[feriva]

Hola, manooooh.

La primera vez que yo oí hablar de infinito potencial e infinito actual fue aquí en el foro; muy al principio de entrar. Puse un hilo opinando sobre la metáfora de “El hotel de Hilbert” (y añado que desconocía como se definían muchas cosas, más que ahora). Contaba que yo veía ese hotel en construcción y que de esa manera había un cliente que pasaba a una habitación que se acababa de construir. Añadía que de la otra forma no lo entendía o me parecía imposible (y era porque en ese entonces asumía que si ya estaba construido tenía que acabar en alguna habitación; sin embargo, hoy me doy cuenta de que, cuando se trata de números y cosas abstractas -no de hoteles- no hay necesariamente esa implicación;). 
Entonces, Fernando Revilla me contestó algo así, “o sea, el infinito potencial y el infinito actual”. Hasta entonces nunca había oído esto.

Creo que ningún ejemplo físico es bueno, pero los hay mejores y peores.  Yo pondría este ejemplo: tienes una espiral ilimitada encima de ti; la puedes seguir con los ojos, girando la cabeza y recorriendo su contorno o puedes dejar la cabeza quieta y mirarla con una visión general. La primera forma de observarla es la potencial, la espiral existe potencialmente, pero observas su existencia poco a poco; la segunda es la actual, la miras con un golpe de vista. Esto último no implica que tenga fin, porque si piensas en geometría proyectiva y te imaginas la espiral dibujada como un cono, un cono cuyo fondo interior se aleja hacia el punto de fuga (como si miraras el interior de un cucurucho) tal punto está a distancia infinita y las espiras serán infinitas; sin embargo lo puedes mirar sin mover la cabeza, sin recorrer el contorno (pero no dejas de poder hacerlo así también si quieres; puedes elegir).


Saludos.

[Fernando Revilla]

Respecto a la distinción entre infinito en potencia e infinito en acto, no creo que sea una jerga muy aconsejable para hablar de estas cosas (rara vez ayuda en nada emplear jerga inventada por filósofos, más bien suele contribuir a volver las cosas más confusas),

Sea jerga o no, sea inventada por filósofos o no, es bastante aconsejable hacer la distinción entre infinito potencial y actual. Es una necesidad gnoselógica primaria. 

Al contrario, los infinitos de Cantor son un concepto matemático muy preciso, susceptible de ser presentado con absoluto rigor, como cualquier otro concepto matemático, mientras que los infinitos potenciales y actuales son jerga filosófica... harina de otro costal.

Sin duda que los infinitos de Cantor son un concepto matemático muy preciso. Un vez leí que al proclamarse la Repúbilca en un determinado país, alguien propuso quitar la ficha del Rey del ajedrez y poner en su lugar la de presidente de la República. Ésta última se movería como torre alfil y caballo. Ignoro si alguien empezó a escribir tratados sobre la nueva ficha, pero el rigor de los tratados del ajedrez "tradicional", seguro que no cambió. 

[Carlos Ivorra]

Sea jerga o no, sea inventada por filósofos o no, es bastante aconsejable hacer la distinción entre infinito potencial y actual. Es una necesidad gnoselógica primaria. 

A un nivel muy básico, la distinción tiene sentido. Me autocito:

... porque debo reconocer que detrás de la distinción entre "infinito en potencia y en acto" sí que hay una idea coherente, pero es una idea demasiado vaga, en el sentido de que, en casos muy dispares es fácil decir "esto es un infinito meramente potencial" y "esto otro es un infinito actual", pero las fronteras son difusas, y si tratas de precisarlas llegarás a plantearte preguntas del tipo "¿este infinito es potencial o actual?" que no admitan una respuesta objetiva, porque dependerá de cómo interpretas "este infinito" y de cómo interpretas concretamente "potencial / actual". Y ahí entramos en la cuestión de si es difícil entender la diferencia (en casos sutiles) o si realmente no hay nada que entender. Yo opino lo segundo.

Desarrollando esto que decía, podemos decir, por ejemplo, que a la hora de concebir el lenguaje formal en el que se formula la teoría de conjuntos, no es necesario suponer un infinito actual a pesar de que se postule que el lenguaje tiene infinitas variables, porque en cada momento sólo se usará un número finito de ellas, y el requisito es que siempre sea posible añadir más en caso de que sean necesarias, de modo que nunca podamos decir que algo es indemostrable porque una demostración requeriría más variables de las existentes. No hay un número máximo de variables que puedan ser empleadas en una demostración, aunque en cada demostración sólo puede haber un número finito de variables.

Más en general, la distinción entre infinito real y potencial es una necesidad a la hora de distinguir, por ejemplo, si uno es finitista, intuicionista, formalista, platonista o cualquier otro -ista. Tu observación (al menos, según la entiendo) viene a decir que es fundamental ser consciente de que Einstein era mucho más inteligente que Trump, y que si alguien no tiene eso bien claro es que no sabe en qué mundo vive. Y, en efecto, así es. Se trata de un hecho objetivo e inequívoco.

Sin embargo, si uno insiste en comparar inteligencias hilando más fino, se encuentra con que el concepto de "inteligencia" se desdibuja, y puede concluir que un sujeto es más o menos inteligente que otro en función principalmente de la forma en que precise el sentido de la palabra "inteligencia", de manera que múltiples sentidos dan lugar a múltiples ordenaciones mutuamente contradictorias entre conjuntos finitos de sujetos.

