Autor Tema: Cota superior en definición clásica de longitud de una curva

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

02 Abril, 2018, 01:05 pm
Leído 2035 veces

Eparoh

  • Aprendiz
  • Mensajes: 242
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola a todos.
Tengo la siguiente definición:

Sea \( I \subset \mathbb{R} \) un intervalo, \( \alpha:I \longrightarrow{} \mathbb{R}^n \) una curva continua, \( a,b \in I \) con \( a<b \)  y \( P=\left\{{a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b}\right\} \) una partición cualquiera del intervalo \( [a,b] \subset I \).
Definimos para dicha partición la longitud poligonal de \( \alpha \) como:


\( L(\alpha,P)=\sum_{i=1}^n  \left\|{\alpha(x_i)-\alpha(x_{i-1})}\right\| \)

Entonces, se define la longitud de \( \alpha \) entre \( \alpha(a) \) y \( \alpha(b) \) como

\( L_a^b(\alpha)=\textrm{sup}\left\{{L(\alpha,P), P \textrm{ una particion de }[a,b]}\right\} \)

Ahora, para que esta definición tenga sentido, es necesario que dicho supremo exista, es decir, debe existir una cota superior para el conjunto dado. Se que si la curva es diferenciable se puede encontrar dicho supremo fácilmente a través de integrales, pero lo que intento hallar es un supremo para dicho conjunto sin la condición de diferenciabilidad en \( \alpha \).
La idea intuitiva que tengo sobre ello es coger un punto cualquiera que no esté sobre la curva, y la longitud de los segmentos que unen \( a \) y \( b \) con dicho punto será mayor que cualquiera de las longitudes poligonales, sin embargo soy incapaz de demostrar esto analíticamente.
¿Alguna idea sobre como ver esto, o en se defecto alguna cota superior más fácil de demostrar que lo es?
Un saludo y muchas gracias por sus respuestas.

02 Abril, 2018, 06:01 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

  • Administrador
  • Mensajes: 10,836
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).
    • Fernando Revilla
... pero lo que intento hallar es un supremo para dicho conjunto sin la condición de diferenciabilidad en \( \alpha \).

Podría ser una tesis. :) Me explico: dependiendo de la fórmula que define \( \alpha \), las acotaciones de las particiones pueden dar lugar a sumas de series de dificultad extrema. Fíjate por ejemplo en las dificultades que se presentan en Una curva no rectificable. Si es rectificable, ni te cuento.

02 Abril, 2018, 07:51 pm
Respuesta #2

Masacroso

  • Héroe
  • Mensajes: 2,138
  • País: es
  • Karma: +4/-0
EDICIÓN: he metido el comentario en es spoiler, para no tener que borrarlo, pero no había caido en la cuenta de que se define \( I \) como un intervalo compacto, entonces no aplica lo que quería decir.

Spoiler
Un pequeño inciso

Se que si la curva es diferenciable se puede encontrar dicho supremo fácilmente a través de integrales...

Pero hay curvas diferenciables que no son rectificables, por ejemplo las espirales logarítmicas definidas por

\( \displaystyle \gamma:\Bbb R\to\Bbb R^2,\quad t\mapsto e^{\lambda t}(\cos t,\sin t) \)

para un \( \lambda\neq 0 \).
[cerrar]

02 Abril, 2018, 09:12 pm
Respuesta #3

Eparoh

  • Aprendiz
  • Mensajes: 242
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Perdonad mi ignorancia. No había oído hablar sobre el concepto de curvas rectificables, no es algo que hayamos estudiado durante el curso, al menos de momento.
De hecho, ni si quiera estudiamos esta definición para lo longitud de arco, tan solo nos dieron como definición la dada por la integral del módulo de la derivada, y estudiando yo la equivalencia entre ambas se me presentó esta duda, sin haber caído (aunque había visto ejemplos de forma informal de curvas con longitud infinita) en lo que habéis comentado.

