[Luis Fuentes]

Hola

La función en este caso es continua por hipótesis. La sucesión    \( \big|f(y_n)\big| \)   converge a cero,    \( y_n\subset{[a,b]} \)    y    \( [a,b] \)    es compacto.

Suponer ahora que    \( \big|f(y_n)\big|\neq 0 \),    \( (n\in{\mathbb{N}}) \),    ¿no contradice el Teorema de Weierstrass?

Pues cierto que la existencia de esa sucesión de imágenes convergente a cero junto con el hecho de que la función no se anule en NINGÚN punto, hace que no exista mínimo y contradice el Teorema de Weierstrass. Pero tienes que detallar correctamente al argumento.

Tu dices: "ahora que    \( \big|f(y_n)\big|\neq 0 \),    \( (n\in{\mathbb{N}}) \)" como si eso fuera decisivo o suficiente para la contradicción. Pero no lo es. La clave es la convergencia a cero de esa sucesión y que  la función no se anule en NINGÚN punto (no sólo que no se anule en los puntos de la sucesión).

Por ejemplo

Como \( \big|f(y_n)\big|\to 0 \) dado cualquier \( M>0 \) existe \( n_0 \) tal que \( |f(y_n)|<M \) por tanto el mínimo \( M \), si existe, no puede ser mayor que cero. Como la función es no negativa el mínimo si existe debería de ser cero; pero hemos supuesto que la función no toma el valor cero en ingún punto. Por tanto no existe el mínimo. Eso contradice el Teorema de Weierstrass.

[cerrar]

Saludos.

[Buscón]

Tu dices: "ahora que    \( \big|f(y_n)\big|\neq 0 \),    \( (n\in{\mathbb{N}}) \)" como si eso fuera decisivo o suficiente para la contradicción. Pero no lo es. La clave es la convergencia a cero de esa sucesión y que  la función no se anule en NINGÚN punto (no sólo que no se anule en los puntos de la sucesión).

¿Eso y que la función es continua en    \( [a,b] \),    (y por lo tanto debe existir un     \( x_0\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(x_0)=0 \)),    no es suficiente?


EDITADO.

A, vale, vale. Estoy confundiendo    \( \big|f(y_n)\big|\neq 0 \)    para todo    \( n\in{\mathbb{N}} \)    con    \( \big|f(x)\big|\neq 0 \)    para todo    \( x\in{[a,b]} \)

[Luis Fuentes]

Hola

Tu dices: "ahora que    \( \big|f(y_n)\big|\neq 0 \),    \( (n\in{\mathbb{N}}) \)" como si eso fuera decisivo o suficiente para la contradicción. Pero no lo es. La clave es la convergencia a cero de esa sucesión y que  la función no se anule en NINGÚN punto (no sólo que no se anule en los puntos de la sucesión).

¿Eso y que la función es continua en    \( [a,b] \),    (y por lo tanto debe existir un     \( x_0\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(x_0)=0 \)),    no es suficiente?

Intenta ser muy preciso en como te expresas. Como ves en mi SPOILER de todo lo que has razonado es muy fácil llegar a una posible demostración correcta (habría otras formas de argumentar), pero insisto, tienes que detallar exactamente como terminas el razonamiento.

Si por "eso" te refieres a que \( \big|f(y_n)\big|\neq 0 \),    \( (n\in{\mathbb{N}}) \), no, no es suficiente. Por ejemplo si \( f(x)=1 \) constante, pues en cualquier sucesión no se anula, es continua, tiene mínimo y no contradice nada. ¡Claro qué eso no cumple que la convergencia de la sucesión \( f(y_n) \) es a cero!. Pero entonces es ESO lo decisivo y NO que \( \big|f(y_n)\big|\neq 0 \),    \( (n\in{\mathbb{N}}) \).

Por otro lado es cierto que "y por lo tanto debe existir un     \( x_0\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(x_0)=0 \)" pero una vez más debes de explicar exactamente porqué debe de ocurrir eso. El motivo es el que se detalló en la prueba de Juan Pablo:

4) Por el Teorema (C) la sucesión \( \{y_n\} \) contenida en el compacto \( [a,b] \) tiene una subsucesión convergente \( a \) un punto de \( [a,b], \{y_{n_k}\}\to \sigma\in [a,b] \).

5) Por el Teorema (A) la subsucesión \( \{f(y_{n_k})\} \) de \( \{f(y_n)\} \) converge al mismo límite que ésta, es decir, a cero.

6) Por el Teorema (B) y por el paso (4), como \( f \) es continua y \( \{y_{n_k}\}\to \sigma \), deducimos que \( \{f(y_{n_k})\} \) converge a \( f(\sigma) \) con \( \sigma\in [a,b] \).

7) Por (6) tenemos que \( \{f(y_{n_k})\}\to f(\sigma) \) y por 5) que \( \{f(y_{n_k})\}\to 0 \). Por el Teorema (D), como el límite de una sucesión si existe es único, de deduce que \( f(\sigma)=0 \) y por tanto la función se anula en \( \sigma\in [a,b]. \)

Saludos.

