[Buscón]

Reflexiones:

Usando

    i)   Si una función    \( f \)    continua en    \( [a,b] \),    toma valores sólo positivos en    \( [a,b] \),    y verifica que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe algún    \( y\in{[a,b]} \)     tal que    \( f(y)\leq{\dfrac{f(x)}{5}} \),    entonces,    \( f \)    no alcanza el mínimo en    \( [a,b] \).    Esto contradice el Teorema de Weierstrass.

   ii)   Si una función    \( f \)    continua en    \( [a,b] \),    toma valores sólo negativos en    \( [a,b] \),    y verifica que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe algún    \( y\in{[a,b]} \)     tal que    \( f(y)\leq{\dfrac{f(x)}{5}} \),    entonces,    \( f \)    no alcanza el máximo en    \( [a,b] \).    Esto contradice el Teorema de Weierstrass.


Aquí hay una demostración     https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=96785.msg388680#msg388680


De i y ii) se deduce que la función     \( f \)    debe tomar valores positivos y negativos en    \( [a,b] \).   Bolzano garantiza que la función se anula en algún punto    \( c\in{[a,b]} \).



¿Quizás ahora si merezca un aprobado raspado?

Saludos y gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

    i)   Si una función    \( f \)    continua en    \( [a,b] \),    toma valores sólo positivos en    \( [a,b] \),    y verifica que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe algún    \( y\in{[a,b]} \)     tal que    \( f(y)\leq{\dfrac{f(x)}{5}} \),    entonces,    \( f \)    no alcanza el mínimo en    \( [a,b] \).    Esto contradice el Teorema de Weierstrass.

Bien.

   ii)   Si una función    \( f \)    continua en    \( [a,b] \),    toma valores sólo negativos en    \( [a,b] \),    y verifica que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe algún    \( y\in{[a,b]} \)     tal que    \( f(y)\leq{\dfrac{f(x)}{5}} \),    entonces,    \( f \)    no alcanza el máximo en    \( [a,b] \).    Esto contradice el Teorema de Weierstrass.

Ahí sería \( |f(y)|\leq{\dfrac{|f(x)|}{5}} \) y si estamos suponiendo que la función toma valores negativos quitando el valor absoluto queda:

\( -f(y)\leq{\dfrac{-f(x)}{5}} \) ó equivalentemente \( f(y)\geq{\dfrac{f(x)}{5}} \)

Aquí hay una demostración     https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=96785.msg388680#msg388680


De i y ii) se deduce que la función     \( f \)    debe tomar valores positivos y negativos en    \( [a,b] \).   Bolzano garantiza que la función se anula en algún punto    \( c\in{[a,b]} \).

Bien.

Saludos.

[Buscón]

ii)   Si una función    \( f \)    continua en    \( [a,b] \),    toma valores sólo negativos en    \( [a,b] \),    y verifica que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe algún    \( y\in{[a,b]} \)     tal que    \( f(y)\leq{\dfrac{f(x)}{5}} \),    entonces,    \( f \)    no alcanza el máximo en    \( [a,b] \).    Esto contradice el Teorema de Weierstrass.

Ahí sería \( |f(y)|\leq{\dfrac{|f(x)|}{5}} \) y si estamos suponiendo que la función toma valores negativos quitando el valor absoluto queda:

\( -f(y)\leq{\dfrac{-f(x)}{5}} \) ó equivalentemente \( f(y)\geq{\dfrac{f(x)}{5}} \)

Si para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y)\leq{\dfrac{f(x)}{5}} \),     entonces,    para cada    \( y\in{[a,b]} \)    existe algún    \( x\in{[a,b]} \)    tal que    \( \color{red}\cancel{\color{black}f(x)\geq{5f(y)}} \)    \( 5f(x)\geq{f(y)} \).   ¿No?

Como el supuesto es para valores sólo negativos la función no alcanza el máximo.

CORREGIDO.

[Luis Fuentes]

Hola

 ¡No te líes!. El enunciado del problema es con valor absoluto. Quítalo correctamente usando que supones que la función es negativa y fuera problemas.

Si para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y)\leq{\dfrac{f(x)}{5}} \),     entonces,    para cada    \( y\in{[a,b]} \)    existe algún    \( x\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(x)\geq{5f(y)} \).   ¿No?

Veamos. Esas dos condiciones en general no son equivalentes. Por ejemplo la función \( f(x)=x \) en \( [0,1] \) cumple la primera pero no la segunda.

Si la función sólo toma valores negativos entonces las dos condiciones se cumplen siempre trivialmente sin más que tomar \( x=y \). Pero cualquiera de las dos, como te dije, no es la condición que aparece en el enunciado del ejercicio y no garantiza que la función se anule.

Por ejemplo la  función \( f(x)=x-3 \) en \( [1,2] \) cumple esas condiciones pero no se anula.

Entonces, recapitulo: la corrección que te hice es muy simple. Manipular correctamente el valor absoluto que aparece en la desigualdad del enunciado.

Si te apetece darle vueltas por otro sitio, hazlo; pero justifica en detalle cada paso. No digo ya aquí, sino a ti mismo. Si lo haces estoy seguro que detectarás tus propios errores.

Saludos.

[Buscón]

Por ejemplo la  función \( f(x)=x-3 \) en \( [1,2] \) cumple esas condiciones pero no se anula.

Hay una que no cumple. Para    \( y=2 \)    no existe ningún    \( x\in{[1,2]} \)    tal que    \( f(x)\geq{}5f(2) \).    Precisamente porque toma valores sólo negativos en    \( [1,2] \)    y no se anula en    \( [1,2] \).

