[Luis Fuentes]

Hola

Sólo queda poner la demostración que hice en el hilo enlazado,que es directa no por contradicción , por ejemplo una función que verifica lo citado es \( f(x) = x^2  \) en \( [-1,1]  \).

Pero en   \( [2,3] \)   también verifica lo citado y no se anula.

A estas alturas de la película uno ya no sabe a que te refieres con "lo citado". Concrétalo con pelos y señales.

Si. Eso es por que    \( 0^2=0 \).   Esto es, cualquier función continua que se anula en algún punto, se anula en algún punto. Pero hay que probarlo para una función definida en un intervalo cualquiera    \( [a,b] \).     No tiene que estar el cero necesariamente en el dominio.

Que el cero esté en el domino no tiene nada que ver en todo esto. El ejemplo de \( x^2 \) en \( [-1,1] \) se puedes trasladar a \( (x-2)^2 \) en \( [1,3] \) con exactamente las mismas características.

No se pueden poner como ejemplo funciones que a priori se anulan en algún punto para probar que lo hacen. ¿No?

No se exactamente de qué estas hablando, ahí. Concreta de que ejemplos hablas, es decir para que se supone que estamos escogiendo tal o cual ejemplo. ¿Ejemplo de qué comportamiento? ¿Bajo qué condiciones?.

El razonamiento ahora es más sencillo.

Suponiendo valores sólo positivos la función     \( f \)    debe verificar    \( f(y_n)\leq{\dfrac{f(y_1)}{5^n}} \)    para lo cual necesita anularse para algún    \( n=1,2,3,\ldots \),    o lo que es lo mismo, alcanzar el mínimo, (Weierstrass).

No, no necesita anularse para algún \( n \). Eso está mal. Es la enésima vez que repites lo mismo. Es lo que tiene un hilo tan largo: razonamientos en bucle. Vuelve a la respuesta #124:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=102913.msg452755#msg452755

Saludos.

[Buscón]

Si. Eso es por que    \( 0^2=0 \).   Esto es, cualquier función continua que se anula en algún punto, se anula en algún punto. Pero hay que probarlo para una función definida en un intervalo cualquiera    \( [a,b] \).     No tiene que estar el cero necesariamente en el dominio.

Que el cero esté en el domino no tiene nada que ver en todo esto. El ejemplo de \( x^2 \) en \( [-1,1] \) se puedes trasladar a \( (x-2)^2 \) en \( [1,3] \) con exactamente las mismas características.

En este caso está el 2 en el dominio que es el que anula la función.

No se pueden poner como ejemplo funciones que a priori se anulan en algún punto para probar que lo hacen. ¿No?

No se exactamente de qué estas hablando, ahí. Concreta de que ejemplos hablas, es decir para que se supone que estamos escogiendo tal o cual ejemplo. ¿Ejemplo de qué comportamiento? ¿Bajo qué condiciones?.

Cualquiera de los que salen en el hilo. Todas se anulan en un punto.

El razonamiento ahora es más sencillo.

Suponiendo valores sólo positivos la función     \( f \)    debe verificar    \( f(y_n)\leq{\dfrac{f(y_1)}{5^n}} \)    para lo cual necesita anularse para algún    \( n=1,2,3,\ldots \),    o lo que es lo mismo, alcanzar el mínimo, (Weierstrass).

No, no necesita anularse para algún \( n \). Eso está mal. Es la enésima vez que repites lo mismo. Es lo que tiene un hilo tan largo: razonamientos en bucle. Vuelve a la respuesta #124:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=102913.msg452755#msg452755

Saludos.

Si no se anula no puede verificar la condición del enunciado.

Es mucho mejor poner un ejemplo de función continua, no negativa en un compacto    \( [a,b] \),    que verifique que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe un    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y)\leq{\dfrac{f(x)}{5}} \),    y que no se anule.

No se me ocurre ninguna. 

[Luis Fuentes]

Hola

Cualquiera de los que salen en el hilo. Todas se anulan en un punto.

No me refiero a eso. Si en un momento dado yo (u otro usuario) te puso un ejemplo con una función, fue para ilustrarte una determinada idea. Pero 150 mensaje después si pones simplemente el ejemplo suelto es muy difícil saber que idea quería ilustrate con ese ejemplo. Entonces para evitar equívocos precisa que es lo que pretende ilustrar el ejemplo que estás buscando.

