[Juan Pablo Sancho]

Pero la función está definida en todo \( [a,b] \) en particular en \( \sigma \).
Entonces el hilo está cerrado por estar demostrado, \( f(\sigma)=0  \)

[Buscón]

Ahora basta observar que si    \( f \)    sólo toma valores positivos, entonces    \( 5^{\color{red}\cancel{\color{black}k}}f(y_k)\leq{f(y_{k-1})} \)    para    \( k=2,3\ldots \)    y la función no alcanza el mínimo absoluto contradiciendo el Teorema de Karl Theodor Wilhelm Weierstraß que afirma que "toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en dicho intervalo un máximo y un mínimo absolutos".

Eso no está bien. El conjunto \( \{y_1,y_2,y_3, \dots \} \) no es ningún intervalo cerrado y acotado, así que \( f \) no tiene por qué alcanzar un mínimo o un máximo en los términos de la sucesión. No hay ninguna contradicción con el teorema de Weierstrass.

¿Cómo que no es acotado si está contenido en    \( [a.b] \)?

El conjunto    \( \{y_1,y_2,y_3, \dots \} \)    aparece después de haber supuesto que la función sólo toma valores positivos. Es justo lo que se pretende demostrar por contradicción.

Por ejemplo, si \( f:[0,1] \to \Bbb R \) viene definida por \( f(x)=x \) ciertamente \( f \) alcanza su mínimo en \( 0 \) y su máximo en \( 1 \) (de acuerdo con Weierstrass), pero \( f \) no alcanza el mínimo sobre los elementos de la sucesión \( 1/n \).

La función verifica las hipótesis y por lo tanto se anula en algún punto.

[Luis Fuentes]

Hola

Eso no está bien. El conjunto \( \{y_1,y_2,y_3, \dots \} \) no es ningún intervalo cerrado y acotado, así que \( f \) no tiene por qué alcanzar un mínimo o un máximo en los términos de la sucesión. No hay ninguna contradicción con el teorema de Weierstrass.

¿Cómo que no es acotado si está contenido en    \( [a.b] \)?

Cuidado; lee la frase completa. Te dice que no es un intervalo cerrado y acotado. De esas tres cosas efectivamente lo único cierto es que es acotado, pero esos puntos sueltos ni son un intervalo, ni forman un conjunto cerrado. Por tanto no forman un intervalo cerrado y acotado

El conjunto    \( \{y_1,y_2,y_3, \dots \} \)    aparece después de haber supuesto que la función sólo toma valores positivos. Es justo lo que se pretende demostrar por contradicción.

No se a que viene esa observación. Entiendo qué quieres decir que se intenta probar por contradicción que la función no puede tomar sólo valores positivos. ¿Y...?. ¿Qué tiene que ver eso con el párrafo anterior?.

Por ejemplo, si \( f:[0,1] \to \Bbb R \) viene definida por \( f(x)=x \) ciertamente \( f \) alcanza su mínimo en \( 0 \) y su máximo en \( 1 \) (de acuerdo con Weierstrass), pero \( f \) no alcanza el mínimo sobre los elementos de la sucesión \( 1/n \).

La función verifica las hipótesis y por lo tanto se anula en algún punto.

Si, claro. ¿Pero qué tiene que ver eso con lo que apuntaba geómetracat?. Lo que te está poniendo es un ejemplo en el cual la función NO alcanza ni el máximo ni el mínimo en los términos de la sucesión \( y_n=1/n \).

Si quiere razonar en esa línea no tienes que razonar sobre puntos de una sucesión, sino sobre un punto arbitrario candidato a mínimo absoluto. Es básicamente lo que hace delmar aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=96785.msg388680#msg388680

Saludos.

[Buscón]

Hola

Eso no está bien. El conjunto \( \{y_1,y_2,y_3, \dots \} \) no es ningún intervalo cerrado y acotado, así que \( f \) no tiene por qué alcanzar un mínimo o un máximo en los términos de la sucesión. No hay ninguna contradicción con el teorema de Weierstrass.

¿Cómo que no es acotado si está contenido en    \( [a.b] \)?

Cuidado; lee la frase completa. Te dice que no es un intervalo cerrado y acotado. De esas tres cosas efectivamente lo único cierto es que es acotado, pero esos puntos sueltos ni son un intervalo, ni forman un conjunto cerrado. Por tanto no forman un intervalo cerrado y acotado

El conjunto    \( \{y_1,y_2,y_3, \dots \} \)    aparece después de haber supuesto que la función sólo toma valores positivos. Es justo lo que se pretende demostrar por contradicción.