Saludos.

[Buscón]

Si la función sólo toma valores negativos entonces las dos condiciones se cumplen siempre trivialmente sin más que tomar \( x=y \).

La condición del enunciado sólo se cumple si la función se anula en    \( x=y \).

Por ejemplo la función    \( f(x)=0 \)    en cualquier intervalo    \( [a,b] \)    si verifica la condición del enunciado.

[Luis Fuentes]

Hola

Por ejemplo la  función \( f(x)=x-3 \) en \( [1,2] \) cumple esas condiciones pero no se anula.

Hay una que no cumple. Para    \( y=2 \)    no existe ningún    \( x\in{[1,2]} \)    tal que    \( f(x)\geq{}5f(2) \).    Precisamente porque no se anula en    \( [1,2] \).

Vaya por delante que me refiero a la condición que tu has escrito; que NO es la del enunciado.

Me refiero a cualquiera de estas dos:

Si para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y)\leq{\dfrac{f(x)}{5}} \),     entonces,    para cada    \( y\in{[a,b]} \)    existe algún    \( x\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(x)\geq{5f(y)} \).   ¿No?

Entonces la función \( f(x)=x-3 \) en \( [1,\color{red}2\color{black}] \) cumple ambas. Si \( y=2 \), tomando \( x=2 \) tienes que:

\( f(x)=2-3=-1\geq -5=5\cdot (-1)=5f(y) \)

Saludos.

CORREGIDO

[Buscón]

Por ejemplo la  función \( f(x)=x-3 \) en \( [1,2] \) cumple esas condiciones pero no se anula.

Entonces la función \( f(x)=x-3 \) en \( [1,3] \) cumple ambas. Si \( y=2 \), tomando \( x=2 \) tienes que:

¿\( [1,2] \)    ó    \( [1,3] \)?


Considerando valores sólo negativos.

En     \( [1,3] \)    si verifica la condición     \( f(3)\geq{5f(3)} \)     porque precisamente se anula en    \( x=3 \).    En    \( [1,2] \),    para     \( x=2 \),    no verifica ni la condición del enunciado ni la considerada equivalente porque no se anula en ningún punto de    \( [1,2] \).

Hay que tener en cuenta que la condición "para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que   \( \big|y-3\big|\leq{\dfrac{\big|x-3\big|}{5}} \)"    se verifica en    \( [1,3] \)    pero no en    \( [1,2] \).

Es lo mismo.

[Luis Fuentes]

Hola

En     \( [1,3] \)    si verifica la condición     \( f(3)\geq{5f(3)} \)     porque precisamente se anula en    \( x=3 \).    En    \( [1,2] \),    para     \( x=2 \),    no verifica ni la condición del enunciado ni la que considerada equivalente porque no se anula en ningún punto.

Disculpa la errata; es \( [1,2] \).

Más allá de esto sinceramente creo que te precipitas en responder y no lees en detalle las propuestas.

Dices:

En    \( [1,2] \),    para     \( x=2 \),    no verifica ni la condición del enunciado ni la que considerada equivalente porque no se anula en ningún punto.

Desde luego, LA CONDICIÓN DEL ENUNCIADO NO LA CUMPLE en eso ESTAMOS DE ACUERDO y por tanto una equivalente tampoco.

Pero es que te acabo de indicar que tu estás escribiendo una condición que NO EQUIVALE a la del enunciado. Ves, te lo digo aquí:

Veamos. Esas dos condiciones en general no son equivalentes. Por ejemplo la función \( f(x)=x \) en \( [0,1] \) cumple la primera pero no la segunda.

Si la función sólo toma valores negativos entonces las dos condiciones se cumplen siempre trivialmente sin más que tomar \( x=y \). Pero cualquiera de las dos, como te dije, no es la condición que aparece en el enunciado del ejercicio y no garantiza que la función se anule.

 Y te lo vuelvo a decir aquí:

Vaya por delante que me refiero a la condición que tu has escrito; que NO es la del enunciado.

Me refiero a cualquiera de estas dos:

Si para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y)\leq{\dfrac{f(x)}{5}} \),     entonces,    para cada    \( y\in{[a,b]} \)    existe algún    \( x\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(x)\geq{5f(y)} \).   ¿No?

Y luego aquí te detallo con cuentas porque para \( x=2 \) SI SE CUMPLE las condiciones que TU escribiste (y que NO SON EQUIVALENTES a las del enunciado):

Entonces la función \( f(x)=x-3 \) en \( [1,\color{red}2\color{black}] \) cumple ambas. Si \( y=2 \), tomando \( x=2 \) tienes que:

\( f(x)=2-3=-1\geq -5=5\cdot (-1)=5f(y) \)

Entonces, ¿no ves en esa cuentas que tu decías que tus condiciones (distintas a las del enunciado) no se cumplen para \( y=2 \) y en realidad si se cumplen?.

Saludos.

[Buscón]

Entonces, ¿no ves en esa cuentas que tu decías que tus condiciones (distintas a las del enunciado) no se cumplen para \( y=2 \) y en realidad si se cumplen?.

Eh?

¿Para    \( y=2 \)    existe algún    \( x\in{[1,2]} \)    tal que    \( x-3\geq{5(2-3)} \)? Si

¿Para    \( x=2 \)    existe algún    \( y\in{[1,2]} \)    tal que    \( \big|y-3\big|\leq{\dfrac{\big|2-3\big|}{5}} \)?

CORREGIDO.