Autor Tema: Prueba \(\;f\;\) se anula en algún punto de \(\;[a,b]\;\).

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19 Septiembre, 2020, 09:29 pm
Respuesta #120

Buscón

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Hola

Pues asumiendo la parte de torpeza que me toca, que no es poca, yo diría que aquí está parte del lío. ¿No debería haber puesto entonces el autor    Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( x\in{[a,b]} \)    tal que...

¿No cambia considerablemente el problema con cada interpretación?

¡No! Al contrario. Si pones la misma letra para las dos variables das a entender que son la misma, que necesariamente son iguales.

Pero si pones letras distintas no dices nada a favor o en contra de que sean o no iguales.

Por ejemplo cuando se da está fórmula:

\( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \)

diciendo que es válida para números \( a,b\in \Bbb R \), lo que se entiende es que es válida para cualquier par de números reales. Esto incluye, por supuesto, la posibilidad de que sean iguales.

Saludos.

slsfjallaañ!

\( (a+a)^2=4a^2 \)    no hace falta fórmula alguna. No tiene mucho sentido hacer  \( (2+2)^2=2^2+2\cdot{2\cdot{2}}+2^2=16 \).    Eso se hace así   \( (2+2)^2=4^2=16 \)

En fin. Sea como sea mi interpretación fue la 1 desde el principio. Pero ya veo que soy el único.

19 Septiembre, 2020, 09:38 pm
Respuesta #121

Luis Fuentes

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Hola

slsfjallaañ!

\( (a+a)^2=4a^2 \)    no hace falta fórmula alguna. No tiene mucho sentido hacer  \( (2+2)^2=2^2+2\cdot{2\cdot{2}}+2^2=16 \).    Eso se hace así   \( (2+2)^2=4^2=16 \)

En fin. Sea como sea mi interpretación fue la 1 desde el principio. Pero ya veo que soy el único.

 :D Pero no le busques tres pies al gato. Era por poner un ejemplo sencillo.

Spoiler
Otro ejemplo. Acaso cuando te explican la fórmula de la ecuación de segundo grado:

\( ax^2+bx+c=0\quad \Rightarrow{}\quad x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)

¿Crees que no se puede usar si \( a=b \) por ejemplo?¿Crees que no vale para la ecuación \( x^2+x-2=0 \)?.
[cerrar]

Pues que te quede claro. NUNCA por el hecho de que se usen nombres distintas para dos variables tienes que presuponer que necesariamente toman distintos valores. Pueden coincidir o no. Si se quiere obligar a que necesariamente tomen distintos valores se indica de manera explícita \( x\neq y \).

Saludos.

19 Septiembre, 2020, 09:51 pm
Respuesta #122

Buscón

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20 Septiembre, 2020, 12:54 pm
Respuesta #123

Buscón

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Ahora basta observar que si    \( f \)    sólo toma valores positivos, entonces    \( 5^{\color{red}\cancel{\color{black}k}}f(y_k)\leq{f(y_{k-1})} \)    para    \( k=2,3\ldots \)    y la función no alcanza el mínimo absoluto contradiciendo el Teorema de Karl Theodor Wilhelm Weierstraß que afirma que "toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en dicho intervalo un máximo y un mínimo absolutos".

Eso no está bien. El conjunto \( \{y_1,y_2,y_3, \dots \} \) no es ningún intervalo cerrado y acotado, así que \( f \) no tiene por qué alcanzar un mínimo o un máximo en los términos de la sucesión. No hay ninguna contradicción con el teorema de Weierstrass.

Por ejemplo, si \( f:[0,1] \to \Bbb R \) viene definida por \( f(x)=x \) ciertamente \( f \) alcanza su mínimo en \( 0 \) y su máximo en \( 1 \) (de acuerdo con Weierstrass), pero \( f \) no alcanza el mínimo sobre los elementos de la sucesión \( 1/n \).

