[Juan Pablo Sancho]

No sé lo que querías decir en este mensaje, la verdad.

[Buscón]

No sé lo que querías decir en este mensaje, la verdad.

 

Cosas mías.

De lo que se trata es de esto.

Sea    \( f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    continua. Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que

\( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{2}{10}\Big|f(x)\Big|} \).    Prueba que    \( f \)    se anula en algún punto de    \( [a,b] \).

¿Empezamos desde el principio sin mezclar hilos?

[Juan Pablo Sancho]

Lo pongo en spoiler por ser todo lo dicho.

Spoiler

Sea \( x_0 \in [a,b]  \) entonces existe \( x_1 \in [a,b]  \) verificando que \( |f(x_1)| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5}  \).
Como \( x_1 \in [a,b]  \) entonces existe \( x_2 \in [a,b]  \) verificando que \( |f(x_2)| \leq \dfrac{|f(x_1)|}{5} \leq  \dfrac{|f(x_0)|}{5^2}  \).
Inductivamente tenemos probado que \( |f(x_n)| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^n}  \).
Como \(  \{x_n\}_{n=1}^{+\infty} \subset [a,b]  \) está acotada entonces existe una subsucesión de \(  \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) convergente,sea esta \( \{x_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \) con \( \displaystyle  \lim_{n \to +\infty} x_{k_n} = \sigma \in [a,b]  \)
Como \(  |f(x_{k_n})| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^{k_n}}  \) tenemos que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} |f(x_{k_n})| = 0  \) además tenemos que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} |f(x_{k_n})| = |f(\lim_{n \to +\infty} x_{k_n})| = |f(\sigma)|  \)

[cerrar]

[Buscón]

Lo pongo en spoiler por ser todo lo dicho.

Sea \( x_0 \in [a,b]  \) entonces existe \( x_1 \in [a,b]  \) verificando que \( |f(x_1)| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5}  \).
Como \( x_1 \in [a,b]  \) entonces existe \( x_2 \in [a,b]  \) verificando que \( |f(x_2)| \leq \dfrac{|f(x_1)|}{5} \leq  \dfrac{|f(x_0)|}{5^2}  \).
Inductivamente tenemos probado que \( |f(x_n)| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^n}  \).
Como \(  \{x_n\}_{n=1}^{+\infty} \subset [a,b]  \) está acotada entonces existe una subsucesión de \(  \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) convergente,sea esta \( \{x_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \) con \( \displaystyle  \lim_{n \to +\infty} x_{k_n} = \sigma \in [a,b]  \)
Como \(  |f(x_{k_n})| \leq \dfrac{|f(x_0)|}{5^{k_n}}  \) tenemos que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} |f(x_{k_n})| = 0  \) además tenemos que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} |f(x_{k_n})| = |f(\lim_{n \to +\infty} x_{k_n})| =\color{red} |f(\sigma)|  \)

Lo que eso prueba es que con alguna sucesión de los    \( y\in{}[a,b] \)    es posible aproximarse por la función al cero todo lo que se desee.     No prueba que la función se anula en algún punto. ¿Porqué ha de ser cero lo que está en rojo?

¿Y es cierto en general que     \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} |f(x_{k_n})| = |f(\lim_{n \to +\infty} x_{k_n})| \)?

[Luis Fuentes]

Hola

Lo que eso prueba es que con alguna sucesión de los    \( y\in{}[a,b] \)    es posible aproximarse por la función al cero todo lo que se desee.     No prueba que la función se anula en algún punto. ¿Porqué ha de ser cero lo que está en rojo?

Si admites las igualdades anteriores, lo que está en rojo es cierto porque es igual a \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} |f(x_{k_n})|  \) que quedamos que era cero.

¿Y es cierto en general que     \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} |f(x_{k_n})| = |f(\lim_{n \to +\infty} x_{k_n})| \)?

Eso es cierto por ser \( f \) continua: el límite de la imagen de una sucesión convergente es la imagen del límite.

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Uso este hilo para no alargar.
Tienes un \( x = x_0 \in [a,b]  \) entonces \(  |f(x_0)| = C \geq 0  \) el valor inicial esta fijado y lo que dice es que para cualquier valor inicial el límite de las imagenes será cero.

[Buscón]

Tienes que \( |f(x)| = C  \) una constante , el límite es cero.

