \) e \( Y \) pasan a ser unos concretos.

Las hipótesis que considero además de la continuidad de    \( f \)    son:

La sucesión que converge a    \( x\in{[a,b]} \)    es    \( X=\big\{X_1,X_2,X_3,\ldots,X_n,\ldots\big\} \).    Esto es,    \( \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}{X_n}=x \).    Aquí entiendo que    \( x\in{[a,b]} \)     no es un término de la sucesión    \( X \).   

\( x \) es el límite de la sucesión. Podría también coincidir o no con un término de la sucesión. Es indiferente.

La imagen de la sucesión    \( X \),    por    \( f \),    que converge a    \( f(x) \),    (o la sucesión de las imágenes por    \( f \)    que converge a    \( f(x) \)),    es    \( f(X)=\big\{f(X_1),f(X_2),f(X_3),\ldots,f(X_n),...\big\} \).

Si.

   Aquí entiendo dos cosas. Primero: la sucesión    \( X \)    es distinta de la sucesión    \( f(X) \) 

Hombre pues obviamente; la una es una sucesión de elementos de \( X \) y la otra de sus imágenes, elementos de \( Y \).

y segundo:    \( f(x) \)    no es un término de la sucesión   \( f(X) \),   

 

Eso es indiferente. \( f(x) \) es la imagen del límite de la sucesión \( \{X_n\} \) , teniendo en cuenta que antes llamamos \( x \) a ese límite.

Fíjate que todo esto es al pide de la letra lo que te están diciendo; no hay "interpretación".

Saludos.

[Buscón]

Hola

Me cuesta entenderlo. Lo expreso sin cambiar los nombres protagonistas del teorema a ver si me aclaro. No entiendo el motivo por el cual  el autor nombra igual el espacio métrico y la sucesión.

Es que el autor no los nombra igual (no le da nombre de hecho; habla de una sucesión de \( X \); me comí el "de"); fue una errata por mi parte. Pero esto es una de las cosas que no entiendo. Si eso te choca, ¿no sería lo razonable que tu mismo hubieses acudido a la fuente a ver si había alguna errata?.

Ya lo hice. Una vez metido en la cabeza "cualquier sucesión    \( X \)    convergente..." aun leyendo la fuente "cualquier sucesión de    \( X \)    convergente...", ese de no se ve ni aún que te den con él en la frente. Sobre todo cuando es una definición nueva, cómo es el caso para mi, y no están bien asentados los conceptos.

Creo que hasta aquí las únicas diferencias son los espacios métricos,    \( [a,b] \)    es    \( X \)    y    \( \mathbb{R} \)    es    \( Y \).     Tu dirás.

Si; pero yo no llamaría a eso diferencias. Sino que aplicas un teorema a un caso general; es decir los espacios métricos cualesquiera \( X \) e \( Y \) pasan a ser unos concretos.

Bien, me parece bien, estoy de acuerdo en que es mucho más correcto.

La sucesión que converge a    \( x\in{[a,b]} \)    es    \( X=\big\{X_1,X_2,X_3,\ldots,X_n,\ldots\big\} \).    Esto es,    \( \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}{X_n}=x \).    Aquí entiendo que    \( x\in{[a,b]} \)     no es un término de la sucesión    \( X \).   

\( x \) es el límite de la sucesión. Podría también coincidir o no con un término de la sucesión. Es indiferente.

Si, aquí metí la pata, estaba pensando en la condición de la sucesión del problema planteado que dice "que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que..." donde interpreto que no puede ser    \( x=y \)    y por lo tanto la sucesión     \( X \)    es estrictamente monótona y no puede alcanzar el límite.

y segundo:    \( f(x) \)    no es un término de la sucesión   \( f(X) \),   

 

Eso es indiferente. \( f(x) \) es la imagen del límite de la sucesión \( \{X_n\} \) , teniendo en cuenta que antes llamamos \( x \) a ese límite.