No consigo ver porque no está bien. El razonamiento es:

Si    \( x=y \)    entonces la función debe verificar    \( \big|f(x)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)     y sólo puede ser si    \( f(x)=0 \).    La solución al problema es entonces trivial.

En adelante    \( x\neq y \).

Considerando que la función sólo toma valores positivos:

Si para cada    \( y_k\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y_{k+1})\leq{\dfrac{2}{10}}f(y_{k}) \),    la función no puede alcanzar el mínimo absoluto en contradicción con el Teorema de  Weierstrass


Si ahora se consideran valores sólo negativos, el razonamiento es análogo y la función no puede alcanzar el máximo absoluto.

La función    \( f(x)=x \)    está en el caso trivial. Verifica la desigualdad     \( \big|f(0)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(0)\big|} \)    para   \( x=y=0\in{[0,1]} \)    puesto que    \( f(0)=0 \).


Saludos.


20 Septiembre, 2020, 01:13 pm
Respuesta #124

geómetracat

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Porque parece que digas que el hecho de que el conjunto \( \{ f(y_1), f(y_2), \dots \} \) no tiene mínimo esté en contradicción con el teorema de Weierstrass, y para nada es así, como muestra el ejemplo que te puse. El teorema de Weierstrass te dice que una función alcanza un mínimo y un máximo en un compacto, pero el conjunto \( \{y_1, y_2, \dots \} \) no es necesariamente compacto (por ejemplo, no lo es en el caso de la sucesión \( (1/n) \)) y por tanto el teorema de Weierstrass no es aplicable en esta situación.

Sobre lo que dices del ejemplo, la cuestión es que tu argumento debería funcionar con cualquier número que tomes como \( y_1 \), y el hecho es que no funciona. De hecho, todas las funciones (con las hipótesis del problema) están en lo que llamas el caso trivial, pues todas se anulan en un punto.

Pero la cuestión es la siguiente. Imagina de nuevo la función \( f(x)=x \) definida en \( [0,1] \). Ahora toma como punto inicial de la sucesión \( y_1=1 \). Podemos tomar por ejemplo \( y_2=1/5 \) que cumple \( f(y_2) \leq 2/10 f(y_1) \), y siguiendo así podemos tomar la sucesión \( y_k = 1/5^k \). Pero la función no alcanza ningún mínimo sobre los puntos de la sucesión, y eso no contradice para nada al teorema de Weierstrass (porque el conjunto de puntos de la sucesión no es un compacto).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

20 Septiembre, 2020, 04:10 pm
Respuesta #125

Buscón

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Porque parece que digas que el hecho de que el conjunto \( \{ f(y_1), f(y_2), \dots \} \) no tiene mínimo esté en contradicción con el teorema de Weierstrass, y para nada es así, como muestra el ejemplo que te puse

No, lo que dice es que el conjunto    \( \Big\{f\big([a,b]\big)\Big\} \)    no tiene mínimo, lo que sí contradice el teorema de Wieierstrass.

El ejemplo que pones verifica que    \( \big|f(0)|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(0)|} \)    porque    \( f(0)=0 \)    ¿Para que considerar sucesión alguna?

20 Septiembre, 2020, 04:17 pm
Respuesta #126

Luis Fuentes

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Hola

En adelante    \( x\neq y \).

Considerando que la función sólo toma valores positivos:

Si para cada    \( y_k\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y_{k+1})\leq{\dfrac{2}{10}}f(y_{k}) \),    la función no puede alcanzar el mínimo absoluto en contradicción con el Teorema de  Weierstrass

Es cierto que supuesto que la función solo toma valores positivos y  para cada    \( y_k\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y_{k+1})\leq{\dfrac{2}{10}}f(y_{k}) \), entonces  la función no puede alcanzar el mínimo absoluto en contradicción con el Teorema de  Weierstrass

El problema está en exactamente cómo lo justificas. geómetracat te acaba de decir como parece que pretendías detallar ese paso y porque si es como él indica estaría mal.