Uso este hilo para no alargar.
Tienes un \( x = x_0 \in [a,b]  \) entonces \(  |f(x_0)| = C \geq 0  \) el valor inicial esta fijado y lo que dice es que para cualquier valor inicial el límite de las imagenes será cero.

No es lo mismo    \( \big|f(x)\big|=C\rightarrow{0} \)    que    \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\big|f(x_{k_n})\big|}=0 \)    para cualquier valor inicial que se tome en   \( x\in{[0,1]} \).

Lo que se tiene recursivamente es \( 5 \cdot |f(y_k)| \leq |f(y_{k-1})|  \) o \(  5^{k-1}\cdot |f(y_k)| \leq |f(y_1)|  \)

Espera.

Sea    \( y_1\in{[a,b]} \). Entonces

\( \exists{\,y_2}\textrm{ tal que }5f(y_2)\leq{f(y_1)} \)

\( \exists{\,y_3}\textrm{ tal que }5f(y_3)\leq{f(y_2)} \)

\( \exists{\,y_4}\textrm{ tal que }5f(y_4)\leq{f(y_3)} \)

...

de donde

\( 5f(y_2)\leq{f(y_1)} \),    \( 25f(y_3)\leq{5f(y_2)} \),    \( 125f(y_4)\leq{25f(y_3)} \)...

por consiguiente

\( 5^kf(y_{k+1})\leq{5^{k-1}f(y_k)} \)

y dividiendo por     \( 5^k \)

\( 5f(y_{k+1})\leq{f(y_k)} \)    \( k=2,3,\ldots \).

Será lioso pero lo que hay que considerar es que   \( 5\big|f(y_{k+1})\big|\leq{\big|f(y_k)\big|} \),       \( (k=1,2,3,\ldots) \)    y no que     \( 5\big|f(y_{k+1})\big|\leq{\big|f(x_0)\big|} \),        \( (k=1,2,3,\ldots) \).   Son cosas muy diferentes.

Ahora, si se supiese que    \( \big|f(y_k)\big|\rightarrow{0} \)    se podría probar, por la regla del sandwich, que     \( 5\big|f(y_{k+1})\big|\rightarrow{0} \).     Aún pudiéndose probar, no veo que ello implique que la función     \( f \)    se anule en algún punto    \( c\in{[a,b]} \).    Una cosa es que    \( f \)    converja a cero y otra muy distinta que se anule en algún punto.

Con respecto al enlace que pone Luis Fuentes aqui

¿Y es cierto en general que     \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} |f(x_{k_n})| = |f(\lim_{n \to +\infty} x_{k_n})| \)?

Eso es cierto por ser \( f \) continua: el límite de la imagen de una sucesión convergente es la imagen del límite.

aplicado al caso sería: "la función     \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    es continua si, y sólo si, la imagen de la sucesión     \( y_{k_n} \)    convergente a    \( 0\in{[a,b]} \)     converge a    \( f(0) \)",    lo que resulta completamente absurdo.

En ningún caso, el hecho de que una función es continua si, y sólo si, la imagen de cualquier sucesión convergente a un punto    \( x \)    de su dominio converge a    \( f(x) \),    prueba que la función se anula en algún punto de dicho dominio.

La cita de Luis Fuentes es una definición de continuidad de una función.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Tienes que \( |f(x)| = C  \) una constante , el límite es cero.

Uso este hilo para no alargar.
Tienes un \( x = x_0 \in [a,b]  \) entonces \(  |f(x_0)| = C \geq 0  \) el valor inicial esta fijado y lo que dice es que para cualquier valor inicial el límite de las imagenes será cero.

No es lo mismo    \( \big|f(x)\big|=C\rightarrow{0} \)    que    \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\big|f(x_{k_n})\big|}=0 \)    para cualquier valor inicial que se tome en   \( x\in{[0,1]} \).

Es que nadie dice que \( \big|f(x)\big|=C\rightarrow{0} \). La respuesta de Juan Pablo:

Tienes que \( |f(x)| = C  \) una constante , el límite es cero.

era a tu pregunta:

¿No sabes que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|f(x)|}{2^{k_n}} =  0  \) ?

No, ese límite depende de cual sea la función    \( f \)    y de la tendencia de    \( x \). Y en este caso no se sabe. ¿Me equivoco mucho?

El límite que es cero al que se refiere la respuesta de Juan Pablo es del cociente marcado en rojo.

