Autor Tema: Prueba \(\;f\;\) se anula en algún punto de \(\;[a,b]\;\).

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08 Abril, 2018, 01:22 am
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Buscón

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Sea    \( f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    continua. Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que

\( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{2}{10}\Big|f(x)\Big|} \).    Prueba que    \( f \)    se anula en algún punto de    \( [a,b] \).



08 Abril, 2018, 02:21 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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08 Abril, 2018, 11:22 pm
Respuesta #2

Buscón

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Mira la demostración de delmar en este hilo:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=96785.msg388661#msg388661

Si, gracias, una vez uno se da cuenta de lo que apunta delmar la cosa es sencilla. Se trata prácticamente del mismo ejercicio. Dejo mi desarrollo de todas formas.
Al suponer que no existe    \( c\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(c)=0 \),   se puede tomar por ejemplo que    \( \forall{x\in{[a,b]}},\;\;\;f(x)>0 \),    con lo que la hipótesis se puede expresar

\( \forall\;{x\in{[a,b]}},\;\;\;\exists\;{y\in{[a,b]}} \)    tal que    \( f(y)\leq{\displaystyle\frac{2}{10}f(x)} \).


Por otra parte, el teorema de Weierstrass garantiza que existe en    \( [a,b] \)     \( f(x_{min}) \)    para el cual la función verifica


\( f(x_{min})\leq{f(x)},\;\;\;\forall\;{x\in{[a,b]}} \).


Aplicando las hipótesis a    \( x_{min}\in{[a,b]} \)    también debería existir    \( y\in{[a,b]} \)    para el cual se debería verificar

\( 0<f(y)\leq{\displaystyle\frac{2}{10}}f(x_{min})<f(x_{min})\leq{f(x)} \)    para    \( x\in{[a,b]} \),

de dónde, para     \( y\in{[a,b]} \),    sería    \( f(y)<f(x_{min}) \),    pero esto sería absurdo por que    \( f(x_{min}) \)    es el mínimo absoluto de la función.
El razonamiento es análogo con    \( f(x_{max}) \)    si se supone    \( f(x)<0,\;\;\;\forall\;{x\in{[a,b]}} \).    Se puede concluir entonces que la función debe tomar valores positivos y negativos en    \( [a,b] \),    y por el teorema de Bolzano, ha de existir    \( c\in{[a,b]} \),    para el cual    \( f(c)=0 \)    c.q.d.

Saludos.


11 Septiembre, 2020, 03:17 pm
Respuesta #3

Buscón

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De otra manera

Sea    \( y_1\in{[a,b]} \).    Si    \( f(y_1)=0 \)    es trivial que    \( f \)    se anula en algún punto.

Se supone    \( f(y_1)\neq0 \).

Por hipótesis existe    \( y_2,\in{[a,b]} \)    tal que    \( 5\big|f(y_2)\big|\leq{\big|f(y_1)\big|} \)    y aplicando el razonamiento recursivamente se obtiene que    \( 5^{\color{red}\cancel{\color{black}k}}\big|f(y_k)\big|\leq{\big|f(y_{k-1})\big|} \)    para    \( k=2,3... \).

Ahora basta observar que si    \( f \)    sólo toma valores positivos, entonces    \( 5^{\color{red}\cancel{\color{black}k}}f(y_k)\leq{f(y_{k-1})} \)    para    \( k=2,3\ldots \)    y la función no alcanza el mínimo absoluto contradiciendo el Teorema de Karl Theodor Wilhelm Weierstraß que afirma que "toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en dicho intervalo un máximo y un mínimo absolutos".

Se deduce entonces que la función    \( f \)    no puede tomar sólo valores positivos. Bernard Bolzano asegura que se anula en algún punto.

:-\ :-\ :-\

Saludos.

CORREGIDO.

EDITADO.

Tampoco puede tomar valores sólo negativos porque entonces no alcanza el máximo absoluto.


11 Septiembre, 2020, 04:30 pm
Respuesta #4

Juan Pablo Sancho

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Lo que se tiene recursivamente es \( 5 \cdot |f(y_k)| \leq |f(y_{k-1})|  \) o \(  5^{k-1}\cdot |f(y_k)| \leq |f(y_1)|  \)

11 Septiembre, 2020, 05:48 pm
Respuesta #5

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Lo que se tiene recursivamente es \( 5 \cdot |f(y_k)| \leq |f(y_{k-1})|  \) o \(  5^{k-1}\cdot |f(y_k)| \leq |f(y_1)|  \)

Muchas gracias. La idea es que si     \( y_1\in{[a,b]} \)    entonces existe    \( y_2\in{[a,b]} \)    tal que    \( 5\big|f(y_2)\big|\leq{\big|f(y_1)\big|} \)    a su vez, existe    \( y_3\in{[a,b]} \)    tal que    \( 5\big|f(y_3)\big|\leq{\big|f(y_2)\big|} \),    y a su vez existe   \( y_4 \)...  si se supone que sólo toma valores positivos será    \( 5f(y_2)\leq{f(y_1)} \),    \( 5f(y_3)\leq{f(y_2)} \)... y la función no alcanza el mínimo... 