Fíjate lo que dices es casi casi lo mismo que esto:  supuesto que la función solo toma valores positivos y  para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y)\leq{\dfrac{2}{10}}f(x) \), entonces  la función no puede alcanzar el mínimo absoluto en contradicción con el Teorema de  Weierstrass. ¡Qué es practicamente el enunciado de lo qué queremos probar!.

¿Es cierto? Si. ¿Cómo se justifica? Pues ahí es el detalle, se trata de describir todos los pasos que prueben claramente la certeza de esa afirmación.

Entonces rebobinando: tienes que aclarar exactamente cómo terminas tu razonamiento para a partir de "si para cada    \( y_k\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y_{k+1}\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(y_{k+1})\leq{\dfrac{2}{10}}f(y_{k}) \)" deducir " la función no puede alcanzar el mínimo absoluto en contradicción con el Teorema de  Weierstrass.  ".

Cuando mensajes atrás pretendiste detallar ese paso a tu modo lo que se te entendió es lo que indica geómetracat en su mensaje anterior y no está bien.

Saludos.

P.D. Viendo tu última respuesta:

No, lo que dice es que el conjunto    \( \Big\{f\big([a,b]\big)\Big\} \)    no tiene mínimo, lo que sí contradice el teorema de Wieierstrass.

¿Pero cómo justificas exactamente qué no tiene mínimo?. Porque esa es la clave.

20 Septiembre, 2020, 04:37 pm
Respuesta #127

Buscón

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P.D. Viendo tu última respuesta:

No, lo que dice es que el conjunto    \( \Big\{f\big([a,b]\big)\Big\} \)    no tiene mínimo, lo que sí contradice el teorema de Wieierstrass.

¿Pero cómo justificas exactamente qué no tiene mínimo?. Porque esa es la clave.


¿Suponiendo que la función toma sólo valores positivos y viendo que para cada    \( y_k\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y_{k+1} \)    tal que    \( f(y_{k+1})\leq{\dfrac{2}{10}f(y_k)} \),    (\( y_{k+1}\neq y_k \)    para todo    \( k=1,2,3,\ldots \))?

Esto supone que no existe    \( k \)    tal que    \( f(y_k)=0 \)    y la función no alcanza el mínimo.

Obviamente si   \( f(c)\leq{\dfrac{2}{10}f(c)} \)    para algún    \( c\in{[0,1]} \)    la función debe anularse en    \( x=c\in{[0,1]} \).   En el ejemplo que pone gemetracat es lo que ocurre, la función se anula, concretamente en    \( x=c=0 \).

20 Septiembre, 2020, 04:46 pm
Respuesta #128

geómetracat

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¿Suponiendo que la función toma sólo valores positivos y viendo que para cada    \( y_k\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y_{k+1} \)    tal que    \( f(y_{k+1})\leq{\dfrac{2}{10}f(y_k)} \),    (\( y_{k+1}\neq y_k \)    para todo    \( k=1,2,3,\ldots \))?

Esto supone que no existe    \( k \)    tal que    \( f(y_k)=0 \)    y la función no alcanza el mínimo.

Pero en el ejemplo que te puse en el mensaje anterior \( f(y_k) \neq 0 \) para todo \( k \), y no hay contradicción ninguna porque \( f(0)=0 \). Es decir, tienes que justificar mejor el uso del teorema de Weierstrass, porque tal como lo explicas no está nada claro.

El ejemplo que pones verifica que    \( \big|f(0)|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(0)|} \)    porque    \( f(0)=0 \)    ¿Para que considerar sucesión alguna?

