Con esto te quiero decir que la matemática que "leo" fuera de mi ámbito universitario no se relaciona en nada a lo que vengo estudiando.
Por eso te decía que estudiar matemáticas "por vicio" sin contar con una buena base de matemáticas "académicas" es más difícil que si se cuenta con dicha base, pero sigo sin ver a dónde quieres llegar con eso. En efecto, te interesan cosas que tienen poca relación con tus estudios universitarios, ¿y qué consecuencia quieres sacar de eso?
Vos fijate que el "Infinito en acto / potencia" no aparece en ningún lado como consecuencia del estudio de conjuntos infinitos, sus propiedades, sus límites, etc. (eso lo podés ver mejor en el PDF de Matemática Discreta, donde apenas nos enseñaron a hacer demostraciones de conjuntos con sus operaciones básicas).
Tampoco lo verás en ninguno de mis libros. Yo tampoco hablaría de eso a la hora de explicar esas cosas. Alguien podría decir que, en el fondo, sí que estaría hablando de eso al explicarlas, pero no creo que se gane nada desviando la atención hacia esos conceptos a la hora de explicar y sacar a relucir las ideas subyacentes en esos conceptos.
Pero... en tu apunte de Teoría de Conjuntos (disponible en tu página) ¡mis estudios sobre conjuntos se basan sólo en el 1er capítulo! Tomá los contenidos de la Unidad II y contrastalos con todo tu libro... ni llego a pasar la Unidad II porque la Definición 2.1 habla de "Una fórmula sin descriptores...". No tengo idea por qué hablás en conjuntos de la fórmula esa, y menos sin descriptores... ¿Qué hubiera pasado si hablaras de "fórmula con descriptores"? ¡Dios por qué no enseñaron eso!
Ojo, no es "Teoría de conjuntos", sino "TeoríaS de conjuntos". Ese libro está dedicado a presentar varias teorías de conjuntos distintas de las usuales, más o menos exóticas, cuyo interés se debe a razones muy técnicas. Mi libro de "Teoría de conjuntos" (en el que expongo la teoría de conjuntos usual) es otro. Ése requiere mucha base de lógica matemática, mientras que mi (auténtico) libro de Teoría de conjuntos no. Has ido a buscar uno de los libros más complicados que podías encontrar en mi página web.
Lo que quiero decir es que se me hace muy complicado estudiar por fuera de mi universidad; puedo leer solamente, y quedarme con las dudas, porque implicaría estar en un curso, y eso escapa a las reglas del foro.
Aquí sí que me dejas atónito (mira:
) ¿Qué es lo que escapa a las reglas del foro? En este foro puedes preguntar cualquier duda en cualquier momento, y cualquier concatenación de dudas. No hay ninguna regla que ponga trabas a eso y, al contrario, el espíritu de este foro es que así sea.
Y hablar con un docente me diría "Pero no te especialices en eso; mejor estudiá para el resto de las materias; no, no te puedo explicar eso porque escapa al curso en el que estás", etc.
Eso ya depende de cómo sean los docentes con que te encuentres. Aquí en mi entorno estoy seguro de que muchos dirían lo mismo simplemente porque apenas saben poco más del (bajo) nivel de las asignaturas que explican, pero también sé de otros que con gusto organizarían seminarios informales para alumnos deseosos de saber más de lo que exigen sus temarios. El problema suele ser que no abundan alumnos así (o pasan desapercibidos porque, como tú, piensan que sería improcedente preguntar).
Pensé que sí ibas a tener una idea bastante buena de lo que él escribe (obviamente ni te di un día para que lo leyeras jajaja, pero vos mismo dijiste que no entendiste gran cosa).
Las matemáticas llegan a niveles de especialización muy sofisticados. No es raro que un matemático que conozca bien una o varias áreas de la matemática no entienda nada de un tema muy especializado de un área distinta.
Yo pienso lo contrario... Todo lo que pinté en negrita habla de, entiendo yo, los dibujos en las demostraciones. Yo hablo de lo más riguroso que puede haber... hacer matemáticas representada en un dibujo no creo que sea el camino más riguroso que pueda haber. De hecho, me parece totalmente inapropiado hacer esquemas, dibujos, u otra representación gráfica que involucre algo que puedas ponerlo en forma de ecuación, como decís. Una tabla que contenga datos sí sería bueno tenerlo como tabla (como debe pasar con la estadística, donde se manipulan muchos datos); pero los conjuntos, las relaciones, etc., para mí, NO deben admitir dibujo alguno.
Sobre esto hay mucho que decir. Por una parte, tienes una idea demasiado generosa de lo que es "un dibujo". Estirándola un poco más (pero no mucho), podríamos decir que \( 2+2=4 \) no es riguroso porque es un dibujo: el dibujo de un patito esquemático, seguido del dibujo de una cruz, seguido de otro patito, seguido de dos palitos, seguido de un arbolito esquemático. Pero tú entiendes perfectamente que \( 2+2=4 \) no es un dibujo, y yo te digo que, exactamente en el mismo sentido, podemos afirmar que el esquema de la foto que has puesto
tampoco es un dibujo, aunque te empeñes en considerarlo como tal.
