[Buscón]

Hola

Pues asumiendo la parte de torpeza que me toca, que no es poca, yo diría que aquí está parte del lío. ¿No debería haber puesto entonces el autor    Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( x\in{[a,b]} \)    tal que...

¿No cambia considerablemente el problema con cada interpretación?

¡No! Al contrario. Si pones la misma letra para las dos variables das a entender que son la misma, que necesariamente son iguales.

Pero si pones letras distintas no dices nada a favor o en contra de que sean o no iguales.

Por ejemplo cuando se da está fórmula:

\( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \)

diciendo que es válida para números \( a,b\in \Bbb R \), lo que se entiende es que es válida para cualquier par de números reales. Esto incluye, por supuesto, la posibilidad de que sean iguales.

Saludos.

slsfjallaañ!

\( (a+a)^2=4a^2 \)    no hace falta fórmula alguna. No tiene mucho sentido hacer  \( (2+2)^2=2^2+2\cdot{2\cdot{2}}+2^2=16 \).    Eso se hace así   \( (2+2)^2=4^2=16 \)

En fin. Sea como sea mi interpretación fue la 1 desde el principio. Pero ya veo que soy el único.

[Luis Fuentes]

Hola

slsfjallaañ!

\( (a+a)^2=4a^2 \)    no hace falta fórmula alguna. No tiene mucho sentido hacer  \( (2+2)^2=2^2+2\cdot{2\cdot{2}}+2^2=16 \).    Eso se hace así   \( (2+2)^2=4^2=16 \)

En fin. Sea como sea mi interpretación fue la 1 desde el principio. Pero ya veo que soy el único.

  Pero no le busques tres pies al gato. Era por poner un ejemplo sencillo.

Spoiler

Otro ejemplo. Acaso cuando te explican la fórmula de la ecuación de segundo grado:

\( ax^2+bx+c=0\quad \Rightarrow{}\quad x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)

¿Crees que no se puede usar si \( a=b \) por ejemplo?¿Crees que no vale para la ecuación \( x^2+x-2=0 \)?.

[cerrar]

Pues que te quede claro. NUNCA por el hecho de que se usen nombres distintas para dos variables tienes que presuponer que necesariamente toman distintos valores. Pueden coincidir o no. Si se quiere obligar a que necesariamente tomen distintos valores se indica de manera explícita \( x\neq y \).

Saludos.

[Buscón]

Ok. Gracias.

[Buscón]

Ahora basta observar que si    \( f \)    sólo toma valores positivos, entonces    \( 5^{\color{red}\cancel{\color{black}k}}f(y_k)\leq{f(y_{k-1})} \)    para    \( k=2,3\ldots \)    y la función no alcanza el mínimo absoluto contradiciendo el Teorema de Karl Theodor Wilhelm Weierstraß que afirma que "toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en dicho intervalo un máximo y un mínimo absolutos".

Eso no está bien. El conjunto \( \{y_1,y_2,y_3, \dots \} \) no es ningún intervalo cerrado y acotado, así que \( f \) no tiene por qué alcanzar un mínimo o un máximo en los términos de la sucesión. No hay ninguna contradicción con el teorema de Weierstrass.

Por ejemplo, si \( f:[0,1] \to \Bbb R \) viene definida por \( f(x)=x \) ciertamente \( f \) alcanza su mínimo en \( 0 \) y su máximo en \( 1 \) (de acuerdo con Weierstrass), pero \( f \) no alcanza el mínimo sobre los elementos de la sucesión \( 1/n \).

No consigo ver porque no está bien. El razonamiento es:

Si    \( x=y \)    entonces la función debe verificar    \( \big|f(x)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)     y sólo puede ser si    \( f(x)=0 \).    La solución al problema es entonces trivial.

En adelante    \( x\neq y \).

Considerando que la función sólo toma valores positivos:

Si para cada    \( y_k\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y_{k+1})\leq{\dfrac{2}{10}}f(y_{k}) \),    la función no puede alcanzar el mínimo absoluto en contradicción con el Teorema de  Weierstrass. 


Si ahora se consideran valores sólo negativos, el razonamiento es análogo y la función no puede alcanzar el máximo absoluto.