Para probar tu demostración con un caso concreto y sencillo donde se ven bien las cosas y lo tienes todo controlado. Es decir, si tu razonamiento se aplica a cualquier función que cumpla las hipótesis y funciona para cualquier \( y_1 \) inicial, debería funcionar aquí también, ¿no?
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

20 Septiembre, 2020, 04:57 pm
Respuesta #129

Buscón

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¿Suponiendo que la función toma sólo valores positivos y viendo que para cada    \( y_k\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y_{k+1} \)    tal que    \( f(y_{k+1})\leq{\dfrac{2}{10}f(y_k)} \),    (\( y_{k+1}\neq y_k \)    para todo    \( k=1,2,3,\ldots \))?

Esto supone que no existe    \( k \)    tal que    \( f(y_k)=0 \)    y la función no alcanza el mínimo.

Pero en el ejemplo que te puse en el mensaje anterior \( f(y_k) \neq 0 \) para todo \( k \), y no hay contradicción ninguna porque \( f(0)=0 \). Es decir, tienes que justificar mejor el uso del teorema de Weierstrass, porque tal como lo explicas no está nada claro.

No, en el ejemplo hay un    \( k \)    para el cual    \( f(y_k)=0 \)   en concreto el    \( k \)    que hace que    \( y_k=0 \).

El ejemplo que pones verifica que    \( \big|f(0)|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(0)|} \)    porque    \( f(0)=0 \)    ¿Para que considerar sucesión alguna?

Para probar tu demostración con un caso concreto y sencillo donde se ven bien las cosas y lo tienes todo controlado. Es decir, si tu razonamiento se aplica a cualquier función que cumpla las hipótesis y funciona para cualquier \( y_1 \) inicial, debería funcionar aquí también, ¿no?

Es que no consigo ver que no funcione.

20 Septiembre, 2020, 05:15 pm
Respuesta #130

geómetracat

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Pero en el ejemplo que te puse en el mensaje anterior \( f(y_k) \neq 0 \) para todo \( k \), y no hay contradicción ninguna porque \( f(0)=0 \). Es decir, tienes que justificar mejor el uso del teorema de Weierstrass, porque tal como lo explicas no está nada claro.

No, en el ejemplo hay un    \( k \)    para el cual    \( f(y_k)=0 \)   en concreto el    \( k \)    que hace que    \( y_k=0 \).

Pero en la sucesión \( y_k=1/5^k \), que está construida según las indicaciones de la demostración, se tiene que \( y_k \neq 0 \) para todo \( k \). No existe ningún \( k \) que haga que \( y_k=0 \).
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20 Septiembre, 2020, 05:23 pm
Respuesta #131

Buscón

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Pero en el ejemplo que te puse en el mensaje anterior \( f(y_k) \neq 0 \) para todo \( k \), y no hay contradicción ninguna porque \( f(0)=0 \). Es decir, tienes que justificar mejor el uso del teorema de Weierstrass, porque tal como lo explicas no está nada claro.

No, en el ejemplo hay un    \( k \)    para el cual    \( f(y_k)=0 \)   en concreto el    \( k \)    que hace que    \( y_k=0 \).

Pero en la sucesión \( y_k=1/5^k \), que está construida según las indicaciones de la demostración, se tiene que \( y_k \neq 0 \) para todo \( k \). No existe ningún \( k \) que haga que \( y_k=0 \).

Por eso es necesario que sea    \( f(0)=0 \),    que lo es para    \( f(x)=x \).


20 Septiembre, 2020, 05:27 pm
Respuesta #132

geómetracat

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¿Y cómo justificas que es necesario que \( f(0)=0 \)? Esa es la cuestión, que detalles la contradicción en la demostración propuesta.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

20 Septiembre, 2020, 05:29 pm
Respuesta #133

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¿Y cómo justificas que es necesario que \( f(0)=0 \)? Esa es la cuestión, que detalles la contradicción en la demostración propuesta.

Si    \( x=y \)    entonces    \( \big|f(\frac{1}{k})\big|\leq{\frac{2}{10}\big|f(\frac{1}{k})\big|} \)    sí, y solo sí    \( f(1/k)=0 \)    lo cual es absurdo.

