[Buscón]

No entiendo que problema hay con la longitud de los hilos. Y siento ser pesado.

A mi me sirven. Sin ella imposible darse cuenta que no sólo la subsucesión    \( y_{n_k} \)    ha de tener todos los términos en el compacto y que debe existir    \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{y_{n_k}}=\sigma\in{[a,b]} \).    Además se debe garantizar que    \( y_{n_k}=\sigma \)    para algún    \( k=1,2,3\ldots \).


Sigue faltando probar que    \( y_{n_k}=\sigma \)    para algún    \( k=1,2,3\ldots \).    ¿No?

Saludos.
 

[Juan Pablo Sancho]

Pero \( \{y_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \) seguro que tiene todos sus términos en \( [a,b] \) esto está más que discutido,simplemente por que \( \{y_n \}_{n=1}^{+\infty} \subset [a,b]  \).
Que \(  y_{k_n} \neq \sigma  \) para todo \( n \in \mathbb{N}  \) se discutió que puede ocurrir.

[Buscón]

Pero \( \{y_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \) seguro que tiene todos sus términos en \( [a,b] \) esto está más que discutido,simplemente por que \( \{y_n \}_{n=1}^{+\infty} \subset [a,b]  \).
Que \(  y_{k_n} \neq \sigma  \) para todo \( n \in \mathbb{N}  \) se discutió que puede ocurrir.

Entonces ¿cómo se garantiza que la función se anula en algún punto?

Este hilo ya parece la película ¿Atrapado en el tiempo?   

[Juan Pablo Sancho]

¿Por ser continua?.
Creo a estas alturas que el único defecto que le ves es:
\( \displaystyle 0 = \lim_{n \to +\infty} f(x_{k_n}) = f(\lim_{n \to +\infty} x_{k_n}) = f(\sigma)  \)

[Buscón]

¿Por ser continua?.
Creo a estas alturas que el único defecto que le ves es:
\( \displaystyle 0 = \lim_{n \to +\infty} f(x_{k_n}) = f(\lim_{n \to +\infty} x_{k_n}) = f(\sigma)  \)

Pues no lo sé.

Más que un defecto es que no me convence si no está probado que hay algún    \( \sigma \)    en la subsucesión    \( y_{n_k} \).

Hay que probarlo para garantizar que si lo hay en     \( [a,b] \)    ¿No?

Por cierto, ¿la subsucesión es    \( y_{n_k} \)    o    \( y_{k_n} \)?

[Juan Pablo Sancho]

Pero es la definición de continuidad de una función.
Si \( g \) es continua en \( c  \) entonces \( \displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = g(c)  \)
Como es continua en \( [a,b] \) entonces es continua en \( \sigma \) nos queda que \( \displaystyle \lim_{x \to \sigma} f(x) = f(\sigma)  \) es lo primero que habrás dado al dar continuidad, es su definición.
Tienes que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} |f(x_{k_n})| = 0 \) y además sabes por continuidad que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} |f(x_{k_n})| = |f(\sigma)|  \)

Por cierto, ¿la subsucesión es    \( y_{n_k} \)    o    \( y_{k_n} \)?

Depende del autor yo pongo \( y_{k_n} \) salvo algún error.

[Buscón]

Pero es la definición de continuidad de una función.
Si \( g \) es continua en \( c  \) entonces \( \displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = g(c)  \)
Como es continua en \( [a,b] \) entonces es continua en \( \sigma \) nos queda que \( \displaystyle \lim_{x \to \sigma} f(x) = f(\sigma)  \) es lo primero que habrás dado al dar continuidad, es su definición.
Tienes que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} |f(x_{k_n})| = 0 \) y además sabes por continuidad que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} |f(x_{k_n})| = |f(\sigma)|  \)

No. Lo hicimos por el método    \( \epsilon-\delta \)    y lo que si se menciona es que no tiene sentido hablar de continuidad en un punto en el cual la función no está definida.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Empezamos la demostración paso a paso enumerando los pasos por si hay que mirar atrás? Para ahorrarte trabajo tu pones los pasos, yo los desarrollo, pongo las objeciones y tu las corriges o debates si quieres.