Igualmente, si uno intenta llegar muy lejos con la distinción entre infinito actual y potencial (por ejemplo, si trata de aplicarla a la teoría abstracta de conjuntos, algo totalmente alejado del finitismo, intuicionismo y casi todos los -ismos), todo se empantana. Por ejemplo, pongo un caso extremadamente simple (se podría empantanar todo mucho más). Consideremos los primeros ordinales:

\( 0, 1, 2, \ldots, \omega, \omega+1, \omega+2 \)

Me paro ahí. Podría poner unos puntos suspensivos, pero me paro en \( \omega+2 \). Pregunto: Al considerar el ordinal \( \omega+2 \), que técnicamente es el conjunto de los ordinales anteriores, ¿estoy suponiendo un infinito actual o puedo considerar que sólo estoy tratando con un infinito potencial? Respuestas posibles:

• Desde el momento en que estamos hablando de teoría de conjuntos, todos los infinitos son actuales, pues la teoría de conjuntos es eso, tratar con los conjuntos, finitos o infinitos, como totalidades preexistentes a cualquier razonamiento.
• Lo anterior es falso, porque los infinitos del cálculo de límites también son parte de la teoría de conjuntos y son "claramente" infinitos potenciales.
• Pero lo anterior no se aplica a nuestro caso, porque al considerar \( \omega+2 \) estoy presuponiendo que puedo contar hasta \( \omega+2 \), lo cual supone en particular recorrer todos los números naturales, luego tenemos un infinito actual.
• Lo anterior es falso, porque siempre puedo considerar que tengo, por una parte un infinito potencial de números naturales más tres objetos más (un número finito) llamados \( \omega, \omega+1, \omega+2 \), de modo que puedo hablar de \( \omega+2 \) sin suponer los números naturales como un todo, ya que sólo tengo que suponer que culquier natural \( n \), por grande que sea, es menor que \( \omega, \omega+1, \omega+2 \), pero para ello no necesito suponer la totalidad de los números naturales.
• Pero lo anterior es falso, porque el primer punto es verdadero: desde el momento en que consideramos los ordinales formalizados en la teoría de conjuntos, todos los infinitos son actuales, aunque en teoría se pudiera pensar en ellos potencialmente. La teoría de conjuntos es lo que es y no tiene sentido hablar de "pensar finitistamente" algunos de sus fragmentos.
• Pero lo anterior es falso, porque es posible hablar finitistamente de algunos ordinales numerables, mucho más allá de \( \omega+2 \), sin necesidad de apoyarse en la teoría de conjuntos.
• Pero lo anterior es falso, porque, aunque puedas "manipularlos finitistamente", sin infinitos actuales, el mero concepto de \( \omega+2 \) ya presupone un infinito actual, por el tercer punto.
• Pero lo anterior es falso, porque si he podido dar argumentos filosóficos para rebatir cada punto hasta aquí, éste no iba a ser una excepción, y no será difícil encontrar un argumento filosófico adecuado.

Y en este punto es donde conviene recordar que la teoría axiomática de conjuntos se inventó ni más ni menos que para blindar las matemáticas de toda polémica filosófica. Uno puede ser platonista, intuicionista, formalista o lo que quiera (dentro de los límites razonables marcados por la coherencia interna), pero nada de eso debería influir a la hora de entender un resultado matemático como el problema de la (no existencia de la) resta de cardinales que plantea manooooh.

Si la matemática formal moderna se ha inventado para que no sea necesario filosofar a la hora de entender correctamente ningún resultado matemático (sólo es necesaria una filosofía mínima para explicar y justificar en qué consiste esa fundamentación moderna de la matemática) y alguien (como manooooh) considera en un momento dado que necesita filosofar para entender bien un resultado conjuntista formal, se plantean dos alternativas:

1) O bien el proyecto de blindar la matemática de la filosofía (más allá del mínino imprescindible para construir sus fundamentos lógicos) ha fracasado y manooooh ha encontrado un punto oscuro que requiere de la filosofía para ser iluminado.

2) O bien manooooh, al no haber entendido una cuestión puramente conjuntista, ha creído por error que su duda era filosófica, cuando realmente no lo era.

A mí me parece mucho más plausible lo segundo, y por eso he tratado de explicarle que nunca va a necesitar disquisiciones filosóficas para entender plenamente ninguna teoría matemática, tanto si trata de entenderla en el sentido riguroso de estudiar teoremas y demostraciones, como si trata de entenderla en términos de divulgación o en términos históricos.

Al contrario, los infinitos de Cantor son un concepto matemático muy preciso, susceptible de ser presentado con absoluto rigor, como cualquier otro concepto matemático, mientras que los infinitos potenciales y actuales son jerga filosófica... harina de otro costal.

Sin duda que los infinitos de Cantor son un concepto matemático muy preciso. Un vez leí que al proclamarse la Repúbilca en un determinado país, alguien propuso quitar la ficha del Rey del ajedrez y poner en su lugar la de presidente de la República. Ésta última se movería como torre alfil y caballo. Ignoro si alguien empezó a escribir tratados sobre la nueva ficha, pero el rigor de los tratados del ajedrez "tradicional", seguro que no cambió. 

Aquí me pierdo. No he sido capaz de captar lo que querías expresar con ese ejemplo. La mejor conjetura a la que he llegado es si acaso querías decir que todos los teoremas de la teoría de conjuntos nunca van a alterar los hechos intuitivamente ciertos sobre los números naturales, y similares. Si es eso, estoy completamente de acuerdo, pero sigo sin acabar de entender exactamente la relación con lo anterior.