En la demostración se supone que no ocurre que es lo mismo que considerar que    \( x\neq y \)    lo que lleva a contradecir el teorema.

20 Septiembre, 2020, 05:48 pm
Respuesta #134

geómetracat

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¿Y cómo justificas que es necesario que \( f(0)=0 \)? Esa es la cuestión, que detalles la contradicción en la demostración propuesta.

Si    \( x=y \)    entonces    \( \big|f(\frac{1}{k})\big|\leq{\frac{2}{10}\big|f(\frac{1}{k})\big|} \)    sí, y solo sí    \( f(1/k)=0 \)    lo cual es absurdo.

En la demostración se supone que no ocurre que es lo mismo que considerar que    \( x\neq y \)    lo que lleva a contradecir el teorema.

No entiendo nada de esta respuesta, la verdad. No entiendo qué tiene que ver si \( x=y \) o no en la demostración que estamos haciendo, ni de dónde sale el \( 1/k \), ni dónde está la contradicción con el teorema de Weierstrass en tu demostración.

Yo lo dejo aquí. Si quieres mi consejo (que me imagino que no por otras contestaciones tuyas a Luis, así que sé libre de ignorarlo), creo que lo mejor sería que dejaras este problema durante unos días, te dedicaras a otros, y luego volvieras a él releyendo con calma los hilos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

20 Septiembre, 2020, 06:13 pm
Respuesta #135

Buscón

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¿Y cómo justificas que es necesario que \( f(0)=0 \)? Esa es la cuestión, que detalles la contradicción en la demostración propuesta.

Si    \( x=y \)    entonces    \( \big|f(\frac{1}{k})\big|\leq{\frac{2}{10}\big|f(\frac{1}{k})\big|} \)    sí, y solo sí    \( f(1/k)=0 \)    lo cual es absurdo.

En la demostración se supone que no ocurre que es lo mismo que considerar que    \( x\neq y \)    lo que lleva a contradecir el teorema.

No entiendo nada de esta respuesta, la verdad. No entiendo qué tiene que ver si \( x=y \) o no en la demostración que estamos haciendo, ni de dónde sale el \( 1/k \), ni dónde está la contradicción con el teorema de Weierstrass en tu demostración.

Yo lo dejo aquí. Si quieres mi consejo (que me imagino que no por otras contestaciones tuyas a Luis, así que sé libre de ignorarlo), creo que lo mejor sería que dejaras este problema durante unos días, te dedicaras a otros, y luego volvieras a él releyendo con calma los hilos.

Con la sucesión     \( \frac{1}{n} \)    no se puede considerar el caso    \( x=y \)    de la condición del planteamiento que es el único que hace que la función se anule. Para todo    \( k=1,2,3,\ldots \)    \( \frac{1}{k}\neq\frac{1}{k+1} \).


20 Septiembre, 2020, 06:47 pm
Respuesta #136

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Pues yo insisto. Sigo sin ver que falla en este razonamiento.


Sea    \( f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    continua. Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que

\( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{2}{10}\Big|f(x)\Big|} \).    Prueba que    \( f \)    se anula en algún punto de    \( [a,b] \).



La única posibilidad de que se verifique la condición "para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{2}{10}\Big|f(x)\Big|} \)"    con    \( y=x \)    es que    \( f(x)=f(y)=0 \).

Esto es, si se considera    \( x=y \)    en la condición, toda función continua en    \( [a,b] \)    que la verifique se anula en algún punto.

Consideramos entonces en lo que sigue    \( x\neq y \).    Esto es lo mismo que suponer que no existe    \( c\in{[a,b]} \)   tal que    \( f(c)=0 \)

Al considerar ahora que     \( f \)    sólo toma valores positivos en    \( [a,b] \),    debido a los supuestos que hemos hecho hasta aquí, (que son equivalentes a    \( f(x)>0 \)     para todo    \( x\in{[a,b]} \)),    la función no alcanza el mínimo absoluto, lo que contradice el Teorema de Weierstrass.   

