[Luis Fuentes]

Hola

¿Para    \( y=2 \)    existe algún    \( x\in{[1,2]} \)    tal que    \( x-3\geq{5(2-3)} \)?

No puedo entenderlo. ¿De verdad has leído mis últimos mensajes?. Toma \( x=2 \) y sustituye tu mismo en la desigualdad en rojo. ¿Se cumple?.

¿Tienes claro que \( -1\geq -5 \)?.

¿Para    \( x=2 \)    existe algún    \( y\in{[1,2]} \)    tal que    \( \big|y-3\big|\leq{\dfrac{\big|2-3\big|}{5}} \)?

OJO, ahí le estás metiendo un valor absoluto. En ese caso la función que te dije NO la cumple.

Saludos.

[Buscón]

Hola

¿Para    \( y=2 \)    existe algún    \( x\in{[1,2]} \)    tal que    \( x-3\geq{5(2-3)} \)?

No puedo entenderlo. ¿De verdad has leído mis últimos mensajes?. Toma \( x=2 \) y sustituye tu mismo en la desigualdad en rojo. ¿Se cumple?.

¿Tienes claro que \( -1\geq -5 \)?.

¿Para    \( x=2 \)    existe algún    \( y\in{[1,2]} \)    tal que    \( \big|y-3\big|\leq{\dfrac{\big|2-3\big|}{5}} \)?

OJO, ahí le estás metiendo un valor absoluto. En ese caso la función que te dije NO la cumple.

Saludos.

Perdón, perdón. Me equivoqué en la condición

Si para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y)\leq{\dfrac{f(x)}{5}} \),     entonces,    para cada    \( y\in{[a,b]} \)    existe algún    \( x\in{[a,b]} \)    tal que    \( \color{red}\cancel{\color{black}f(x)\geq{5f(y)}} \)    \( 5f(x)\geq{f(y)} \).   ¿No?

Como el supuesto es para valores sólo negativos la función no alcanza el máximo.

¿Que tal ahora?

[Buscón]

No puedo entenderlo. ¿De verdad has leído mis últimos mensajes?. Toma \( x=2 \) y sustituye tu mismo en la desigualdad en rojo. ¿Se cumple?.

¿Tienes claro que \( -1\geq -5 \)?.

Es que las respuestas fueron casi simultaneas.

[Luis Fuentes]

Hola

Si para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y)\leq{\dfrac{f(x)}{5}} \),     entonces,    para cada    \( y\in{[a,b]} \)    existe algún    \( x\in{[a,b]} \)    tal que    \( \color{red}\cancel{\color{black}f(x)\geq{5f(y)}} \)    \( 5f(x)\geq{f(y)} \).   ¿No?

Como el supuesto es para valores sólo negativos la función no alcanza el máximo.

¿Que tal ahora?

Pues ahora.. veamos. Las dos condiciones que has escrito NO son equivalentes. El ejemplo que estamos manejando últimamente \( f(x)=x-3 \) con \( x\in [1,2] \) cumple la primera pero no la segunda.

Spoiler

Para evitar equívocos:

La primera es esta: Si para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y)\leq{\dfrac{f(x)}{5}} \),

La segunda es esta: para cada    \( y\in{[a,b]} \)    existe algún    \( x\in{[a,b]} \)    tal que    \( \color{red}\cancel{\color{black}f(x)\geq{5f(y)}} \)    \( 5f(x)\geq{f(y)} \).

[cerrar]

La segunda que has escrito si sería la correcta cuando \( f(x) \) toma sólo valores negativos. Cambias los papeles de \( x \) e y, lo cual no es dramático (como si les quieres llamar \( a \) y \( b \) o \( pepe \) y \( juan \)) pero se presta a confusión si uno compara con el enunciado original del ejercicio.

Saludos.