Mira la demostración de delmar en este hilo:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=96785.msg388661#msg388661
Si, gracias, una vez uno se da cuenta de lo que apunta
delmar la cosa es sencilla. Se trata prácticamente del mismo ejercicio. Dejo mi desarrollo de todas formas.
Al suponer que no existe \( c\in{[a,b]} \) tal que \( f(c)=0 \), se puede tomar por ejemplo que \( \forall{x\in{[a,b]}},\;\;\;f(x)>0 \), con lo que la hipótesis se puede expresar
\( \forall\;{x\in{[a,b]}},\;\;\;\exists\;{y\in{[a,b]}} \) tal que \( f(y)\leq{\displaystyle\frac{2}{10}f(x)} \).
Por otra parte, el teorema de
Weierstrass garantiza que existe en \( [a,b] \) \( f(x_{min}) \) para el cual la función verifica
\( f(x_{min})\leq{f(x)},\;\;\;\forall\;{x\in{[a,b]}} \).
Aplicando las hipótesis a \( x_{min}\in{[a,b]} \) también debería existir \( y\in{[a,b]} \) para el cual se debería verificar
\( 0<f(y)\leq{\displaystyle\frac{2}{10}}f(x_{min})<f(x_{min})\leq{f(x)} \) para \( x\in{[a,b]} \),
de dónde, para \( y\in{[a,b]} \), sería \( f(y)<f(x_{min}) \), pero esto sería absurdo por que \( f(x_{min}) \) es el mínimo absoluto de la función.
El razonamiento es análogo con \( f(x_{max}) \) si se supone \( f(x)<0,\;\;\;\forall\;{x\in{[a,b]}} \). Se puede concluir entonces que la función debe tomar valores positivos y negativos en \( [a,b] \), y por el teorema de Bolzano, ha de existir \( c\in{[a,b]} \), para el cual \( f(c)=0 \)
c.q.d.Saludos.