El lenguaje matemático extiende al lenguaje ordinario con muchos signos específicos, como \( +, = \), etc., y en ocasiones también es útil extender la forma de escribir para admitir "frases" bidimensionales en lugar de unidimensionales. ¿Por qué la escritura unidimensional es rigurosa y la bidimensional no? Considera este enunciado:
Teorema: Los números del 1 al 9 se pueden disponer en forma de cuadrado \( 3\times 3 \) así:\( \begin{array}{ccc}2&7&6\\ 9&5&1\\ 4&3&8\end{array} \)
de modo que todas las filas, columnas y las dos diagonales sumen \( 15 \).¿Qué tiene este enunciado para no ser riguroso? ¿No es inequívoco lo que quiere decir "suma de filas" o "suma de columnas" o "suma de diagonales"? Podría enunciar lo mismo unidimensionalmente, pero resultaría más difícil de leer y más difícil comprobar que la afirmación es cierta. ¿Qué se gana con eso?
¿Es riguroso considerar el sistema de ecuaciones \( 2x+3y=5 \), \( 3x+5y=8 \)? ¿Y si lo represento así:
\( \begin{array}{r}
2x+3y=5\\
3x+5y=8
\end{array} \)
ya he perdido rigor por alinear las ecuaciones bidimensionalmente?
¿Y si lo represento así:
\(
\begin{bmatrix}{2}&{3}\\{3}&{5}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x}\\ {y}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{5}\\ {8}\end{bmatrix}
\)
ya he perdido todo el rigor, porque el enunciado ha pasado a ser un dibujo?
¿Y si lo expreso como \( AX^t = b^t \), donde \( A \) es la matriz anterior, \( X=(x, y) \) y \( b=(5, 8) \), ya vuelvo a ser riguroso porque la ecuación matricial es unidimensional?
Lo que te pasa con esto se llama ultracorrección, que consiste (al menos en una de sus modalidades) en creer que todo lo que es sencillo está mal, con lo que, recíprocamente, para que algo esté bien tiene que ser complicado.
¿Sabes por qué el verbo "ir" tiene formas tan distintas como "voy" e "iba"? porque en latín había dos verbos: el verbo
ire y el verbo
vadere, que aproximadamente significaban lo mismo, pero en la Edad Media, cuando la gente no tenía mucha educación, se difundió la creencia entre los que presumían de cultos de que las palabras breves eran vulgares y las largas eran cultas, y así, "
eo" ("voy" en perfecto latín clásico) se consideró vulgar por ser una palabra demasiado breve, y se dejó de usar para sustituirla por "
vado", que, como tenía el doble de letras, era más "rigurosa". En cambio, como "
ibam" ("iba" en perfecto latín clásico) ya tenía cuatro letras, sí que era "rigurosa" y no hacía falta sustituirla por "
vadebam". El resultado, una mezcla absurda producto de la ultracorrección.
Tú estás haciendo lo mismo. Desprecias formas de expresión totalmente precisas y rigurosas sólo porque te parecen "demasiado fáciles". Bueno, sólo por eso no, porque a continuación das algunos argumentos más, que paso a discutir:
De hecho en tu libro de "Teoría de Conjuntos" casi no aprecio dibujos, y eso me parece bien.
No tiene "dibujos" (aunque lo que llamas dibujos no lo son) porque no han hecho falta. Pero mira, por ejemplo, la página 14 o la página 15, o la página 187, donde verás fórmulas con numeritos debajo de algunos signos. Eso es una escritura "bibimensional". ¿No es rigurosa?
Si bien es una manera de entender mejor el / los concepto/s, no tiene suficiente rigor como para expresar lo mismo pero con palabras o flechas sin un dibujo (para mí, que me considero una persona ordenada y casi formalista).
Pero eso es una afirmación totalmente arbitraria. Igualmente podrías decir que no consideras rigurosas las fórmulas que empiezan con un \( 7 \). ¿Por qué?
Hasta creo que distintos tipos de flechas hacen alusión a distintas cosas; \( \Rightarrow \) no es lo mismo que \( \to \). Para la primera yo la vi en proposiciones lógicas (\( p\Rightarrow q \)); la segunda aparece en funciones de Cálculo, como \( f:A\to B\ldots \) Si esas flechas las llevamos al gráfico creo que yo vería más problemas (porque me decís que modificando la flecha no cambia en nada; y yo te digo que sí cambia).
Y yo te repito que no cambia. Si crees que un diagrama de flechas no es riguroso porque crees que cambiar la longitud de las flechas cambia algo cuando en realidad no cambia nada, tú mismo te falseas tus propias premisas. En efecto, hay distintos tipos de flechas, y puedes encontrar diagramas de flechas en los que no es lo mismo una flecha recta que una flecha con la cola curvada, o una flecha doble,o una flecha con una rayita en medio atravesándola, etc., pero eso es la esencia del lenguaje. Tampoco es lo mismo una \( C \) que una \( G \), y se diferencian en la forma en que acaba la parte de abajo de la curva.