Es consecuencia de lo anterior, al haber supuesto que la sucesión    \( X \)    no puede alcanzar el límite se sigue que la imagen de la sucesión    \( X \)    por    \( f \)    tampoco lo puede alcanzar.

Hasta aquí puedo leer, o en este casos escribir. Te toca corregir hasta aquí y a mi meditar sobre los errores cometidos.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Ya lo hice. Una vez metido en la cabeza "cualquier sucesión    \( X \)    convergente..." aun leyendo la fuente "cualquier sucesión de    \( X \)    convergente...", ese de no se ve ni aún que te den con él en la frente. Sobre todo cuando es una definición nueva, cómo es el caso para mi, y no están bien asentados los conceptos.

A mi me sigue chocando que no te des cuenta. Pero precisamente porque te llamó la atención que le llamase igual; es decir fuiste capaz de detectar que había algo raro ahí. Es te marcaba donde mirar y donde podría estar la posible errata.

Si, aquí metí la pata, estaba pensando en la condición de la sucesión del problema planteado que dice "que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que..." donde interpreto que no puede ser    \( x=y \)    y por lo tanto la sucesión     \( X \)    es estrictamente monótona y no puede alcanzar el límite.

Más allá de que estén acertadas o no, te metes en disquisiciones que no vienen a cuento. Para entender el resultado de que en una función continua el límite de la imagen de una sucesiones convergente es la imagen del límite, no te hace falta saber como estuvo construída la sucesión. Ólvidate por un momento del resto de la demostración de Juan Pablo y céntrate en este punto.

Lo único que deberías de estar intentando entender ahora es que:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}f(y_n)=f(\sigma)=f\left(\lim_{n \to{+}\infty}y_n\right) \)

Spoiler

Y da igual que a la sucesión el llames \( y_n,x_n,pepe_n,covid_n \), o lo que más rabia te de.

[cerrar]

Saludos.

[Buscón]

Lo único que deberías de estar intentando entender ahora es que:
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}f(y_n)=f(\sigma)=f\left(\lim_{n \to{+}\infty}y_n\right) \)

Ok.

Es decir. Las hipótesis son:

   i)      \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)     es una función continua cualquiera.

   ii)     \( y_n \)    es una sucesión cualquiera de números reales    \( y_k\in{[a,b]} \)    convergente a    \( \rho\in{[a,b]} \).

  iii)    \( f(y_n) \)    es la imagen por     \( f \)    de la sucesión    \( y_n \)    convergente a    \( \rho \),    o lo que es lo mismo, la sucesión de imágenes     \( y_k \)    por    \( f \)    convergente a    \( f(\rho) \).

  iv)    \( k=1,2,3\ldots \).

   v)    \( n=1,2,3\ldots \).

   vi)   \( \rho=y_k\in{[a,b]} \)    para algún    \( k \).

¿Correcto hasta aquí? ¿Falta alguna?

[Juan Pablo Sancho]

Para ii) \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) no es una sucesión cualquiera debe verificar \( |f(y_k)| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^{k-1}}  \)
vi) No tiene por que pasar, puede suceder que \( \sigma \neq y_k  \) para todo \( k \in \mathbb{N}  \).
Pero deberías centrarte en lo que te propone Luis.

[Buscón]

Para ii) \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) no es una sucesión cualquiera debe verificar \( |f(y_k)| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^{k-1}}  \)

Ya,ya, ya lo sé. Estoy siguiendo el hilo de Luis Fuentes. De momento es una sucesión cualquiera si nos ceñimos al teorema o proposición. De momento de lo que se trata es de que yo pueda entender que

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}f(y_n)=f(\sigma)=f\left(\lim_{n \to{+}\infty}y_n\right) \)

es cierto en general, deduciéndolo a partir de la proposición "Una función entre dos espacios métricos \( f:X\to Y \) es continua si y sólo si la imagen de cualquier sucesión de  \( X \) convergente a un punto \( x\in X \) converge a \( f(x) \)."    y de la continuidad de la función     \( f \).

vi) No tiene por que pasar, puede suceder que \( \sigma \neq y_k  \) para todo \( k \in \mathbb{N}  \).
Pero deberías centrarte en lo que te propone Luis.