[manooooh]

Hola a todos


Carlos:

\( \begin{array}{ccl}
|\sen x|&&\text{[nobbc][tex]|\sen x|[/tex][/nobbc]}\\
\lvert\sen x\rvert&&\text{[nobbc][tex]\lvert\sen x\rvert[/tex][/nobbc]}
\end{array} \)

Ah, ahí sí que se nota la diferencia ¿ves cómo me sobreestimabas? A partir de ahora trataré de recordarlo y usar \lvert, \rvert. ¿Y cómo pones las normas?, porque yo, para poner \( \|x\| \) pongo \|x\|, y pasará lo mismo.

Es cierto; un ejemplo más claro es \( \|+x\| \) usando [tex]\|+x\|[/tex]. La forma de arreglarlo de manera "nativa" es agregando [tex]\left\|\right\|[/tex] a las barras:

\( \begin{array}{ccc}
\|\sen x\|&&\left\|\sen x\right\|\\
\|+x\|&&\left\|+x\right\|
\end{array} \)

Pero don Quijote nunca existió... Quizás deberías haber citado al autor de esa historia.

Tampoco existen los personajes de las fábulas, y eso no impide que podamos tomar ejemplo de ellos o aprender de sus errores. Te ponía a don Quijote como ejemplo de alguien que se volvió loco en su esfuerzo por entender palabras que realmente no tenían ni pies ni cabeza. Obviamente, tú no te volverás loco por tratar de entender la diferencia entre el infinito en potencia y el infinito en acto, pero lo que quería decirte es que con ello no harás más que perder el tiempo.

Pero insisto, si vamos a tomar ejemplos de personajes ficticios más vale que no creamos mucho en lo que dicen... Si bien nos hacen pensar, no recuerdo haber tomado nada importante de algún personaje para aplicarlo a la vida real (sino que la idea se queda rondando en mi cabecita). Puede ser que me vuelva loco y pierda tiempo... pongo demasiado empeño en muchísimas cosas que la gente cree que son insulsas, como por ejemplo escribir correctamente en \( \LaTeX \) (es decir, ahorrando recursos, usando lo menos posible otros paquetes, etc.). Espero que algún día alguien sea como yo y se fije en las pequeñas cosas que no aportan casi nada útil... (literalmente me estoy confesando con esto! jajaja). Si me contrataran ad-honórem para corroborar la existencia o no de una sóla coma en una demostración rigurosa, o cuidar el interlineado del texto o lo que fuera, con muchísimo gusto lo haría.

Yo considero que la filosofía debe existir y debe preguntarse por estos conceptos y por otros tantos más; nos hace pensar de un modo relajado, sin tantas estructuras. La matemática es la que le da cuerpo a esas ideas que se fijaron gracias a la filosofía.

Discrepo. No voy a discutir tu primera frase de este párrafo, porque tendríamos que entrar en terreno muy subjetivo y opinable, pero sí te rebato las dos siguientes: En primer lugar, no existe el "pensar de modo relajado, sin tantas estructuras". Se piensa bien o se piensa mal, pero no hay un camino real para la geometría ni un camino relajado hacia el conocimiento. Tengo la sensación de que confundes "filosofía" con "divulgación científica", que son conceptos muy distintos. Yo nunca he estudiado medicina, pero tengo una idea de para qué sirve el corazón, para qué sirven los pulmones, cómo funcionan, etc., y todo el mundo debería tener un conocimiento básico sobre el funcionamiento del cuerpo humano y muchas otras cosas de "cultura general", pero ese conocimiento no técnico sobre el funcionamiento del cuerpo humano no es "filosofía de la medicina", sino una simplificación de la medicina, apta para no especialistas como yo, muy provechosa en muchos sentidos, pero no filosofía.

En segundo lugar, no es cierto que la matemática dé cuerpo a ideas fijadas por la filosofía. Las matemáticas, y la ciencia en general, tratan en serio lo que la filosofía trata chapuceramente. Pero insisto en que "filosofía" no tiene nada que ver con "divulgación científica" ni con "matemática informal", como la que hacían los griegos. Tanto lo uno como lo otro son también cosas serias y provechosas.

En realidad lo que quise decir es que la segunda oración explica de modo más detallado la primera. O sea, estoy de acuerdo con vos en esta parte:

(...) Las matemáticas, y la ciencia en general, tratan en serio lo que la filosofía trata chapuceramente. (...)

Y no sólo la matemática; si me pongo a estudiar la historia del arte y me pregunto qué quiso dibujar tal persona, estudiando el contexto en el que lo dibujó, qué técnicas usó, etc., puede ser probable que mejore técnicas de dibujo, o desarrolle una teoría acerca del dibujo en tal siglo.

Cierto. Pero si te encuentras con un pintor y le preguntas: ¿consideras que este cuadro tuyo es un reflejo intimista de la sensación de soledad que esperimenta el hombre urbano ante un futuro deshumanizado? y él te responde que en la vida se le habría ocurrido pensar algo así, la conclusión es que vas totalmente desencaminado en tu intento de entender qué quiso dibujar tal persona, y que lo que procede es olvidarte de tu pregunta y tratar de entender bien la obra del pintor.

Del mismo modo te digo que si quieres entender la teoría de los cardinales de Cantor no te aprovechará perderte en disquisiciones sobre el infinito en potencia y el infinito en acto.