No se a que viene esa observación. Entiendo qué quieres decir que se intenta probar por contradicción que la función no puede tomar sólo valores positivos. ¿Y...?. ¿Qué tiene que ver eso con el párrafo anterior?.

Para todo    \( k=1,2,3,\ldots \)   se verifica    \( a\leq{y_k}\leq{b} \)    luego es acotado. No es un intervalo puesto que entre    \( y_k \)    e   \( y_{k+1} \)    no está ninguno de los números comprendidos entre ellos. Y sobre todo, tiene un número infinito de elementos, que es justo lo que se necesita para probar que la función no alcanza el mínimo y contradice el teorema de Weierstrass.

Ese conjunto aparece por: 

Ahora basta observar que si    \( f \)    sólo toma valores positivos, entonces    \( 5f(y_k)\leq{f(y_{k-1})} \)    para    \( k=2,3\ldots \)    y la función no alcanza el mínimo absoluto contradiciendo el Teorema de Karl Theodor Wilhelm Weierstraß que afirma que "toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en dicho intervalo un máximo y un mínimo absolutos".

Por ejemplo, si \( f:[0,1] \to \Bbb R \) viene definida por \( f(x)=x \) ciertamente \( f \) alcanza su mínimo en \( 0 \) y su máximo en \( 1 \) (de acuerdo con Weierstrass), pero \( f \) no alcanza el mínimo sobre los elementos de la sucesión \( 1/n \).

La función verifica las hipótesis y por lo tanto se anula en algún punto.

Si, claro. ¿Pero qué tiene que ver eso con lo que apuntaba geómetracat?. Lo que te está poniendo es un ejemplo en el cual la función NO alcanza ni el máximo ni el mínimo en los términos de la sucesión \( y_n=1/n \).

El máximo si,    \( f\left(\frac{1}{1}\right)=1 \).

¿Podrías poner un ejemplo de sucesión o subsucesión en el que la función alcance el mínimo en sus términos?

[Luis Fuentes]

Hola

Para todo    \( k=1,2,3,\ldots \)   se verifica    \( a\leq{y_k}\leq{b} \)    luego es acotado. No es un intervalo puesto que entre    \( y_k \)    e   \( y_{k+1} \)    no está ninguno de los números comprendidos entre ellos. Y sobre todo, tiene un número infinito de elementos, que es justo lo que se necesita para probar que la función no alcanza el mínimo y contradice el teorema de Weierstrass.

Ese conjunto aparece por: 

Ahora basta observar que si    \( f \)    sólo toma valores positivos, entonces    \( 5f(y_k)\leq{f(y_{k-1})} \)    para    \( k=2,3\ldots \)    y la función no alcanza el mínimo absoluto contradiciendo el Teorema de Karl Theodor Wilhelm Weierstraß que afirma que "toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en dicho intervalo un máximo y un mínimo absolutos".

Eso está bien si se termina el razonamiento como indiqué aquí:

Otra cosa distinta es que se use que  \( f(y_k)\leq \dfrac{1}{5}{f(y_{k-1})} \) con lo cual se asegura que \( \{f(y_n)\}\to 0 \). Pero esto nos acerca al camino que estamos siguiendo en este hilo desde el principio.

Es cierto que uno podría terminar de otra manera a como lo hemos hecho: suponemos que la función es positiva en todo punto; además por el Teorema de Weierstrass, el mínimo se alcanza y por tanto es también estrictamente positivo. Pero eso contradice existencia la sucesión de imágenes convergente a cero.

El máximo si,    \( f\left(\frac{1}{1}\right)=1 \).

¿Podrías poner un ejemplo de sucesión o subsucesión en el que la función alcance el mínimo en sus términos?

Me desconcierta la pregunta porque no sé muy bien a que viene. Basta tomar por ejemplo una sucesión con valor constante el punto donde se alcance el máximo; o ese valor en \( y_1 \) y el resto los valores que te de la gana. Pero no se...

Saludos.

[Buscón]

Veréis. Creo que todo el follón que se montó es en gran parte debido a lo siguiente:

La condición "Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)."