Encontré un ejemplo de esto en tu libro 
(página 237):
¿Y eso qué tiene que ver? En realidad no es más que una diferencia estilística. Es costumbre escribir una flecha larga cuando representas una aplicación y una flecha corta cuando expresas una implicación, pero si en esa imagen que pones cambiaras la longitud de las flechas, no cambiarías el significado de nada. Simplemente, "se vería raro" ver escrita una aplicación con una flecha corta y una implicación con una flecha larga, pero se vería igual de raro que si en lugar de escribir función escribiera funcióN. Se vería raro, pero no alteraría el significado, a pesar de que, en otros contextos, cambiar una "n" por una "N" puede cambiar el sentido de una fórmula matemática.
Repito, en un gráfico lo vería mucho más difícil de explicar rigurosamente que en una línea de hoja (como en la imagen).
No te endiendo. ¿Más difícil de explicar rigurosamente el qué?
Podrás decirme, "Pero nunca nadie ha tenido problemas leyendo un dibujo"...
No. Lo que te digo es que lo que llamas dibujos no son dibujos, en el mismo sentido en que los jeroglíficos egipcios no son dibujos, sino palabras, y en el mismo sentido en que \( 2+2=4 \) no es un dibujo. Los ejemplos que pones de "dibujos" son frases de un lenguaje que admite expresiones bidimensionales porque la bidimensionalidad no contradice en nada al rigor.
y seguramente tengas razón, pero a mi particularmente veo a la matemática pura como un ser abstracto carente de representación posible; si en un momento escribís una flecha larga y luego no, mi cabeza entra en un conflicto interno, porque hay dos tipos de flechas distintos y en un gráfico es posible que esta distinción no aparezca...
Pero es que en los gráficos de los que hablas la longitud de las flechas no es significativa. En cambio, sí pueden ser significativas otras diferencias que se aprecian sin dificultad, como flechas con dos cabezas, o con dos colas, etc. Y la situación es la misma que con cualquier otra expresión lingüística, es decir, en la que el significado no depende de características cuantitativas de los "dibujos" que forman cada palabra, sino de características cualitativas como las que distinguen una p de una q o un \( + \) de un \( \times \), sin que importe si el rabito de la p es más largo o más corto.
Lo decía en el sentido de que esa pregunta incomoda a muchos de los profesores, pues si uno no llega a entender algo y se siente con la valentía de alzar la mano, el profesor le va a contestar un poco enojado 
.
No sé qué harán otros profesores, pero yo distingo entre un alumno que pregunta porque no entiende algo y resulta que ha venido a clase sin haberse repasado la clase anterior y, en su caso, haber preguntado lo que no entendía de ella, del alumno que sí que ha entendido la clase anterior, pero hay algo de la actual que no entiende. Quien no entiende porque no se ha preocupado de estudiar lo necesario no puede pretender que el profesor pierda tiempo explicándole a él lo que sus compañeros más responsables ya saben, pero quien no entiende algo porque es difícil de entender hace bien en preguntar, porque si no pregunta, luego ya no tendrá derecho a preguntar cuando no entienda la clase siguiente, porque si no entiendes lo primero la culpa es del profesor, pero si no entiendes lo segundo porque no te has preocupado de entender lo primero, la culpa es tuya.
En mi caso creo haberte entendido todo (junto a los otros que participan en este tema), pero nada, quería decirte eso como alusión a "No preguntes más" (aunque me respondas "Pregunta todo lo que quieras") 
.
Eso no lo entiendo. Cuando yo le he dicho a pierrot que si quiere más aclaraciones que pregunte, no quería decir "no preguntes más". Quería decir que si quiere más aclaraciones, que pregunte. Y lo he dicho porque no sé si con ver por encima la demostración por la que preguntaba ya se forma una idea de los resultados que requiere la prueba o si quiere saber algo más concreto, en cuyo necesitaré que me concrete qué quiere saber para que yo pueda decirle algo más preciso.
¿En qué rama de la matemática sentís que tenés más teoría estudiada? ¿Coincide con la que entendés más?
Pues no sé. Tal vez la lógica y la teoría de conjuntos, pero también el álgebra y la teoría de números.
¿Qué trabajo te hace ganar dinero real? (Podés saber un montón de conjuntos pero si tuvieras que explicarlo no sabrías cómo, aunque de conjuntos no tendría que haber elegido... considero que ahí sí conocés y entendés mucho) (La última pregunta puede quedar vacante si querés).
No veo la relación entre la primera pregunta y el paréntesis. Yo soy profesor de matemáticas en la facultad de Economía de la Universidad de Valencia. Lo que explico a mis alumnos son rudimentos de derivadas, integrales, y esas cosas, así como optimización (cálculo de máximos y mínimos). No sé a qué te refieres con que no sabría cómo explicar lo que sé.