La función    \( f(x)=x \)    está en el caso trivial. Verifica la desigualdad     \( \big|f(0)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(0)\big|} \)    para   \( x=y=0\in{[0,1]} \)    puesto que    \( f(0)=0 \).


Saludos.

[geómetracat]

Porque parece que digas que el hecho de que el conjunto \( \{ f(y_1), f(y_2), \dots \} \) no tiene mínimo esté en contradicción con el teorema de Weierstrass, y para nada es así, como muestra el ejemplo que te puse. El teorema de Weierstrass te dice que una función alcanza un mínimo y un máximo en un compacto, pero el conjunto \( \{y_1, y_2, \dots \} \) no es necesariamente compacto (por ejemplo, no lo es en el caso de la sucesión \( (1/n) \)) y por tanto el teorema de Weierstrass no es aplicable en esta situación.

Sobre lo que dices del ejemplo, la cuestión es que tu argumento debería funcionar con cualquier número que tomes como \( y_1 \), y el hecho es que no funciona. De hecho, todas las funciones (con las hipótesis del problema) están en lo que llamas el caso trivial, pues todas se anulan en un punto.

Pero la cuestión es la siguiente. Imagina de nuevo la función \( f(x)=x \) definida en \( [0,1] \). Ahora toma como punto inicial de la sucesión \( y_1=1 \). Podemos tomar por ejemplo \( y_2=1/5 \) que cumple \( f(y_2) \leq 2/10 f(y_1) \), y siguiendo así podemos tomar la sucesión \( y_k = 1/5^k \). Pero la función no alcanza ningún mínimo sobre los puntos de la sucesión, y eso no contradice para nada al teorema de Weierstrass (porque el conjunto de puntos de la sucesión no es un compacto).

[Buscón]

Porque parece que digas que el hecho de que el conjunto \( \{ f(y_1), f(y_2), \dots \} \) no tiene mínimo esté en contradicción con el teorema de Weierstrass, y para nada es así, como muestra el ejemplo que te puse

No, lo que dice es que el conjunto    \( \Big\{f\big([a,b]\big)\Big\} \)    no tiene mínimo, lo que sí contradice el teorema de Wieierstrass.

El ejemplo que pones verifica que    \( \big|f(0)|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(0)|} \)    porque    \( f(0)=0 \)    ¿Para que considerar sucesión alguna?

[Luis Fuentes]

Hola

En adelante    \( x\neq y \).

Considerando que la función sólo toma valores positivos:

Si para cada    \( y_k\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y_{k+1})\leq{\dfrac{2}{10}}f(y_{k}) \),    la función no puede alcanzar el mínimo absoluto en contradicción con el Teorema de  Weierstrass. 

Es cierto que supuesto que la función solo toma valores positivos y  para cada    \( y_k\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y_{k+1})\leq{\dfrac{2}{10}}f(y_{k}) \), entonces  la función no puede alcanzar el mínimo absoluto en contradicción con el Teorema de  Weierstrass. 

El problema está en exactamente cómo lo justificas. geómetracat te acaba de decir como parece que pretendías detallar ese paso y porque si es como él indica estaría mal.

Fíjate lo que dices es casi casi lo mismo que esto:  supuesto que la función solo toma valores positivos y  para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y)\leq{\dfrac{2}{10}}f(x) \), entonces  la función no puede alcanzar el mínimo absoluto en contradicción con el Teorema de  Weierstrass. ¡Qué es practicamente el enunciado de lo qué queremos probar!.

¿Es cierto? Si. ¿Cómo se justifica? Pues ahí es el detalle, se trata de describir todos los pasos que prueben claramente la certeza de esa afirmación.

Entonces rebobinando: tienes que aclarar exactamente cómo terminas tu razonamiento para a partir de "si para cada    \( y_k\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y_{k+1})\leq{\dfrac{2}{10}}f(y_{k}) \)" deducir " la función no puede alcanzar el mínimo absoluto en contradicción con el Teorema de  Weierstrass.  ".

Cuando mensajes atrás pretendiste detallar ese paso a tu modo lo que se te entendió es lo que indica geómetracat en su mensaje anterior y no está bien.