Si cada respuesta que comienza con PASO es un paso, ya quedan enumeradas y es fácil referirse a él para debatirlo. Los pasos se pueden citar pero nunca modificar. Si se ha de hacer por lo que sea se vuelve a comenzar desde dicho paso.

¿Hace?

De acuerdo. He empezado un nuevo hilo para que todo quede más limpio. He escrito los pasos de la demostración, describiendo grosso modo como se prueba cada paso. También he puesto al principio algunas Teoremas que se usarán a lo largo de la prueba; en mi opinión si se quiere discutir algo sobre esos Teorema sería mejor hacerlo en hilos diferentes.

En fin este es el enlace:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=114307.new#new

Saludos.

[Buscón]

Hola

¿Empezamos la demostración paso a paso enumerando los pasos por si hay que mirar atrás? Para ahorrarte trabajo tu pones los pasos, yo los desarrollo, pongo las objeciones y tu las corriges o debates si quieres.

Si cada respuesta que comienza con PASO es un paso, ya quedan enumeradas y es fácil referirse a él para debatirlo. Los pasos se pueden citar pero nunca modificar. Si se ha de hacer por lo que sea se vuelve a comenzar desde dicho paso.

¿Hace?

De acuerdo. He empezado un nuevo hilo para que todo quede más limpio. He escrito los pasos de la demostración, describiendo grosso modo como se prueba cada paso. También he puesto al principio algunas Teoremas que se usarán a lo largo de la prueba; en mi opinión si se quiere discutir algo sobre esos Teorema sería mejor hacerlo en hilos diferentes.

En fin este es el enlace:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=114307.new#new

Saludos.

Hola y gracias. Ya te he contestado en el hilo que citas. ¿Cuál es tu opinión sobre esto?:

De otra manera

Sea    \( y_1\in{[a,b]} \).    Si    \( f(y_1)=0 \)    es trivial que    \( f \)    se anula en algún punto.

Se supone    \( f(y_1)\neq0 \).

Por hipótesis existe    \( y_2,\in{[a,b]} \)    tal que    \( 5\big|f(y_2)\big|\leq{\big|f(y_1)\big|} \)    y aplicando el razonamiento recursivamente se obtiene que    \( 5^{\color{red}\cancel{\color{black}k}}\big|f(y_k)\big|\leq{\big|f(y_{k-1})\big|} \)    para    \( k=2,3... \).

Ahora basta observar que si    \( f \)    sólo toma valores positivos, entonces    \( 5^{\color{red}\cancel{\color{black}k}}f(y_k)\leq{f(y_{k-1})} \)    para    \( k=2,3\ldots \)    y la función no alcanza el mínimo absoluto contradiciendo el Teorema de Karl Theodor Wilhelm Weierstraß que afirma que "toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en dicho intervalo un máximo y un mínimo absolutos".

Se deduce entonces que la función    \( f \)    no puede tomar sólo valores positivos. Bernard Bolzano asegura que se anula en algún punto.

Saludos.

CORREGIDO.

EDITADO.

Tampoco puede tomar valores sólo negativos porque entonces no alcanza el máximo absoluto.

[geómetracat]

Ahora basta observar que si    \( f \)    sólo toma valores positivos, entonces    \( 5^{\color{red}\cancel{\color{black}k}}f(y_k)\leq{f(y_{k-1})} \)    para    \( k=2,3\ldots \)    y la función no alcanza el mínimo absoluto contradiciendo el Teorema de Karl Theodor Wilhelm Weierstraß que afirma que "toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en dicho intervalo un máximo y un mínimo absolutos".

Eso no está bien. El conjunto \( \{y_1,y_2,y_3, \dots \} \) no es ningún intervalo cerrado y acotado, así que \( f \) no tiene por qué alcanzar un mínimo o un máximo en los términos de la sucesión. No hay ninguna contradicción con el teorema de Weierstrass.

Por ejemplo, si \( f:[0,1] \to \Bbb R \) viene definida por \( f(x)=x \) ciertamente \( f \) alcanza su mínimo en \( 0 \) y su máximo en \( 1 \) (de acuerdo con Weierstrass), pero \( f \) no alcanza el mínimo sobre los elementos de la sucesión \( 1/n \).