El 95% de tus dudas son porque pierdes precisión en lo que estás hablando, no lo concretas.

El razonamiento ahora es más sencillo.

Suponiendo valores sólo positivos la función     \( f \)    debe verificar    \( f(y_n)\leq{\dfrac{f(y_1)}{5^n}} \)    para lo cual necesita anularse para algún    \( n=1,2,3,\ldots \),    o lo que es lo mismo, alcanzar el mínimo, (Weierstrass).

No, no necesita anularse para algún \( n \). Eso está mal. Es la enésima vez que repites lo mismo. Es lo que tiene un hilo tan largo: razonamientos en bucle. Vuelve a la respuesta #124:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=102913.msg452755#msg452755

Saludos.

Si no se anula no puede verificar la condición del enunciado.

No has vuelto a leer los mensajes que te indiqué; en otro caso no repetirías las misma duda. Así podemos estar cíclicamente hasta el fin de los tiempos.

Estás mezclando que se anule la función (lo cual es cierto bajo las hipótesis que manejas), con que se anule la función para algún \( n=1,2,3,\dots \) (que es lo que tu escribiste, marcado en rojo), que NO tiene porque ser cierto.

Es mucho mejor poner un ejemplo de función continua, no negativa en un compacto    \( [a,b] \),    que verifique que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    existe un    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y)\leq{\dfrac{f(x)}{5}} \),    y que no se anule.

¡Cómo vas a poder poner un ejemplo de eso, si el ejercicio manda probar que una función en esas condiciones siempre se anula!. ¡No existe tal ejemplo!.

Ahora intenta leer los detalles. Lo repito una vez más; lo que está mal es cuando afirmas:

Suponiendo valores sólo positivos la función     \( f \)    debe verificar    \( f(y_n)\leq{\dfrac{f(y_1)}{5^n}} \)    para lo cual necesita anularse para algún    \( n=1,2,3,\ldots \),    o lo que es lo mismo, alcanzar el mínimo, (Weierstrass).

Y deberías de volver a leer lo que te indiqué donde geómetracat te explica porque está mal y te pone un ejemplo donde no se cumple eso.

Saludos.

[Buscón]

Pero la cuestión es la siguiente. Imagina de nuevo la función \( f(x)=x \) definida en \( [0,1] \). Ahora toma como punto inicial de la sucesión \( y_1=1 \). Podemos tomar por ejemplo \( y_2=1/5 \) que cumple \( f(y_2) \leq 2/10 f(y_1) \), y siguiendo así podemos tomar la sucesión \( y_k = 1/5^k \). Pero la función no alcanza ningún mínimo sobre los puntos de la sucesión, y eso no contradice para nada al teorema de Weierstrass (porque el conjunto de puntos de la sucesión no es un compacto).

La función tiene una sucesión convergente a cero en el compacto    \( [0,1] \),    por ser continua en él, debe anularse.

Si no lo hiciese, para    \( x=0 \)    no existiría ningún    \( y\in{[0,1]} \)    tal que    \( f(y)\leq{\dfrac{f(0)}{5}} \)

[Luis Fuentes]

Hola

Pero la cuestión es la siguiente. Imagina de nuevo la función \( f(x)=x \) definida en \( [0,1] \). Ahora toma como punto inicial de la sucesión \( y_1=1 \). Podemos tomar por ejemplo \( y_2=1/5 \) que cumple \( f(y_2) \leq 2/10 f(y_1) \), y siguiendo así podemos tomar la sucesión \( y_k = 1/5^k \). Pero la función no alcanza ningún mínimo sobre los puntos de la sucesión, y eso no contradice para nada al teorema de Weierstrass (porque el conjunto de puntos de la sucesión no es un compacto).

La función tiene una sucesión convergente a cero en el compacto    \( [0,1] \),    por ser continua en él, debe anularse.

Si por "debe anularse" te refieres a que la función debe de anularse para algún \( x\in [0,1] \), de acuerdo. Nadie dice lo contrario.