Será lioso pero lo que hay que considerar es que   \( 5\big|f(y_{k+1})\big|\leq{\big|f(y_k)\big|} \),       \( (k=1,2,3,\ldots) \)    y no que     \( 5\big|f(y_{k+1})\big|\leq{\big|f(x_0)\big|} \),        \( (k=1,2,3,\ldots) \).   Son cosas muy diferentes.

Pero es que nadie te ha puesto lo que he marcado en rojo, que te lo sacas de la manga. Lo que te dice Juan Pablo es que de:

\( 5\big|f(y_{k+1})\big|\leq{\big|f(y_k)\big|} \),       \( (k=1,2,3,\ldots) \)

se deduce:

\( \color{blue}5^k\color{black}\big|f(y_{k+1})\big|\leq{\big|f(y_1)\big|} \)

Spoiler

\( 5|f(y_2)|<|f(y_1)| \)
\( 5^2|f(y_3)|=5\cdot 5|f(y_3)|<5|f(y_2)|<|f(y_1)| \)
\( 5^3|f(y_4)|=5^2\cdot 5|f(y_4)|<5^2|f(y_3)|<|f(y_1)| \)

etcétera...

[cerrar]

Con respecto al enlace que pone Luis Fuentes aqui

¿Y es cierto en general que     \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} |f(x_{k_n})| = |f(\lim_{n \to +\infty} x_{k_n})| \)?

Eso es cierto por ser \( f \) continua: el límite de la imagen de una sucesión convergente es la imagen del límite.

aplicado al caso sería: "la función     \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    es continua si, y sólo si, la imagen de la sucesión     \( y_{k_n} \)    convergente a    \( 0\in{[a,b]} \)     converge a    \( f(0) \)",    lo que resulta completamente absurdo.

En ningún caso, el hecho de que una función es continua si, y sólo si, la imagen de cualquier sucesión convergente a un punto    \( x \)    de su dominio converge a    \( f(x) \),    prueba que la función se anula en algún punto de dicho dominio.

Mi enlace era la respuesta a una pregunta muy CONCRETA que planteaste:

¿Y es cierto en general que     \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} |f(x_{k_n})| = |f(\lim_{n \to +\infty} x_{k_n})| \)?

¿Entendiste que el enlace responde a tu pregunta? En caso negativo vuelve a preguntar concretando tus dudas al respecto.

Pero lo que no tiene sentido es que a raíz de esa respuesta a esa pregunta concreta pongas una reflexión que aparentemente no tiene nada que ver; que lo apliques a "no se qué" en vez de a la cuestión concreta que preguntas.

Es el tipo de giros que haces, que no entiendo y que no ayudan nada a clarificar las cosas. Haces preguntas concretas y después descontextualizas las respuestas aplicándolas a sitios donde no viene a cuento. Me cuesta comprender porqué.

La cita de Luis Fuentes es una definición de continuidad de una función.

Una definición y/o una caracterización. En espacios métricos es equivalente definir la continuidad con la definición clásica epsilon-delta o a través de la convergencia sucesiones y sus imágenes.

Saludos.

[Buscón]

Hola

Tienes que \( |f(x)| = C  \) una constante , el límite es cero.

Uso este hilo para no alargar.
Tienes un \( x = x_0 \in [a,b]  \) entonces \(  |f(x_0)| = C \geq 0  \) el valor inicial esta fijado y lo que dice es que para cualquier valor inicial el límite de las imagenes será cero.

No es lo mismo    \( \big|f(x)\big|=C\rightarrow{0} \)    que    \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\big|f(x_{k_n})\big|}=0 \)    para cualquier valor inicial que se tome en   \( x\in{[0,1]} \).

Es que nadie dice que \( \big|f(x)\big|=C\rightarrow{0} \). La respuesta de Juan Pablo:

Tienes que \( |f(x)| = C  \) una constante , el límite es cero.

era a tu pregunta:

¿No sabes que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|f(x)|}{2^{k_n}} =  0  \) ?

No, ese límite depende de cual sea la función    \( f \)    y de la tendencia de    \( x \). Y en este caso no se sabe. ¿Me equivoco mucho?

El límite que es cero al que se refiere la respuesta de Juan Pablo es del cociente marcado en rojo.