Comparto. Quizás es mi forma muy detallista de ver las cosas (andá a saber si ese pintor, en su interior quiso pintar de esa manera ). Pero reconozco que soy impaciente, y le doy muchas vueltas a cosas que la gente puede hacer en unos minutos (y le queda relativamente bien, pero yo trato de hacerlo sin el "relativamente" y a mi modo de ver).

Yo creo que la ciencia avanza gracias a las preguntas que nos hacemos de la naturaleza y la vida que tenemos (es decir, filosofando), y luego consensuar con el resto de los científicos si tal teoría es o no válida.

Si le quitas el paréntesis, estoy completamente de acuerdo. Pero el punto clave es que es fundamental hacerse las preguntas adecuadas y descartar las inadecuadas, mientras que el "es decir, filosofando" se traduce en la práctica en "cualquier pregunta es buena", y eso es —a mi juicio— un error.

De acuerdo .

P.D.: Como ves, a veces pienso mucho las cosas, por más que ya estén resueltas. Por ejemplo, cuando escribí la primera parte del mensaje (lo de \( \|+x\| \)) se me ocurrió agregar llaves entre [tex]\|\|[/tex] porque, aunque no soy experto, creo que tiene que ver con el orden en que \( \LaTeX \) interpreta la secuencia de caracteres. Y funciona de la misma manera que si pusieras left o right, como ves en mi respuesta líneas más arriba:
\( \begin{array}{ccl}
\|{+x}\|&&\text{[nobbc][tex]{\|{+x}\|}[/tex][/nobbc]} \\
\left\|+x\right\|&&\text{[nobbc][tex]\left\|+x\right\|[/tex][/nobbc]}
\end{array} \).

Con respecto a lo que escribís hasta el final, de acuerdo en todo . Gracias por hacerme ver ciertas cosas que no me había dado cuenta. No sólo respondés dudas de matemática... sino también sobre la FILOSOFÍA de la vida jajaja. Gracias.


feriva (por cierto, ¿puedo saber tu nombre? Me interesaría conocerlo si es que querés decirlo):

Hola

La primera vez que yo oí hablar de infinito potencial e infinito actual fue aquí en el foro; muy al principio de entrar. Puse un hilo opinando sobre la metáfora de “El hotel de Hilbert” (y añado que desconocía como se definían muchas cosas, más que ahora). Contaba que yo veía ese hotel en construcción y que de esa manera había un cliente que pasaba a una habitación que se acababa de construir. Añadía que de la otra forma no lo entendía o me parecía imposible (y era porque en ese entonces asumía que si ya estaba construido tenía que acabar en alguna habitación; sin embargo, hoy me doy cuenta de que, cuando se trata de números y cosas abstractas -no de hoteles- no hay necesariamente esa implicación;). 
Entonces, Fernando Revilla me contestó algo así, “o sea, el infinito potencial y el infinito actual”. Hasta entonces nunca había oído esto.

Me alegra saber que hayas podido "entrar" en este mundo de los infinitos; por más que sea sólo de forma muy general, como yo.

Creo que ningún ejemplo físico es bueno, pero los hay mejores y peores.  Yo pondría este ejemplo: tienes una espiral ilimitada encima de ti; la puedes seguir con los ojos, girando la cabeza y recorriendo su contorno o puedes dejar la cabeza quieta y mirarla con una visión general. La primera forma de observarla es la potencial, la espiral existe potencialmente, pero observas su existencia poco a poco; la segunda es la actual, la miras con un golpe de vista. Esto último no implica que tenga fin, porque si piensas en geometría proyectiva y te imaginas la espiral dibujada como un cono, un cono cuyo fondo interior se aleja hacia el punto de fuga (como si miraras el interior de un cucurucho) tal punto está a distancia infinita y las espiras serán infinitas; sin embargo lo puedes mirar sin mover la cabeza, sin recorrer el contorno (pero no dejas de poder hacerlo así también si quieres; puedes elegir).

Toda la razón; sumado a lo que decís te comparto un ejemplo del fragmento del libro que leí, donde dice que es "Imposible mostrar situaciones «reales» en las que el infinito en acto aparezca", debido a que sólo un "Ser sobrenatural tiene la capacidad de verlo" (muestra un ejemplo del infinito en potencia y otro en acto, contrastándolos en el ejemplo):






Carlos, nuevamente:

Pregunto: Al considerar el ordinal \( \omega+2 \), que técnicamente es el conjunto de los ordinales anteriores, ¿estoy suponiendo un infinito actual o puedo considerar que sólo estoy tratando con un infinito potencial? Respuestas posibles:

• Desde el momento en que estamos hablando de teoría de conjuntos, todos los infinitos son actuales, pues la teoría de conjuntos es eso, tratar con los conjuntos, finitos o infinitos, como totalidades preexistentes a cualquier razonamiento.
• Lo anterior es falso, porque los infinitos del cálculo de límites también son parte de la teoría de conjuntos y son "claramente" infinitos potenciales.
• Pero lo anterior no se aplica a nuestro caso, porque al considerar \( \omega+2 \) estoy presuponiendo que puedo contar hasta \( \omega+2 \), lo cual supone en particular recorrer todos los números naturales, luego tenemos un infinito actual.
• Lo anterior es falso, porque siempre puedo considerar que tengo, por una parte un infinito potencial de números naturales más tres objetos más (un número finito) llamados \( \omega, \omega+1, \omega+2 \), de modo que puedo hablar de \( \omega+2 \) sin suponer los números naturales como un todo, ya que sólo tengo que suponer que culquier natural \( n \), por grande que sea, es menor que \( \omega, \omega+1, \omega+2 \), pero para ello no necesito suponer la totalidad de los números naturales.
• Pero lo anterior es falso, porque el primer punto es verdadero: desde el momento en que consideramos los ordinales formalizados en la teoría de conjuntos, todos los infinitos son actuales, aunque en teoría se pudiera pensar en ellos potencialmente. La teoría de conjuntos es lo que es y no tiene sentido hablar de "pensar finitistamente" algunos de sus fragmentos.
• Pero lo anterior es falso, porque es posible hablar finitistamente de algunos ordinales numerables, mucho más allá de \( \omega+2 \), sin necesidad de apoyarse en la teoría de conjuntos.
• Pero lo anterior es falso, porque, aunque puedas "manipularlos finitistamente", sin infinitos actuales, el mero concepto de \( \omega+2 \) ya presupone un infinito actual, por el tercer punto.
• Pero lo anterior es falso, porque si he podido dar argumentos filosóficos para rebatir cada punto hasta aquí, éste no iba a ser una excepción, y no será difícil encontrar un argumento filosófico adecuado.

Wow, me pierdo entre tanta falsedad jajaja, buenas deducciones. Ahora me está pasando lo mismo con Gödel y su primer teorema de incompletitud (lo empecé a leer hace unos días)... hay partes en el texto que me pierdo, "por suponer que lo anterior es falso; pero si es falso es verdadero; pero si es verdadero entonces es falso" (sobretodo el llamado "método de autoreferencia"...). Y se crean lagunas en mi mente que es como ¡DIOS, QUÉ ESTOY LEYENDO! Pregunto, Fernando, Carlos, feriva, ¿nunca se perdieron en alguna definición introductoria para recién empezar a ver cierta matemática? A mí me pasa seguido (sobretodo las demostraciones formales de límites, las \( n \)-bolas, los puntos de acumulación, los puntos de no sé qué... todo tanto en \( \mathbb R \) como en \( \mathbb R^n \)).


Saludos

[Fernando Revilla]

Sin duda que los infinitos de Cantor son un concepto matemático muy preciso. Un vez leí que al proclamarse la Repúbilca en un determinado país, alguien propuso quitar la ficha del Rey del ajedrez y poner en su lugar la de presidente de la República. Ésta última se movería como torre alfil y caballo. Ignoro si alguien empezó a escribir tratados sobre la nueva ficha, pero el rigor de los tratados del ajedrez "tradicional", seguro que no cambió. 

Aquí me pierdo. No he sido capaz de captar lo que querías expresar con ese ejemplo. La mejor conjetura a la que he llegado es si acaso querías decir que todos los teoremas de la teoría de conjuntos nunca van a alterar los hechos intuitivamente ciertos sobre los números naturales, y similares. Si es eso, estoy completamente de acuerdo, pero sigo sin acabar de entender exactamente la relación con lo anterior.

Bien, a modo de símil, quise decir que se pueden hacer tratados rigurosos con el ajedrez "tradicional" y con el "republicano". Riguroso sería decir en el tradicional que una dama en general vale como dos torres y riguroso que en el republicano que la dama vale más. Uno es capaz de entender la rigurosidad de los infinitos de Cantor si acepta las reglas del juego que llevan a tal teoría y también entender la rigurosidad de su negación si acepta otras. Si uno no se preocupa de las reglas previas, asunto zanjado, pero si se preocupa (¿filosofa?) puede que dependiendo de la configuración de su cisura de Rolando (es un decir) puede sinceramente sentirse tentado a elegir unas determinadas reglas o bien otras.

Estoy seguro que cualquier matemático intuicionista entiende el rigor de la teoría de los infinitos de Cantor pero para él, esto lo consideraría sencillamente rigor metafísico, no matemático. Y es que la mencionada cisura juega malas pasadas  . No hay formas rigurosas únicas en el hacer matemático. Es importante (viajemos a la Ética) la honestidad intelectual, no se puede admitir la teoría de Cantor por ser preciosa (¡y lo es!)  ni negarla por ganarnos un halo de marginación u originalidad.

P.D. Lo dicho nada tiene que ver con la pregunta original de manooooh, pero el hilo ha derivado de forma natural.

[Fernando Revilla]

Fernando, Carlos, feriva, ¿nunca se perdieron en alguna definición introductoria para recién empezar a ver cierta matemática?

Me perdí un \( \aleph_0 \) de veces. En serio, ocurre con frecuencia que el análisis inicial de las cosas, cobra su verdadero sentido con la síntesis final. Ten en cuenta que las definiciones y teoremas que estudiamos se nos suelen presentar en orden inverso en el tiempo a su creación i.e. se nos dan ya investigados.

[manooooh]

Hola

P.D. Lo dicho nada tiene que ver con la pregunta original de manooooh, pero el hilo ha derivado de forma natural.