Lo que está mal (tercera vez que lo repito hoy) es:

Suponiendo valores sólo positivos la función     \( f \)    debe verificar    \( f(y_n)\leq{\dfrac{f(y_1)}{5^n}} \)  para lo cual necesita anularse para algún    \( n=1,2,3,\ldots \),    o lo que es lo mismo, alcanzar el mínimo, (Weierstrass).

En el ejemplo de geométracat la sucesión \( y_n=\dfrac{1}{5^n} \) cumple \( f(y_n)\leq{\dfrac{f(y_1)}{5^n}} \), pero NO EXISTE \( n\in \Bbb N \) tal que \( f(y_n)=0. \)

Es decir es cierto que la función se anula, pero NO es cierto que la función se anule en un punto de la sucesión que es lo que tu afirmas en rojo.

Saludos.

[Buscón]

Hola

Pero la cuestión es la siguiente. Imagina de nuevo la función \( f(x)=x \) definida en \( [0,1] \). Ahora toma como punto inicial de la sucesión \( y_1=1 \). Podemos tomar por ejemplo \( y_2=1/5 \) que cumple \( f(y_2) \leq 2/10 f(y_1) \), y siguiendo así podemos tomar la sucesión \( y_k = 1/5^k \). Pero la función no alcanza ningún mínimo sobre los puntos de la sucesión, y eso no contradice para nada al teorema de Weierstrass (porque el conjunto de puntos de la sucesión no es un compacto).

La función tiene una sucesión convergente a cero en el compacto    \( [0,1] \),    por ser continua en él, debe anularse.

Si por "debe anularse" te refieres a que la función debe de anularse para algún \( x\in [0,1] \), de acuerdo. Nadie dice lo contrario.

Lo que está mal (tercera vez que lo repito hoy) es:

Suponiendo valores sólo positivos la función     \( f \)    debe verificar    \( f(y_n)\leq{\dfrac{f(y_1)}{5^n}} \)  para lo cual necesita anularse para algún    \( n=1,2,3,\ldots \),    o lo que es lo mismo, alcanzar el mínimo, (Weierstrass).

En el ejemplo de geométracat la sucesión \( y_n=\dfrac{1}{5^n} \) cumple \( f(y_n)\leq{\dfrac{f(y_1)}{5^n}} \), pero NO EXISTE \( n\in \Bbb N \) tal que \( f(y_n)=0. \)

Es decir es cierto que la función se anula, pero NO es cierto que la función se anule en un punto de la sucesión que es lo que tu afirmas en rojo.

Saludos.

Ya, debe anularse para algún     \( y\in{[0,1]} \)    por ser continua en el compacto y tener una sucesión convergente a cero. ¿No?   

Es decir, ha de ser continua en algún    \( y\in{[0,1]} \),    (en este caso    \( y=0 \)),    donde la función debe anularse por tener una sucesión convergente a cero. ¿No?

[Luis Fuentes]

Hola

Ya, debe anularse para algún     \( y\in{[0,1]} \)    por ser continua en el compacto y tener una sucesión convergente a cero. ¿No?   

Si, pero dilo con precisión. Existir una sucesión cuyas imágenes convergen a cero.

Es decir, ha de ser continua en algún    \( y\in{[0,1]} \),    (en este caso    \( y=0 \)),    donde la función debe anularse por tener una sucesión convergente a cero. ¿No?

Continua es en todo punto de su dominio por hipótesis. Entonces no viene muy a cuento decir "ha de ser continua en algún    \( y\in{[0,1]} \)".

Una vez más, de manera precisa, el hecho de existir una sucesión cuyas imágenes convergen a cero, ser continua y estar definida en un compacto permite deducir que la función se anula en un punto. El precisar más el porqué se ha hecho por activa y por pasiva en este y otros hilos; no tiene sentido repetirlo una y otra vez: se puede razonar por sucesiones como Juan Pablo o por el Teorema de Weierstrass como delmar y martiniano.

Saludos.

[Buscón]

Es decir, ha de ser continua en algún    \( y\in{[0,1]} \),    (en este caso    \( y=0 \)),    donde la función debe anularse por tener una sucesión convergente a cero. ¿No?

Continua es en todo punto de su dominio por hipótesis. Entonces no viene muy a cuento decir "ha de ser continua en algún    \( y\in{[0,1]} \)".

Ha de ser continua en un punto    \( y\in{[0,1]} \)    en el cual la función se anula.

