[Pie]

Yo hace tiempo que me he perdido, si se impone que \( x \neq y \) entonces se impone que \(  f(x) \neq 0 \) y ya no hay nada que ver o demostrar respecto al enunciado original no? (simplemente ninguna función podría anularse).

Saludos.

[Buscón]

Yo hace tiempo que me he perdido, si se impone que \( x \neq y \) entonces se impone que \(  f(x) \neq 0 \) y ya no hay nada que ver o demostrar respecto al enunciado original no? (simplemente ninguna función podría anularse).

Saludos.

Si se supone    \( f(x)>0 \),    (o    \( x\neq y \)),   para todo    \( x\in{[a,b]} \),    como la función debe cumplir la condición     \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(y)\big|} \),   al considerar que sólo toma valores positivos, la función no alcanza el mínimo absoluto siendo continua en un intervalo cerrado y acotado, (compacto), lo que contradice el Teorema de Weierstrass.

Análogo para el máximo absoluto si se considera que sólo toma valores negativos. Entonces, por fuerza, debe tomar valores positivos y negativos, y en ese caso el Teorema de Bolzano garantiza que se anula en algún punto

[Buscón]

Se trata de  probar:
Sea    \( f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    continua. Supongamos que:

 para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que \( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{1}{5}\Big|f(x)\Big|} \). (H)

Entonces   \( f \)    se anula en algún punto de    \( [a,b] \).

Lo demostraré por reducción al absurdo. Supongamos que el enunciado es falso y que por tanto existe una función \( f(x)  \) que cumple las condiciones del enunciado pero que no se anula en \( [a, b] \). Si \( f(x)  \) es continua en \( [a, b]  \) también lo es \( |f(x) | \) y por el teorema de Weierstrass ésta debe alcanzar su mínimo en \( [a, b]  \). Supongamos que el mínimo se da en \( m\in{[a, b] } \). Como \( f(x)  \) no se anula tampoco lo hace \( |f(x) | \) y deberá ser \( |f(m) |>0 \). Pero por una de las condiciones del enunciado existe \( y \) tal que \( |f(y) |\leq{}\frac{|f(m) |}{5}<|f(m)| \) con lo que el mínimo no estaría en \( x=m \) y eso es absurdo.

Hola

 Si, es otra opción. Es la que había apuntado aquí delmar en el problema análogo:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=96785.msg388680#msg388680

Una forma, sin utilizar sucesiones,  es por reducción al absurdo. Se supone la existencia de una función f, que cumple la hipótesis; pero tal que \( NO \ \exists{c\in{[0,1]}} \ tal \ que \ f(c)=0 \) esto equivale a que \( f(x)\neq{0} \ \forall{x\in{[0,1]}} \)

Estudiando a esta función necesariamente se llega a un absurdo

La función f, no puede tomar valores positivos y negativos en su dominio, ya que por el teorema de Boltzano, necesariamente tomaría el valor cero y se llegaría a un absurdo. En consecuencia hay dos alternativas :  \( A) \ \ f(x)>0,  \ \forall{x}\in{[0,1]} \ \ \ B) \ \ f(x)<0, \ \forall{x\in{[0,1]}} \)

Considerando la  situación A)

Por ser f continua presenta un máximo M y un mínimo m.  Y necesariamente se tiene para el mínimo : \( m>0 \)

Por ser m un mínimo se tiene : \( \exists{b\in{[0,1]}} \  tal \  que \ f(b)=m \) , y por condición de la hipótesis \( \exists{y\in{[0,1]}} \ tal \ que \ 0<f(y)\leq{\displaystyle\frac{m}{2}} \), ABSURDO, ya que se tiene un elemento del rango de f menor qué su mínimo m

Considerando la situación B)

Se tiene que -f es una función que se encuentra en la situación A) y obviamente se llega también al mismo ABSURDO

Sigo dándole vueltas y otra vez no entiendo por que estos dos razonamientos anteriores están bien pero el que sigue no

De otra manera

Sea    \( y_1\in{[a,b]} \).    Si    \( f(y_1)=0 \)    es trivial que    \( f \)    se anula en algún punto.

Se supone    \( f(y_1)\neq0 \).

Por hipótesis existe    \( y_2,\in{[a,b]} \)    tal que    \( 5\big|f(y_2)\big|\leq{\big|f(y_1)\big|} \)    y aplicando el razonamiento recursivamente se obtiene que    \( 5\big|f(y_k)\big|\leq{\big|f(y_{k-1})\big|} \)    para    \( k=2,3... \).

Ahora basta observar que si    \( f \)    sólo toma valores positivos, entonces    \( 5f(y_k)\leq{f(y_{k-1})} \)    para    \( k=2,3\ldots \)    y la función no alcanza el mínimo absoluto contradiciendo el Teorema de Karl Theodor Wilhelm Weierstraß que afirma que "toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en dicho intervalo un máximo y un mínimo absolutos".

Se deduce entonces que la función    \( f \)    no puede tomar sólo valores positivos. Bernard Bolzano asegura que se anula en algún punto.