Ya decía yo. La interpretación que hice de ese límite en rojo es    \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|f(x)|}{2^{k_n}} =  0  \)       \( (x\in{[a,b]}) \)    ¿Quizás si hubiese puesto    \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|f(x_0)|}{2^{k_n}} =  0
 \)?    No recuerdo quien comentó hace poco que usaba muchos "chirimbolitos", me parece poco LaTeX dada la ambigüedad del lenguaje. Total, sólo cambia un subíndice de nada. 

Será lioso pero lo que hay que considerar es que   \( 5\big|f(y_{k+1})\big|\leq{\big|f(y_k)\big|} \),       \( (k=1,2,3,\ldots) \)    y no que     \( 5\big|f(y_{k+1})\big|\leq{\big|f(x_0)\big|} \),        \( (k=1,2,3,\ldots) \).   Son cosas muy diferentes.

Pero es que nadie te ha puesto lo que he marcado en rojo, que te lo sacas de la manga. Lo que te dice Juan Pablo es que de:

\( 5\big|f(y_{k+1})\big|\leq{\big|f(y_k)\big|} \),       \( (k=1,2,3,\ldots) \)

se deduce:

\( \color{blue}5^k\color{black}\big|f(y_{k+1})\big|\leq{\big|f(y_1)\big|} \)

Spoiler

\( 5|f(y_2)|<|f(y_1)| \)
\( 5^2|f(y_3)|=5\cdot 5|f(y_3)|<5|f(y_2)|<|f(y_1)| \)
\( 5^3|f(y_4)|=5^2\cdot 5|f(y_4)|<5^2|f(y_3)|<|f(y_1)| \)

etcétera...

[cerrar]

De la manga no, del lío que me monté debido al error de Juan Pablo Sancho 

¿No sabes que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|f(x)|}{2^{k_n}} =  0  \) ?

que me quedé un poco alucinado. Hasta llegué a pensar que me estaba tomando el pelo.

Mi enlace era la respuesta a una pregunta muy CONCRETA que planteaste:

¿Y es cierto en general que     \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} |f(x_{k_n})| = |f(\lim_{n \to +\infty} x_{k_n})| \)?

¿Entendiste que el enlace responde a tu pregunta? En caso negativo vuelve a preguntar concretando tus dudas al respecto.

No. El enlace que pones adaptándolo minimamente al hilo dice     \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}}\textrm{ continua }\Longleftrightarrow{\forall{\,Yn}.\;\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{Y_n}=x_0\in{[a,b]}}\Rightarrow{\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)}=f(x_0)} \)

¿Cómo se deduce de ahí que     \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{f\big(Y_n\big)}=f\big(\lim_{n \to{+}\infty}{Y_n}\big) \)?

Pero lo que no tiene sentido es que a raíz de esa respuesta a esa pregunta concreta pongas una reflexión que aparentemente no tiene nada que ver; que lo apliques a "no se qué" en vez de a la cuestión concreta que preguntas.

Es el tipo de giros que haces, que no entiendo y que no ayudan nada a clarificar las cosas. Haces preguntas concretas y después descontextualizas las respuestas aplicándolas a sitios donde no viene a cuento. Me cuesta comprender porqué.

Se debe a la ignorancia y la torpeza, fundamentalmente.

La cita de Luis Fuentes es una definición de continuidad de una función.

Una definición y/o una caracterización. En espacios métricos es equivalente definir la continuidad con la definición clásica epsilon-delta o a través de la convergencia sucesiones y sus imágenes.

Saludos.

Nada en contra.

Saludos y gracias.

[geómetracat]

Ya decía yo. La interpretación que hice de ese límite en rojo es    \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|f(x)|}{2^{k_n}} =  0  \)       \( (x\in{[a,b]}) \)    ¿Quizás si hubiese puesto    \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|f(x_0)|}{2^{k_n}} =  0
 \)?    No recuerdo quien comentó hace poco que usaba muchos "chirimbolitos", me parece poco LaTeX dada la ambigüedad del lenguaje. Total, sólo cambia un subíndice de nada. 

Pues no sé si te sirven de mucho poner más "chirimbolitos", porque lo que pones en rojo para mí es claramente verdadero. Yo lo interpreto como "para todo \( x \in [a,b] \) se tiene que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|f(x)|}{2^{k_n}} =  0  \)", lo cual es exactamente lo mismo que decir que para cada \( x \) en \( [a,b] \) fijado, tienes que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{|f(x)|}{2^{k_n}} =  0  \). Es decir, no sé ni se me ocurre qué interpretación le das tú a lo que pones en rojo.