Es que si una función continua en un compacto que cumpla la condición del enunciado, que sólo tome valores positivos y que no se anule, no puede alcanzar el mínimo.

No entiendo porque no se entiende esto. Valga la redundancia.

La función tiene una sucesión decreciente y convergente a cero. Si no se anulase no podría ser continua en     \( [0,1] \),    en este caso. (Weierstrass)

Saludos.


EDITADO

Me gusta más como ejemplo la función    \( (x-1)^3 \)    en    \( [0,2] \),    o    \( x^3 \)    en    \( [-1,1] \),    o mejor aún    \( x^3 \)    en    \( [a,b] \)

[Luis Fuentes]

Hola

Ha de ser continua en un punto    \( y\in{[0,1]} \)    en el cual la función se anula.

Es que si una función continua en un compacto que cumpla la condición del enunciado, que sólo tome valores positivos y que no se anule, no puede alcanzar el mínimo.

No entiendo porque no se entiende esto. Valga la redundancia.

Todo eso es cierto; pero nada que ver con lo que yo te criticaba. Lo que quiero decir es que la frase "ha de ser continua en un punto" no viene a cuento; no aporta nada. Es una mala redacción. La función es continua por hipótesis en todo el intervalo. Destacar que es continua en el punto donde se anula, así dicho no viene a nada. Pero da igual, si te hace ilusión redactarlo así, déjalo.

La función tiene una sucesión decreciente y convergente a cero.

Insisto: si no te expresas con precisión no avanzarás. Fíjate que todo el problema de este hilo está en los detalles. La idea de porque el resultado es cierto la has explicado bien alguna vez; cometes errores al precisarla.

Spoiler

Como aquí:

Suponiendo valores sólo positivos la función     \( f \)    debe verificar    \( f(y_n)\leq{\dfrac{f(y_1)}{5^n}} \)  para lo cual necesita anularse para algún    \( n=1,2,3,\ldots \),    o lo que es lo mismo, alcanzar el mínimo, (Weierstrass).

[cerrar]

Entonces decir "la función tiene una sucesión decreciente y convergente a cero" es impreciso. Decir "hay una sucesión el dominio cuyas imágenes forman una sucesión decreciente y convergente a cero, es preciso".

Ya, debe anularse para algún     \( y\in{[0,1]} \)    por ser continua en el compacto y tener una sucesión convergente a cero. ¿No?   

Si. Aunque a lo largo del hilo tu problema ha sido que cuando intentas precisar porque eso es así, como justificar ese "debe" terminas por cometer algún error.

Es decir, ha de ser continua en algún    \( y\in{[0,1]} \),    (en este caso    \( y=0 \)),    donde la función debe anularse por tener una sucesión convergente a cero. ¿No?

No. Una vez más no tiene sentido la frase "ha de ser continua en algún    \( y\in{[0,1]} \)". Si en las hipótesis no se tuviese que es continua en todo punto, de lo anterior no se deduciría continuidad en punto alguno (que es lo que parece que das a entender con esa frase). Así que esa frase es como mínimo innecesaria e incluso confusa. Si es cierto que la función por se continua en un compacto y existir una sucesión cuyas imágenes convergen a cero, debe de anularse en un punto.

Si no se anulase no podría ser continua en     \( [0,1] \),    en este caso. (Weierstrass)

Está afirmación es cierta en el siguiente sentido; si no se anulase y tuviéramos garantizadas todas las hipótesis menos la continuidad, no podría ser continua.

En fin: sinceramente no se a donde quieres ir a parar con este hilo. Te empeñas en hacer razonamientos vagos (imprecisos), en lugar de seguir (aunque los rehagas a tu manera) los de Juan Pablo o delmar (y martiniano) que son esencialmente las dos formas de enfocar el problema (independientemente que luego se redacte así o asá).

Saludos.

[Buscón]

En fin: sinceramente no se a donde quieres ir a parar con este hilo. Te empeñas en hacer razonamientos vagos (imprecisos), en lugar de seguir (aunque los rehagas a tu manera) los de Juan Pablo o delmar (y martiniano) que son esencialmente las dos formas de enfocar el problema (independientemente que luego se redacte así o asá).

A demostrarlo usando dos teoremas. Weierstrass y Bolzano. Es otro enfoque.