Saludos.

CORREGIDO.

EDITADO.

Tampoco puede tomar valores sólo negativos porque entonces no alcanza el máximo absoluto.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Sigo dándole vueltas y otra vez no entiendo por que estos dos razonamientos anteriores están bien pero el siguiente no

Ya te hemos contestado de manera razonada varias veces a eso. Si no lo entiendes deberías de concretar esas dudas haciendo a referencia a lo que te hemos respondido. En otro caso lo único que podemos hacer es repetir una y otra vez la justificación (o simplemente dejar de contestar), porque no podemos adivinar que es lo que no entiendes.

De otra manera

Sea    \( y_1\in{[a,b]} \).    Si    \( f(y_1)=0 \)    es trivial que    \( f \)    se anula en algún punto.

Se supone    \( f(y_1)\neq0 \).

Por hipótesis existe    \( y_2,\in{[a,b]} \)    tal que    \( 5\big|f(y_2)\big|\leq{\big|f(y_1)\big|} \)    y aplicando el razonamiento recursivamente se obtiene que    \( 5^{\color{red}\cancel{\color{black}k}}\big|f(y_k)\big|\leq{\big|f(y_{k-1})\big|} \)    para    \( k=2,3... \).

Ahora basta observar que si    \( f \)    sólo toma valores positivos, entonces    \( 5^{\color{red}\cancel{\color{black}k}}f(y_k)\leq{f(y_{k-1})} \)    para    \( k=2,3\ldots \)    y la función no alcanza el mínimo absoluto contradiciendo el Teorema de Karl Theodor Wilhelm Weierstraß que afirma que "toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en dicho intervalo un máximo y un mínimo absolutos".

La cuestión es como justificas lo que he marcado en rojo, como justificas que: "la función no alcanza el mínimo absoluto".

Tal como lo tienes redactado lo que se entiende es que según tu, eso es consecuencia de:

entonces    \( 5^{\color{red}\cancel{\color{black}k}}f(y_k)\leq{f(y_{k-1})} \)    para    \( k=2,3\ldots \)

y eso por si sólo no justifica que no se alcance el mínimo absoluto. Es decir esa justificacíón está mal. ¡Y ya te hemos puesto un ejemplo!:

Pero la cuestión es la siguiente. Imagina de nuevo la función \( f(x)=x \) definida en \( [0,1] \). Ahora toma como punto inicial de la sucesión \( y_1=1 \). Podemos tomar por ejemplo \( y_2=1/5 \) que cumple \( f(y_2) \leq 2/10 f(y_1) \), y siguiendo así podemos tomar la sucesión \( y_k = 1/5^k \). Pero la función no alcanza ningún mínimo sobre los puntos de la sucesión, y eso no contradice para nada al teorema de Weierstrass (porque el conjunto de puntos de la sucesión no es un compacto).

La sucesión \( y_n=1/5^k \) cumple \( f(y_k)\neq 0 \) en todo punto, cumple   \( 5f(y_k)\leq{f(y_{k-1})} \)    para    \( k=2,3\ldots \) pero NO es cierto que la función \( f(x)=x \) no alcance el mínimo en \( [0,1] \).

Entonces lo que te falta es justificar bien esa afirmación.

Saludos.

[Buscón]

La cuestión es como justificas lo que he marcado en rojo, como justificas que: "la función no alcanza el mínimo absoluto".

El supuesto es    \( f(y_1)\neq 0 \)    para todo    \( y_1\in{[a,b]} \)    y la función    \( |f| \)    converge a cero.       

[Luis Fuentes]

Hola

El supuesto es    \( f(y_1)\neq 0 \)    para todo    \( y_1\in{[a,b]} \)    y la función    \( |f| \)    converge a cero.       

Todo eso es muy confuso:

1) Lo que te falta no es fijar supuestos, sino desarrollar correctamete argumentos que justifiquen una afirmación. Los supuestos pueden ser parte de esa argumentación, pero no son lo troncal.

2) Escribir   \( f(y_1)\neq 0 \)    para todo    \( y_1\in{[a,b]} \)  se presta a confusión. Por \( y_1 \) en lo que hemos ido desarrollando, entendemos un término concreto de una sucesión que vamos construyendo; un elemento que se va a mantener fijo a lo largo de todo el desarrollo; entonces no es muy recomendable usar esa letra para dar una propiedad genérica sobre todo punto. Entiendo que quieres decir:

estamos suponiendo que \( f(x)\neq 0 \) para todo \( x\in [a,b] \) y por tanto todos los \( y_k\in [a,b] \) que construimos cumplen \( f(y_k)\neq 0 \).

3) No entiendo que quieres decir exactamente con que "la función    \( |f| \)  converge a cero". Al pie de la letra no tiene sentido. No sé a que te refeieres con la convergencia de una función: converge una sucesión, o una serie, o una sucesión de funciones, o un límite...¿pero una función?. Tampoco entiendo en que medida (sea lo que sea que signifique) es un "supuesto".