Interpretación 1:    \( x\neq y \)   para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

Interpretación 2:    \( x\neq y \)   o    \( x=y \)    para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

¿Cuál debería ser la interpretación correcta?

[Luis Fuentes]

Hola

Veréis. Creo que todo el follón que se montó es en gran parte debido a lo siguiente:

La condición "Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)."

Interpretación 1:    \( x\neq y \)   para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

Interpretación 2:    \( x\neq y \)   o    \( x=y \)    para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

¿Cuál debería ser la interpretación correcta?

La segunda. Es decir ese \( y \) cuya existencia afirma la hipótesis para cada \( x \), podría coincidir o no con el valor de ese \( x \).

Saludos.

[Buscón]

Hola

Para todo    \( k=1,2,3,\ldots \)   se verifica    \( a\leq{y_k}\leq{b} \)    luego es acotado. No es un intervalo puesto que entre    \( y_k \)    e   \( y_{k+1} \)    no está ninguno de los números comprendidos entre ellos. Y sobre todo, tiene un número infinito de elementos, que es justo lo que se necesita para probar que la función no alcanza el mínimo y contradice el teorema de Weierstrass.

Ese conjunto aparece por: 

Ahora basta observar que si    \( f \)    sólo toma valores positivos, entonces    \( 5f(y_k)\leq{f(y_{k-1})} \)    para    \( k=2,3\ldots \)    y la función no alcanza el mínimo absoluto contradiciendo el Teorema de Karl Theodor Wilhelm Weierstraß que afirma que "toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en dicho intervalo un máximo y un mínimo absolutos".

Eso está bien si se termina el razonamiento como indiqué aquí:

Otra cosa distinta es que se use que  \( f(y_k)\leq \dfrac{1}{5}{f(y_{k-1})} \) con lo cual se asegura que \( \{f(y_n)\}\to 0 \). Pero esto nos acerca al camino que estamos siguiendo en este hilo desde el principio.

Es cierto que uno podría terminar de otra manera a como lo hemos hecho: suponemos que la función es positiva en todo punto; además por el Teorema de Weierstrass, el mínimo se alcanza y por tanto es también estrictamente positivo. Pero eso contradice existencia la sucesión de imágenes convergente a cero.

El máximo si,    \( f\left(\frac{1}{1}\right)=1 \).

¿Podrías poner un ejemplo de sucesión o subsucesión en el que la función alcance el mínimo en sus términos?

Me desconcierta la pregunta porque no sé muy bien a que viene. Basta tomar por ejemplo una sucesión con valor constante el punto donde se alcance el máximo; o ese valor en \( y_1 \) y el resto los valores que te de la gana. Pero no se...

Saludos.

En la función del enunciado una sucesión constante no verifica la condición con la interpretación 1.

[Buscón]

Hola

Veréis. Creo que todo el follón que se montó es en gran parte debido a lo siguiente:

La condición "Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que    \( \big|f(y)\big|\leq{\dfrac{2}{10}\big|f(x)\big|} \)."

Interpretación 1:    \( x\neq y \)   para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

Interpretación 2:    \( x\neq y \)   o    \( x=y \)    para todo    \( x,y\in{[a,b]} \).

¿Cuál debería ser la interpretación correcta?

La segunda. Es decir ese \( y \) cuya existencia afirma la hipótesis para cada \( x \), podría coincidir o no con el valor de ese \( x \).

Saludos.

Pues asumiendo la parte de torpeza que me toca, que no es poca, yo diría que aquí está parte del lío. ¿No debería haber puesto entonces el autor    Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( x\in{[a,b]} \)    tal que...

¿No cambia considerablemente el problema con cada interpretación?

[Luis Fuentes]

Hola

Pues asumiendo la parte de torpeza que me toca, que no es poca, yo diría que aquí está parte del lío. ¿No debería haber puesto entonces el autor    Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( x\in{[a,b]} \)    tal que...

¿No cambia considerablemente el problema con cada interpretación?

¡No! Al contrario. Si pones la misma letra para las dos variables das a entender que son la misma, que necesariamente son iguales.

Pero si pones letras distintas no dices nada a favor o en contra de que sean o no iguales.

Por ejemplo cuando se da está fórmula:

\( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \)

diciendo que es válida para números \( a,b\in \Bbb R \), lo que se entiende es que es válida para cualquier par de números reales. Esto incluye, por supuesto, la posibilidad de que sean iguales.

Saludos.