No te creas, creo que siempre que hablamos de matemática estamos aceptando, de cierta manera, un conjunto de leyes que son las nociones conjuntistas. Eso me gusta hablar; pero tampoco la monotonía de estar dando círculos a un mismo tema porque se hace un intríngulis de cosas y definiciones que prefiero no meterme. La pisca que tienen de derivar ciertas definiciones a otros campos cada vez me sorprende más de ustedes . Fijate que del título que puse no tiene nada que ver con la cardinalidad de la diferencia de dos conjuntos infinitos iguales (esa frase me recuerda a "Esta oración es falsa" y todo su análisis de axiomas aritméticos, autoreferencia, etcétera, etcétera y etcétera...).

Fernando, Carlos, feriva, ¿nunca se perdieron en alguna definición introductoria para recién empezar a ver cierta matemática?

Me perdí un \( \aleph_0 \) de veces. En serio, ocurre con frecuencia que el análisis inicial de las cosas, cobra su verdadero sentido con la síntesis final. Ten en cuenta que las definiciones y teoremas que estudiamos se nos suelen presentar en orden inverso en el tiempo a su creación i.e. se nos dan ya investigados.

Wow es cierto...

Saludos

[feriva]

Toda la razón; sumado a lo que decís te comparto un ejemplo del fragmento del libro que leí, donde dice que es "Imposible mostrar situaciones «reales» en las que el infinito en acto aparezca", debido a que sólo un "Ser sobrenatural tiene la capacidad de verlo" (muestra un ejemplo del infinito en potencia y otro en acto, contrastándolos en el ejemplo):

Sí, es una idea a la que todos, tarde o temprano, llegamos cuando pensamos en números; lo que dice el libro lo podríamos haber escrito cualquiera de nosotros (expresado con unas palabra u otras).

Me apetece hablar un poco más de cómo veo yo los detalles; ten siempre en cuenta que es el punto de vista de un hombre que ve las cosas desde fuera del mundo académico (bueno, no se puede decir sea así del todo del todo, pero es la opinión de un mero curioso del tema).

Cabe analizar algo más en cuanto a la situación del mundo material. También cuando caminamos apoyamos la planta del pie o una zona de ésta instantáneamente, en el acto. No podemos apoyarnos en un solo punto y después en otro... Eso es físicamente imposible porque un punto no tiene dimensión. Entonces, sí, creo que se puede decir que físicamente no existe tal cosa, porque nos apoyamos siempre en infinitos puntos. Pienso que, más o menos, a esto es a lo que se refiere el autor.
En abstracto sí podemos apoyarnos mentalmente en un punto, pero lo que no podemos es encontrar con exactitud el siguiente punto; esto, obviamente, es porque asociamos a los puntos números reales y entre dos de ellos, por muy cercano que los consideremos, siempre hay infinitos puntos intermedios más.

Al llevar esa idea a la representación numérica, podemos considerar un intervalo como éste [0,1]. Ahí podemos tomar en el acto o instantáneamante todos los números reales que hay entre cero y 1. Pero no son “todos” los reales, estamos considerando un subconjunto; y después podemos considerar éste otro (1,2]... etc. Entonces,  discretizando así los números reales, encontramos que podemos considerar el infinito de una forma mixta, por una parte tomamos en el acto los reales que hay entre los naturales (o los enteros) y por otra, al tomarlos poco a poco, estamos considerando el conjunto de los reales también potencialmente; no se puede decir en sentido absoluto que el infinito de los reales no se pueda considerar potencialmente, hace falta restringir o definir aspectos.

Y enseguida surge la idea de tomar los números entre racionales, tomar intervalos más cortos, como podrían ser de medio en medio, [0,1/2]... de un tercio en un tercio... No hay límite, pero, por cortos que sean los intervalos, nunca habrá un sólo real ahí dentro; es más, nunca habrá una cantidad finita de reales, no digo ya uno solo.


Así pues, si pensamos en el infinito de los números reales, siempre será necesario tomar “un trozo” en el acto, es insalvable por la imposibilidad de contar de uno en uno; sin embargo, no está definido cómo es de “corto” el pie que apoyamos, eso se puede elegir tan pequeño como se quiera. 

Quizá lo que digo pueda tener que ver con lo que cuenta Carlos de los ordinales; pero es pura especulación, yo no sé nada de nada de esos ordinales. Si fuera así, tal vez sí se podría dar rigor matemático a esta idea, considerando el infinito potencial como algo elegible y el actual como obligatorio. Al menos obligatorio para ciertas cosas, porque con el potencial nunca tenemos “todos” los elementos.

También pienso que esta palabra, “todo”, es peligrosa. Si yo digo “las sumas de doses”, por ejemplo, no estoy apenas haciendo alusión al concepto de cantidad (sólo porque uso el plural, pero en matemáticas cuando hay un sólo elemento se dice que “hay elementos”, que no es un conjunto vacío) y, al no hacer alusión a la cantidad, mucho menos menciono el límite de cantidad alguna; para ello tendría que habar primero de valor o cantidad o máximo... en fin, algo relacionado. Por tanto, no procede siquiera preguntar por la cantidad. Porque, además, ahí ni siquiera hablo de números tal cual, sino de sumas; ¿hay números ahí? No sé, hay una cosa, una que se puede entender de un “golpe de vista”.  Surge entonces que el decir “todos los elementos” es como un salto al vacío. Y a partir de esa cosas nosotros empezamos a “comernos el coco”, como se dice vulgarmente, con  unos elementos un poco fantasmagóricos.
En realidad, nos bastaría quedarnos con esa especie de definición de los pares (o con la que sea) pero somos humanos, esclavos del tiempo y la materia, y, tal que drogodependientes, no podemos contener el síndrome de abstinencia y enseguida empezamos a hacer esto: 2,4,6,8...