[Buscón]

Dándoles más vueltas.

Sea    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    continua.

Si existe     \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}\subset{[a,b]} \)    tal que    \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{f(y_n)}=0 \)    entonces ¿existe un punto    \( x_0\in{[a,b]} \)    en el que la función    \( f \)    es continua y por lo tanto    \( f(x_0)=0 \)?         

[martiniano]

Hola.

Sea    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    continua.

Si existe     \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}\subset{[a,b]} \)    tal que    \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{f(y_n)}=0 \)    entonces ¿existe un punto    \( x_0\in{[a,b]} \)    en el que la función    \( f \)    es continua y por lo tanto    \( f(x_0)=0 \)?         

Pues me chirría un poco la frase. Diría que no tienes muy claro qué cosa implica qué otra.

Por un lado parece que dices que existe \( x_0\in{[a, b] } \) en el que \( f \) es continua porque existe una sucesión de imágenes que tiende a cero. Y realmente ese \( x_0 \) existe porque \( f \) es continua en todo \( [a, b]  \).

Por otro lado, parece que crees que \( f \) se anula en "el punto" en el que es continua. Cuando lo que pasa es que existe un \[ x_0 \] en el que \[ f \] se anula porque \( f \) es continua en un compacto y existe una sucesión de imágenes que tiende a cero. Ésa es precisamente la idea de la demostración de Juan Pablo.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Como dice martiniano es confuso como lo expresas:

Sea    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    continua.

Si existe     \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}\subset{[a,b]} \)    tal que    \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{f(y_n)}=0 \)    entonces ¿existe un punto    \( x_0\in{[a,b]} \)    en el que la función    \( f \)    es continua y por lo tanto    \( f(x_0)=0 \)?         

Pareciera que la continuidad en \( x_0 \) es excepcional cuando la continuidad en todo punto es parte de tus hipóteis. Pareciera que afirmas que \( f(x_0)=0 \) porque la función \( f \) es continua en \( x_0 \).

Entonces lo correcto sería:

Sea    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    continua.

Si existe     \( \{y_n\}_{n=1}^{+\infty}\subset{[a,b]} \)    tal que    \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{f(y_n)}=0 \)  entonces existe un punto    \( x_0\in{[a,b]} \)    en el que  \( f(x_0)=0 \).

Y la demostración de nuevo los (4) pasos de la idea de Juan Pablo que te indiqué antes.

Saludos.

[Buscón]

Sólo queda poner la demostración que hice en el hilo enlazado,que es directa no por contradicción , por ejemplo una función que verifica lo citado es \( f(x) = x^2  \) en \( [-1,1]  \).

Pero en   \( [2,3] \)   también verifica lo citado y no se anula.

[martiniano]

Hola

Sólo queda poner la demostración que hice en el hilo enlazado,que es directa no por contradicción , por ejemplo una función que verifica lo citado es \( f(x) = x^2  \) en \( [-1,1]  \).

Pero en   \( [2,3] \)   también verifica lo citado y no se anula.

No. \[ f(x) =x^2 \] no cumple todas las condiciones del enunciado en \( [2,3] \). Concretamente no existe \( y\in{[2,3]} \) tal que \( f(y) \leq{f(2)/5} \). Luego no tiene por qué anularse.

Un saludo.

[Buscón]

Hola

Sólo queda poner la demostración que hice en el hilo enlazado,que es directa no por contradicción , por ejemplo una función que verifica lo citado es \( f(x) = x^2  \) en \( [-1,1]  \).

Pero en   \( [2,3] \)   también verifica lo citado y no se anula.

No. \[ f(x) =x^2 \] no cumple todas las condiciones del enunciado en \( [2,3] \). Concretamente no existe \( y\in{[2,3]} \) tal que \( f(y) \leq{f(2)/5} \). Luego no tiene por qué anularse.

Un saludo.

Si. Eso es por que    \( 0^2=0 \).   Esto es, cualquier función continua que se anula en algún punto, se anula en algún punto. Pero hay que probarlo para una función definida en un intervalo cualquiera    \( [a,b] \).     No tiene que estar el cero necesariamente en el dominio.

No se pueden poner como ejemplo funciones que a priori se anulan en algún punto para probar que lo hacen. ¿No?

O aún mejor, si la función no se anula en ningún punto no puede verificar la condición. ¿No?

[Buscón]

El razonamiento ahora es más sencillo.

Suponiendo valores sólo positivos la función     \( f \)    debe verificar    \( f(y_n)\leq{\dfrac{f(y_1)}{5^n}} \)    para lo cual necesita anularse para algún    \( n=1,2,3,\ldots \),    o lo que es lo mismo, alcanzar el mínimo, (Weierstrass).

El razonamiento es análogo suponiendo valores sólo negativos con respecto al máximo, luego por Bolzano...