Saludos.

P.D. Viendo tu última respuesta:

No, lo que dice es que el conjunto    \( \Big\{f\big([a,b]\big)\Big\} \)    no tiene mínimo, lo que sí contradice el teorema de Wieierstrass.

¿Pero cómo justificas exactamente qué no tiene mínimo?. Porque esa es la clave.

[Buscón]

P.D. Viendo tu última respuesta:

No, lo que dice es que el conjunto    \( \Big\{f\big([a,b]\big)\Big\} \)    no tiene mínimo, lo que sí contradice el teorema de Wieierstrass.

¿Pero cómo justificas exactamente qué no tiene mínimo?. Porque esa es la clave.

¿Suponiendo que la función toma sólo valores positivos y viendo que para cada    \( y_k\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y_{k+1} \)    tal que    \( f(y_{k+1})\leq{\dfrac{2}{10}f(y_k)} \),    (\( y_{k+1}\neq y_k \)    para todo    \( k=1,2,3,\ldots \))?

Esto supone que no existe    \( k \)    tal que    \( f(y_k)=0 \)    y la función no alcanza el mínimo.

Obviamente si   \( f(c)\leq{\dfrac{2}{10}f(c)} \)    para algún    \( c\in{[0,1]} \)    la función debe anularse en    \( x=c\in{[0,1]} \).   En el ejemplo que pone gemetracat es lo que ocurre, la función se anula, concretamente en    \( x=c=0 \).

[geómetracat]

¿Suponiendo que la función toma sólo valores positivos y viendo que para cada    \( y_k\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y_{k+1} \)    tal que    \( f(y_{k+1})\leq{\dfrac{2}{10}f(y_k)} \),    (\( y_{k+1}\neq y_k \)    para todo    \( k=1,2,3,\ldots \))?

Esto supone que no existe    \( k \)    tal que    \( f(y_k)=0 \)    y la función no alcanza el mínimo.

Pero en el ejemplo que te puse en el mensaje anterior \( f(y_k) \neq 0 \) para todo \( k \), y no hay contradicción ninguna porque \( f(0)=0 \). Es decir, tienes que justificar mejor el uso del teorema de Weierstrass, porque tal como lo explicas no está nada claro.

El ejemplo que pones verifica que    \( \big|f(0)|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(0)|} \)    porque    \( f(0)=0 \)    ¿Para que considerar sucesión alguna?

Para probar tu demostración con un caso concreto y sencillo donde se ven bien las cosas y lo tienes todo controlado. Es decir, si tu razonamiento se aplica a cualquier función que cumpla las hipótesis y funciona para cualquier \( y_1 \) inicial, debería funcionar aquí también, ¿no?

[Buscón]

¿Suponiendo que la función toma sólo valores positivos y viendo que para cada    \( y_k\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y_{k+1} \)    tal que    \( f(y_{k+1})\leq{\dfrac{2}{10}f(y_k)} \),    (\( y_{k+1}\neq y_k \)    para todo    \( k=1,2,3,\ldots \))?

Esto supone que no existe    \( k \)    tal que    \( f(y_k)=0 \)    y la función no alcanza el mínimo.

Pero en el ejemplo que te puse en el mensaje anterior \( f(y_k) \neq 0 \) para todo \( k \), y no hay contradicción ninguna porque \( f(0)=0 \). Es decir, tienes que justificar mejor el uso del teorema de Weierstrass, porque tal como lo explicas no está nada claro.

No, en el ejemplo hay un    \( k \)    para el cual    \( f(y_k)=0 \)   en concreto el    \( k \)    que hace que    \( y_k=0 \).

El ejemplo que pones verifica que    \( \big|f(0)|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(0)|} \)    porque    \( f(0)=0 \)    ¿Para que considerar sucesión alguna?

Para probar tu demostración con un caso concreto y sencillo donde se ven bien las cosas y lo tienes todo controlado. Es decir, si tu razonamiento se aplica a cualquier función que cumpla las hipótesis y funciona para cualquier \( y_1 \) inicial, debería funcionar aquí también, ¿no?

Es que no consigo ver que no funcione.