¿Por qué escribimos tanto cuando se habla del infinito, como yo ahora, por ejemplo? Si uno tiene sed y no bebe, no se le quita la sed; y en esta cuestión la sed es no poder encontrar el siguiente a un número dado.

Saludos.

...

feriva (por cierto, ¿puedo saber tu nombre? Me interesaría conocerlo si es que querés decirlo):

http://estuderecho.com/sitio/?p=1795  Ut infra

[Carlos Ivorra]

Es cierto; un ejemplo más claro es \( \|+x\| \) usando [tex]\|+x\|[/tex]. La forma de arreglarlo de manera "nativa" es agregando [tex]\left\|\right\|[/tex] a las barras:

\( \begin{array}{ccc}
\|\sen x\|&&\left\|\sen x\right\|\\
\|+x\|&&\left\|+x\right\|
\end{array} \)

Debí haberlo supuesto. Yo usaba [tex]\left\|\right\|[/tex] únicamente cuando lo de dentro es demasiado  alto y quería que las normas fueran más largas. Lo tendré en cuenta, gracias.

Si me contrataran ad-honórem para corroborar la existencia o no de una sóla coma en una demostración rigurosa, o cuidar el interlineado del texto o lo que fuera, con muchísimo gusto lo haría.

Dado que eres tan meticuloso, te interesará observar que en "una sola coma" no hay que poner ningún acento, porque "sola" es adjetivo. (Eso suponiendo que, como yo, no haces ningún caso a los modernismos de la RAE, que ahora dice que no hace falta acentuar el adverbio "sólo".)

P.D.: Como ves, a veces pienso mucho las cosas, por más que ya estén resueltas. Por ejemplo, cuando escribí la primera parte del mensaje (lo de \( \|+x\| \)) se me ocurrió agregar llaves entre [tex]\|\|[/tex] porque, aunque no soy experto, creo que tiene que ver con el orden en que \( \LaTeX \) interpreta la secuencia de caracteres. Y funciona de la misma manera que si pusieras left o right, como ves en mi respuesta líneas más arriba:
\( \begin{array}{ccl}
\|{+x}\|&&\text{[nobbc][tex]{\|{+x}\|}[/tex][/nobbc]} \\
\left\|+x\right\|&&\text{[nobbc][tex]\left\|+x\right\|[/tex][/nobbc]}
\end{array} \).

No sé gran cosa sobre cómo funcina el \( \LaTeX \) internamente, pero sospecho que este fenómeno está relacionado con que, para el \( \LaTeX \) el signo \( + \) representa una relación binaria, lo que se traduce en que deja un espacio holgado a izquierda y derecha para separarlo de sus dos argumentos previstos, pero cuando pones [tex]{+x}[/tex] entiende que no hay argumento a la izquierda y cambia el espaciado.

Ahora me está pasando lo mismo con Gödel y su primer teorema de incompletitud (lo empecé a leer hace unos días)... hay partes en el texto que me pierdo, "por suponer que lo anterior es falso; pero si es falso es verdadero; pero si es verdadero entonces es falso" (sobretodo el llamado "método de autoreferencia"...). Y se crean lagunas en mi mente que es como ¡DIOS, QUÉ ESTOY LEYENDO! Pregunto, Fernando, Carlos, feriva, ¿nunca se perdieron en alguna definición introductoria para recién empezar a ver cierta matemática? A mí me pasa seguido (sobretodo las demostraciones formales de límites, las \( n \)-bolas, los puntos de acumulación, los puntos de no sé qué... todo tanto en \( \mathbb R \) como en \( \mathbb R^n \)).

Pues no me identifico mucho con la situación que describes por dos razones:

Por un lado, buena parte de las matemáticas que estudié de joven las estudié de la mano de mis profesores, tanto de enseñanza secundaria como universitaria, y tuve la suerte de que casi todos ellos fueran muy buenos, y me proporcionaran siempre apuntes completos, sin lagunas, que eran relativamente fáciles de seguir si uno es lo suficientemente minucioso como para no dejar cabos sueltos al estudiar.

Por otra parte, en las matemáticas que he estudiado por mi cuenta, que no han sido pocas, siempre he adoptado la política de avanzar siempre sobre buenos cimientos. En general, evitaba los libros de divulgación. He leído algunos, pero nunca me han dado la sensación de estar aprendiendo con ellos, sino más bien me han orientado sobre qué cosas no sabía y me gustaría saber. Y ésa ha sido siempre la utilidad que les he visto: que te dan una idea del terreno que quieres explorar, pero no constituyen la exploración en sí misma. En su lugar, he procurado tratar siempre con libros que detallaran totalmente los contenidos que que trataban, sin intentos de simplificar nada. Si tomaba un libro y veía que no era capaz de entenderlo, simplemente miraba las referencias que daba para los hechos más elementales que daba por supuestos, dejaba el libro al lado, buscaba dichas referencias u otras equivalentes y trataba de enfrentarme a ellas. Si todavía eran demasiado para mí, buscaba otras más elementales hasta alcanzar el nivel adecuado, y luego volvía a intentarlo con los libros que había descartado provisionalmente.

Naturalmente, me he encontrado en muchas ocasiones con momentos en los que me daba cuenta de que no estaba entendiendo nada, pero, o bien meditando lo suficiente llegaba a acararme, o bien buscaba otro libro en el que el asunto en cuestión pudiera estar mejor explicado. Siempre existe el libro adecuado a las necesidades de cada cual.