¿Cuando dejaré de meter la pata?

11 Septiembre, 2020, 06:03 pm
Respuesta #6

Juan Pablo Sancho

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Sólo queda poner la demostración que hice en el hilo enlazado,que es directa no por contradicción , por ejemplo una función que verifica lo citado es \( f(x) = x^2  \) en \( [-1,1]  \).

11 Septiembre, 2020, 06:36 pm
Respuesta #7

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Lo que se tiene recursivamente es \( 5 \cdot |f(y_k)| \leq |f(y_{k-1})|  \) o \(  5^{k-1}\cdot |f(y_k)| \leq |f(y_1)|  \)

Espera.

Sea    \( y_1\in{[a,b]} \). Entonces

\( \exists{\,y_2}\textrm{ tal que }5f(y_2)\leq{f(y_1)} \)

\( \exists{\,y_3}\textrm{ tal que }5f(y_3)\leq{f(y_2)} \)

\( \exists{\,y_4}\textrm{ tal que }5f(y_4)\leq{f(y_3)} \)

...

de donde

\( 5f(y_2)\leq{f(y_1)} \),    \( 25f(y_3)\leq{5f(y_2)} \),    \( 125f(y_4)\leq{25f(y_3)} \)...

por consiguiente

\( 5^kf(y_{k+1})\leq{5^{k-1}f(y_k)} \)

y dividiendo por     \( 5^k \)

\( 5f(y_{k+1})\leq{f(y_k)} \)    \( k=2,3,\ldots \).

11 Septiembre, 2020, 08:03 pm
Respuesta #8

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Sólo queda poner la demostración que hice en el hilo enlazado,que es directa no por contradicción , por ejemplo una función que verifica lo citado es \( f(x) = x^2  \) en \( [-1,1]  \).

Eh? No entiendo.

11 Septiembre, 2020, 08:05 pm
Respuesta #9

Juan Pablo Sancho

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Un poco lioso para llegar a \( 5 \cdot f(y_{k+1}) \leq f(y_k)  \) por inducción sale.
Si tienes que (suponiendo que \(  f(x) > 0  \) para todo \( x \in [a,b]  \)) ,  \( \ \ \ 0 \leq f(y_k) \leq \dfrac{f(y_1)}{5^{k-1}}  \)
Forzosamente tienes que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(y_{k}) = 0  \) en contra de ser \( f \) positiva.
Toma  la subsucesión \( \{y_{k_n} \}_{n=1}^{+\infty}  \) de \(  \{y_k\}_{k=1}^{+\infty}  \) convergente a \( \sigma \)

Pon lo que no entiendes.

11 Septiembre, 2020, 08:39 pm
Respuesta #10

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Sólo queda poner la demostración que hice en el hilo enlazado,que es directa no por contradicción , por ejemplo una función que verifica lo citado es \( f(x) = x^2  \) en \( [-1,1]  \).

¿Que la función    \( f \)    verifique que para cada    \( x\in{[-1,1]} \)     hay algún    \( y\in{[-1,1]} \)    tal que  \( 5\big|y^2\big|\leq{\big|x^2\big|} \)    entonces se anula en algún punto de    \( [-1,1] \)    prueba que toda función definida en    \( [a,b] \)    que lo verifique se anula en algún punto de    \( [a,b] \)?

Toma la función    \( f(x)=x^2+1/6 \)    en    \( [-1,1] \)

EDITADO.

Me acabo de dar cuenta. La función no verifica la hipótesis puesto que para     \( x=0\in{[-1,1]} \)    \( \not\exists{\,y\in{[-1,1]}} \)    verficando    \( 5\big|y^2\big|\leq{}5\cdot{}|0^2|=0 \)

11 Septiembre, 2020, 11:09 pm
Respuesta #11

Juan Pablo Sancho

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Confundes el dominio con el codominio, será que dado \( x = 0  \) no existe \( y \in [-1,1]  \) tal que:
\( 5 \cdot f(y) \leq f(0)  \)

11 Septiembre, 2020, 11:37 pm
Respuesta #12

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Confundes el dominio con el codominio, será que dado \( x = 0  \) no existe \( y \in [-1,1]  \) tal que:
\( 5 \cdot f(y)\color{red}=5\cdot{}y^2\color{black} \leq f(0) \color{red}=0 \)

11 Septiembre, 2020, 11:48 pm
Respuesta #13

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12 Septiembre, 2020, 12:07 am
Respuesta #14

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\( f(x) = x^2 + 1/6 \geq 1/6 > 0  \).

Para    \( x=0\in{[-1,1]} \)    no existe ningún    \( y\in{[-1,1]} \)    tal que    \( 5\big|y^2+1/6\big|\leq{\big|x^2+1/6\big|}=1/6 \).

La función    \( f:[-1,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( f(x)=x^2+1/6 \)    es continua pero no verifica la segunda hipótesis. Además tampoco se anula en ningún punto    \( c\in{[-1,1]} \).