Saludos.

[Buscón]

Hola

El supuesto es    \( f(y_1)\neq 0 \)    para todo    \( y_1\in{[a,b]} \)    y la función    \( |f| \)    converge a cero.       

Todo eso es muy confuso:

1) Lo que te falta no es fijar supuestos, sino desarrollar correctamete argumentos que justifiquen una afirmación. Los supuestos pueden ser parte de esa argumentación, pero no son lo troncal.

2) Escribir   \( f(y_1)\neq 0 \)    para todo    \( y_1\in{[a,b]} \)  se presta a confusión. Por \( y_1 \) en lo que hemos ido desarrollando, entendemos un término concreto de una sucesión que vamos construyendo; un elemento que se va a mantener fijo a lo largo de todo el desarrollo; entonces no es muy recomendable usar esa letra para dar una propiedad genérica sobre todo punto. Entiendo que quieres decir:

estamos suponiendo que \( f(x)\neq 0 \) para todo \( x\in [a,b] \) y por tanto todos los \( y_k\in [a,b] \) que construimos cumplen \( f(y_k)\neq 0 \).

Si, claro eso quería decir.

3) No entiendo que quieres decir exactamente con que "la función    \( |f| \)  converge a cero". Al pie de la letra no tiene sentido. No sé a que te refeieres con la convergencia de una función: converge una sucesión, o una serie, o una sucesión de funciones, o un límite...¿pero una función?. Tampoco entiendo en que medida (sea lo que sea que signifique) es un "supuesto".

Saludos.

Si    \( 0<\big|f(y_n)\big|\leq{}\dfrac{f(y_1)}{5^n} \)    para todo    \( n\in{\mathbb{N}} \)    y   \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\frac{f(y_1)}{5^n}=0 \)    ¿No es correcto decir que    \( \big|f(y_n)\big| \)     converge a cero?

[Buscón]

También me surge otra cuestión.

Si una función converge a cero con alguna sucesión pero la función no se anula, ¿es continua?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Si    \( 0<\big|f(y_n)\big|\leq{}\dfrac{f(y_1)}{5^n} \)    para todo    \( n\in{\mathbb{N}} \)    y   \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\frac{f(y_1)}{5^n}=0 \)    ¿No es correcto decir que    \( \big|f(y_n)\big| \)     converge a cero?

Si, eso si.  \( \big|f(y_n)\big| \)  converge a cero. Correcto. Fíjate que es distinto a decir: la función \( |f| \) converge a cero.

Si una función converge a cero con alguna sucesión pero la función no se anula, ¿es continua?

Puede ser continua si el domino de la función no es compacto:

- Por ejemplo \( f:(0,+\infty)\to \Bbb R, \quad f(x)=1/x \) es continua y cumple que para \( y_n=n \), \( \{f(y_n)\}\to 0 \). Pero no se anula.

- O \( f:(0,1)\to \Bbb R, \quad f(x)=x \) es continua y cumple que para \( y_n=1/n \), \( \{f(y_n)\}\to 0 \). Pero no se anula.

Ahora si el dominio es compacto entonces si \( \{f(y_n)\}\to 0 \) y la función no se anula, NO puede ser continua.

O también si la sucesión \( \{y_n\} \) converge (en el dominio de la función) entonces, si \( \{f(y_n)\}\to 0 \) y la función no se anula, y NO puede ser continua.

Saludos.

[Buscón]

Si una función converge a cero con alguna sucesión pero la función no se anula, ¿es continua?

Puede ser continua si el domino de la función no es compacto:

- Por ejemplo \( f:(0,+\infty)\to \Bbb R, \quad f(x)=1/x \) es continua y cumple que para \( y_n=n \), \( \{f(y_n)\}\to 0 \). Pero no se anula.

- O \( f:(0,1)\to \Bbb R, \quad f(x)=x \) es continua y cumple que para \( y_n=1/n \), \( \{f(y_n)\}\to 0 \). Pero no se anula.

Ahora si el dominio es compacto entonces si \( \{f(y_n)\}\to 0 \) y la función no se anula, NO puede ser continua.

O también si la sucesión \( \{y_n\} \) converge (en el dominio de la función) entonces, si \( \{f(y_n)\}\to 0 \) y la función no se anula, y NO puede ser continua.

Saludos.

La cuestión es como justificas lo que he marcado en rojo, como justificas que: "la función no alcanza el mínimo absoluto".

El supuesto es    \( f(y_1)\neq 0 \)    para todo    \( y_1\in{[a,b]} \)    y la función    \( |f| \)    converge a cero.       

La función en este caso es continua por hipótesis. La sucesión    \( \big|f(y_n)\big| \)   converge a cero,    \( y_n\subset{[a,b]} \)    y    \( [a,b] \)    es compacto.

Suponer ahora que    \( \big|f(y_n)\big|\neq 0 \),    \( (n\in{\mathbb{N}}) \),    ¿no contradice el Teorema de Weierstrass?