No lo digo yo, lo dice la proposición "...cualquier sucesión de  \( X \) convergente a un punto    \( x\in X \)..."

Pero ahí has dado en el clavo. Es más, yo diría que el límite para la sucesión    \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty} \),    al verse obligado cada término de la sucesión    \( f(y_n) \)    a verificar    \( |f(y_k)| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^{k-1}} \)    para cada    \( x\in{[a,b]} \),    no puede pertenecer a    \( [a,b] \)    lo cual es absurdo, por que también para    \( \rho\not\in{[a,b]} \)    debe verificarse, esto es, para    \( x=\rho\in{[a,b]} \)    ha de existir algún    \( y_k\in{[a,b]} \)     tal que   \( |f(y_k)| \leq \dfrac{|f(\rho)|}{5^{k-1}} \).

Siendo esto así, aún cuando se pueda demostrar que hay una convergencia de la función a cero, (que ya he visto que si se puede, pues como bien apuntasteis tu y geómetracat,     \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\frac{\big|f(x_0)\big|}{5^{n-1}}}\rightarrow{0} \)    y efectivamente estaba yo metiendo la pata,), ello no garantiza que la función se anule en algún punto de    \( [a,b] \).   

Saludos.   

[Luis Fuentes]

Hola

Lo único que deberías de estar intentando entender ahora es que:
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}f(y_n)=f(\sigma)=f\left(\lim_{n \to{+}\infty}y_n\right) \)

Ok.

Es decir. Las hipótesis son:

   i)      \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)     es una función continua cualquiera.

   ii)     \( y_n \)    es una sucesión cualquiera de números reales    \( y_k\in{[a,b]} \)    convergente a    \( \rho\in{[a,b]} \).

  iii)    \( f(y_n) \)    es la imagen por     \( f \)    de la sucesión    \( y_n \)    convergente a    \( \rho \),    o lo que es lo mismo, la sucesión de imágenes     \( y_k \)    por    \( f \)    convergente a    \( f(\rho) \).

  iv)    \( k=1,2,3\ldots \).

   v)    \( n=1,2,3\ldots \).

 Hasta aquí bien. Cabe destacar que la clave es el punto (iii) que es lo troncal de la afirmación del teorema que enlacé y donde es decisivo que f sea continua. En otro caso pudiera ocurrir que \( f(y_n) \) no convergiese o que convergiese a un punto diferente de \( f(\rho). \)

   vi)   \( \rho=y_k\in{[a,b]} \)    para algún    \( k \).

 Esto no sé a que viene. No tiene porqué ocurrir. Podría ser que el límite \( \rho \) NO coincida con ningún \( y_k \).

 Lo que si ocurre es que si una sucesión contenida en un CERRADO es convergente entonces, el límite de la sucesión también está en ese CERRADO. Es decir cualquier sucesión en \( [a,b] \) convergente tiene el límite en \( [a,b] \).

 

Pero ahí has dado en el clavo. Es más, yo diría que el límite para la sucesión    \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty} \),    al verse obligado cada término de la sucesión    \( f(y_n) \)    a verificar    \( |f(y_k)| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^{k-1}} \)    para cada    \( x\in{[a,b]} \),    no puede pertenecer a    \( [a,b] \)    lo cual es absurdo, por que también para    \( \rho\not\in{[a,b]} \)    debe verificarse, esto es, para    \( x=\rho\in{[a,b]} \)    ha de existir algún    \( y_k\in{[a,b]} \)     tal que   \( |f(y_k)| \leq \dfrac{|f(\rho)|}{5^{k-1}} \). 

 Eso no tiene sentido. Eso que "dirías"  no tiene fundamento razonable alguno.

Saludos.