La función    \( f:[-1,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( f(x)=x^2 \)    tampoco verifica la hipótesis    \( 5\big|y^2\big|\leq{\big|x^2\big|}=0 \)    No existe ningún    \( y\in{[-1,1]} \)    que la verifique para    \( x=0 \),    aunque ésta si se anula en    \( x=0\in{[-1,1]} \).   

12 Septiembre, 2020, 12:22 am
Respuesta #15

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Medita antes un poco, para \( f(x) = x^2 +\dfrac{1}{6}  \) justo puse lo que puse para que vieras que no se cumplía, para \( f(x) = x^2  \) se cumple para todo \( x \in [-1,1]  \) evidentemente, si \( x = 0 \) tomo \(  y=0 \) ¿no lo cumple?.

12 Septiembre, 2020, 12:28 am
Respuesta #16

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Medita antes un poco, para \( f(x) = x^2 +\dfrac{1}{6}  \) justo puse lo que puse para que vieras que no se cumplía, para \( f(x) = x^2  \) se cumple para todo \( x \in [-1,1]  \) evidentemente, si \( x = 0 \) tomo \(  y=0 \) ¿no lo cumple?.

Bueno, un poco raspado. Se debería suponer que    \( y\neq x \)    porque sino el ejercicio pierde la gracia. ¿No?
Se puede uno atascar en un bucle. Para    \( y_1=0 \)    \( y_2=0 \)    lo verifica, para    \( y_2=0 \)    \( y_3=0 \)    lo verifica, etc.
Habría funciones contantes que sí verificarían las hipótesis y no se anularían.

¿Que no se cumplía el qué?

12 Septiembre, 2020, 12:52 am
Respuesta #17

Juan Pablo Sancho

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El enunciado dice:

Sea    \( f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    continua. Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que

\( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{2}{10}\Big|f(x)\Big|} \).    Prueba que    \( f \)    se anula en algún punto de    \( [a,b] \).


No dice:

Sea    \( f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    continua. Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que

\( \Big|f(y)\Big|\color{red} <  \color{black}  {\displaystyle\frac{2}{10}\Big|f(x)\Big|} \).    Prueba que    \( f \)    se anula en algún punto de    \( [a,b] \).



Para esto:

Se puede uno atascar en un bucle. Para    \( y_1=0 \)    \( y_2=0 \)    lo verifica, para    \( y_2=0 \)    \( y_3=0 \)    lo verifica, etc.
Habría funciones contantes que sí verificarían las hipótesis y no se anularían.

¿Que no se cumplía el qué?

Por favor medita las respuestas.

12 Septiembre, 2020, 01:14 am
Respuesta #18

Buscón

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El enunciado dice:

Sea    \( f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    continua. Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que

\( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{2}{10}\Big|f(x)\Big|} \).    Prueba que    \( f \)    se anula en algún punto de    \( [a,b] \).


No dice:

Sea    \( f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    continua. Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que

\( \Big|f(y)\Big|\color{red} <  \color{black}  {\displaystyle\frac{2}{10}\Big|f(x)\Big|} \).    Prueba que    \( f \)    se anula en algún punto de    \( [a,b] \).



Para esto:

Se puede uno atascar en un bucle. Para    \( y_1=0 \)    \( y_2=0 \)    lo verifica, para    \( y_2=0 \)    \( y_3=0 \)    lo verifica, etc.
Habría funciones contantes que sí verificarían las hipótesis y no se anularían.

¿Que no se cumplía el qué?

Por favor medita las respuestas.

Si, es cierto, otra metedura de pata, de las funciones constantes sólo la función    \( f(x)=0 \)    para todo    \( x\in{[a,b]} \)    verificaría las hipótesis y lógicamente se anula en algún punto por que se anula en todos.

12 Septiembre, 2020, 06:58 pm
Respuesta #19

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El enunciado dice:

Sea    \( f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    continua. Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que

\( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{2}{10}\Big|f(x)\Big|} \).    Prueba que    \( f \)    se anula en algún punto de    \( [a,b] \).


No dice:

Sea    \( f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    continua. Supongamos que para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que

\( \Big|f(y)\Big|\color{red} <  \color{black}  {\displaystyle\frac{2}{10}\Big|f(x)\Big|} \).    Prueba que    \( f \)    se anula en algún punto de    \( [a,b] \).



Con respecto a esto, insisto.    El    \( \leq{} \)    relaciona los valores de la función, no los del dominio. Entonces  para esta función en concreto,

Sólo queda poner la demostración que hice en el hilo enlazado,que es directa no por contradicción , por ejemplo una función que verifica lo citado es \( f(x) = x^2  \) en \( [-1,1]  \).

que casualmente converge a cero cuando    \( x\rightarrow{0} \),    resulta que para    \( x=0 \)    no existe ningún    \( y\neq x \),    \( y\in{[-1,1]} \)    que verifique la desigualdad.

Además, aunque esa función en concreto lo verificase no probaría que en general es cierto.