Al considerar que    \( f \)    sólo toma valores negativos en    \( [a,b] \),    el razonamiento es análogo y la función no alcanzaría el máximo absoluto.

Por el Teorema de Bolzano, si la función es continua en    \( [a,b] \)    y toma valores positivas y negativos en     \( [a,b] \)    debe anularse en algún punto    c.q.d.

20 Septiembre, 2020, 07:46 pm
Respuesta #137

Luis Fuentes

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Hola

Al considerar ahora que     \( f \)    sólo toma valores positivos en    \( [a,b] \),    debido a los supuestos que hemos hecho hasta aquí, (que son equivalentes a    \( f(x)>0 \)     para todo    \( x\in{[a,b]} \)),    la función no alcanza el mínimo absoluto, lo que contradice el Teorema de Weierstrass.   

Otra vez: ¿por qué?¿cómo justificas exactamente que no alcanza el mínimo absoluto?.

Saludos.

20 Septiembre, 2020, 08:11 pm
Respuesta #138

Buscón

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Hola

Al considerar ahora que     \( f \)    sólo toma valores positivos en    \( [a,b] \),    debido a los supuestos que hemos hecho hasta aquí, (que son equivalentes a    \( f(x)>0 \)     para todo    \( x\in{[a,b]} \)),    la función no alcanza el mínimo absoluto, lo que contradice el Teorema de Weierstrass.   

Otra vez: ¿por qué?¿cómo justificas exactamente que no alcanza el mínimo absoluto?.

Saludos.

En valores sólo positivos el mínimo absoluto es cero. Puede alcanzarlo si, y sólo si,    \( f(x)=0 \),    y esto ocurre si y solo si,    \( f(y)=\dfrac{2}{10}f(x) \),    y esto ocurre si, y sólo si,    \( x=y \),    pero hemos supuesto que    \( x\neq y \)    o lo que es lo mismo, que    \( f(x)>0 \)    para todo    \( x\in{[a,b]} \).    En estos supuestos no puede alcanzar el mínimo porque no puede anularse.

20 Septiembre, 2020, 08:29 pm
Respuesta #139

Luis Fuentes

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En valores sólo positivos el mínimo absoluto es cero.

¿Por qué?. Por ejemplo la función \( f:[0,1]\to \Bbb R \), \( f(x)=x+1 \) sólo toma valores positivos. Pero su mínimo absoluto NO es cero.

Es cierto que esa función no cumple la condición "para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que

\( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{2}{10}\Big|f(x)\Big|} \)"
, pero tienes que especificar claramente como usas esa condición para justificar lo que afirmas: en valores sólo positivos el mínimo absoluto es cero.

Es más estrictamente si la función toma sólo valores positivos (es decir mayores estrictos que cero), el mínimo absoluto si existe NO puede ser el cero, sino un número estrictamente positivo.

Si esa afirmación no está bien justificada ni bien enunciada, lo demás:

Citar
Puede alcanzarlo si, y sólo si,    \( f(x)=0 \),    y esto ocurre si y solo si,    \( f(y)=\dfrac{2}{10}f(x) \),    y esto ocurre si, y sólo si,    \( x=y \),    pero hemos supuesto que    \( x\neq y \)    o lo que es lo mismo, que    \( f(x)>0 \)    para todo    \( x\in{[a,b]} \).    En estos supuestos no puede alcanzar el mínimo porque no puede anularse.

ya no procede.

Saludos.

P.D. En el fondo estás diciendo que la demostración es "bajo las hipótesis del enunciado si la función no se anulase en ningún punto no tendría mínimo contradiciendo el Teorema de Weierstrasss". Pues bien, la idea curiosamente es CORRECTA. Es de hecho la esencia de la demostración de delmar y la de martiniano; pero la cosa es como la detallas. En tu caso no lo estás haciendo bien: o bien realmente no detallas nada o cuando lo haces está mal.