En cuanto a tus luchas contra Gödel, yo siempre he sido de la opinión de que si uno no tiene a quién preguntar, no tiene más remedio que componérselas como pueda, claro, pero que si existe la opción de preguntar a alguien que te disipe cualquier clase de confusión que uno se haya generado, se saca mucho más en claro pasando quince minutos con alguien que te pueda resolver tus dudas que meditando por tu cuenta quince horas solo en tu casa (sin perjuicio de que luego tengas que meditar sobre las explicaciones recibidas). Preguntar en el foro no es exactamente lo mismo que pasar quince minutos con alguien que pueda sacarte de dudas, pero es un buen sucedáneo, que sigue siendo mucho mejor que darle vueltas a solas, sobre todo si las claves de lo que te confunde son lagunas conceptuales que no están directamente relacionadas con lo que te confunde, sino con cosas anteriores que no están bien asentadas, porque entonces es muy difícil que llegues a darte cuenta por ti mismo de qué es lo que te está confundiendo, ya que puede ser algo que, aparentemente, no tenga nada que ver con tu problema.

[Carlos Ivorra]

Bien, a modo de símil, quise decir que se pueden hacer tratados rigurosos con el ajedrez "tradicional" y con el "republicano". Riguroso sería decir en el tradicional que una dama en general vale como dos torres y riguroso que en el republicano que la dama vale más. Uno es capaz de entender la rigurosidad de los infinitos de Cantor si acepta las reglas del juego que llevan a tal teoría y también entender la rigurosidad de su negación si acepta otras. Si uno no se preocupa de las reglas previas, asunto zanjado, pero si se preocupa (¿filosofa?) puede que dependiendo de la configuración de su cisura de Rolando (es un decir) puede sinceramente sentirse tentado a elegir unas determinadas reglas o bien otras.

Estoy seguro que cualquier matemático intuicionista entiende el rigor de la teoría de los infinitos de Cantor pero para él, esto lo consideraría sencillamente rigor metafísico, no matemático. Y es que la mencionada cisura juega malas pasadas  . No hay formas rigurosas únicas en el hacer matemático. Es importante (viajemos a la Ética) la honestidad intelectual, no se puede admitir la teoría de Cantor por ser preciosa (¡y lo es!)  ni negarla por ganarnos un halo de marginación u originalidad.

Estoy de acuerdo con todo (y no creo haber dicho nada que lo contradiga). Por supuesto que se puede hacer, digamos, matemática intuicionista con el mismo rigor que tiene la matemática de ZFC. Sólo debo discrepar de lo que he puesto en negrita, por lo menos, según cómo haya de entenderse el verbo "admitir", y lo digo porque me identifico con la situación: no creo que haya más motivo para admitir la teoría de Cantor que el hecho de que sea interesante, y no creo que haya ninguna falta de honestidad intelectual en ello, al menos si se reconoce así.

Más concretamente, yo no creo que ninguna afirmación que involucre infinitos no numerables tenga ningún significado objetivo. Más precisamente, mi opinión es que el axioma de partes, el que afirma que para todo conjunto existe otro conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto dado, es una gran mentira (cuando se aplica a conjuntos infinitos). Cada conjunto numerable es la puerta a un pozo sin fondo, el pozo de sus subconjuntos potenciales, y no creo que tenga ningún sentido hablar de la totalidad de tales subconjuntos. Pese a ello, tomar como axioma que existe tal totalidad es, aunque falso, aparentemente consistente, y es la llave que conduce a la teoría de conjuntos cantoriana.

Por una parte, una buena porción de las matemáticas modernas podría formalizarse de forma alternativa sin presuponer conjuntos no numerables, pero a costa de complicar hasta la náusea las reglas de juego (no estoy hablando del intuicionismo o algo similar, sino de una teoría más potente que pudiera llegar bastante más lejos sin abandonar la lógica clásica, de una teoría de conjuntos censurada, pero no tan pobre como la que resultaría de eliminar sin más el axioma de partes). De este modo, el axioma de partes simplemente simplifica el desarrollo de unas matemáticas que también podrían desarrollarse sin él.

Por otra parte, el axioma de partes inventa una serie de objetos que son pura fantasía, aunque muchos matemáticos se dedican a estudiarlos en exclusiva. Pero eso no tiene nada de malo, ni de deshonesto intelectualmente. Es verdad que la mayoría de esos matemáticos no compartirán mi punto de vista y creerán sinceramente que están tratando con objetos con una existencia objetiva en un sentido u otro, pero lo que digo es que no es mi caso, que yo no creo que sea así y, pese a ello, me parece que no hay motivos para hacerle ascos a las partes más abstractas de la teoría de conjuntos, simplemente porque es una teoría interesante, y el hecho de que unas partes de la matemática hablen de cosas "reales" en cierto sentido, y otras no, es algo que, no está de más señalar como curiosidad, pero que no tiene gran importancia, siempre desde mi punto de vista, claro, y sin perjuicio de que haya muchos otros posibles.

No sé si me explico. Quiero decir que si alguien me demuestra un teorema interesante, no se me ocurriría contestarle, "sí, es muy bonito, pero, por desgracia, se apoya en el axioma de partes, por lo que no tiene valor alguno", y ni siquiera pensaría eso para mí. Mi opinión es que mi opinión sobre el axioma de partes no tiene interés ni siquiera para mí.