Podría ser una tesis. :) Me explico: dependiendo de la fórmula que define \( \alpha \), las acotaciones de las particiones pueden dar lugar a sumas de series de dificultad extrema. Fíjate por ejemplo en las dificultades que se presentan en Una curva no rectificable. Si es rectificable, ni te cuento.

Con esto quieres decir que en la definición debe especificarse que si dicho supremo existe, entonces se define la longitud como... ¿verdad?

EDICIÓN: he metido el comentario en es spoiler, para no tener que borrarlo, pero no había caido en la cuenta de que se define \( I \) como un intervalo compacto, entonces no aplica lo que quería decir.

Spoiler
Un pequeño inciso

Se que si la curva es diferenciable se puede encontrar dicho supremo fácilmente a través de integrales...

Pero hay curvas diferenciables que no son rectificables, por ejemplo las espirales logarítmicas definidas por

\( \displaystyle \gamma:\Bbb R\to\Bbb R^2,\quad t\mapsto e^{\lambda t}(\cos t,\sin t) \)

para un \( \lambda\neq 0 \).
[cerrar]

Si, si, considero un intervalo compacto contenido en \( I \) para en caso de ser la curva diferenciable poder aplicar el teorema de Weirstrass sobre \(  \left\|{\alpha'(t)}\right\| \) y poder hallar así una cota superior.

Muchas gracias por las respuestas de ambos, han sido de gran ayuda  ;)

02 Abril, 2018, 10:48 pm
Respuesta #4

Masacroso

  • Héroe
  • Mensajes: 2,138
  • País: es
  • Karma: +4/-0
He encontrado un ejemplo de una curva continua y compacta no rectificable: tomamos el intervalo \( [0,1] \) y una sucesión estrictamente creciente \( (t_k)_{k\in\Bbb N} \) que converja a \( 1 \) y que \( t_0=0 \).

Entonces definimos una función continua \( f:[0,1]\to [0,1] \) tal que \( f(0)=0 \) y \( f(t_k)=\sum_{j=1}^k(-1)^{j+1}/j \) para \( k\ge 1 \). Entonces el gráfico de \( f \) es una curva continua y compacta pero no rectificable ya que la longitud mínima entre dos puntos consecutivos es \( 1/k \), y la suma de todas las longitudes mínimas es la serie armónica, la cual es divergente.

02 Abril, 2018, 11:25 pm
Respuesta #5

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,874
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Unas cuantas más:

https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Peano

https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Gosper

https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Hilbert

http://fernandorevilla.es/blog/2015/11/10/una-curva-no-rectificable/
Editado

La última  veo que está puesta en esta respuesta:

... pero lo que intento hallar es un supremo para dicho conjunto sin la condición de diferenciabilidad en \( \alpha \).

Podría ser una tesis. :) Me explico: dependiendo de la fórmula que define \( \alpha \), las acotaciones de las particiones pueden dar lugar a sumas de series de dificultad extrema. Fíjate por ejemplo en las dificultades que se presentan en Una curva no rectificable. Si es rectificable, ni te cuento.

También valdrán las funciones reales continuas y no derivables en ningún punto.

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_Weierstrass


03 Abril, 2018, 09:57 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,016
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Citar
Podría ser una tesis. :) Me explico: dependiendo de la fórmula que define \( \alpha \), las acotaciones de las particiones pueden dar lugar a sumas de series de dificultad extrema. Fíjate por ejemplo en las dificultades que se presentan en Una curva no rectificable. Si es rectificable, ni te cuento.

Con esto quieres decir que en la definición debe especificarse que si dicho supremo existe, entonces se define la longitud como... ¿verdad?

Si; dicho de otra manera no puedes asegurar la existencia de ese supremo, porque podría no existir.

Saludos.

13 Abril, 2018, 02:07 pm
Respuesta #7

Eparoh

  • Aprendiz
  • Mensajes: 242
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Gracias por todas las respuestas, han sido muy utiles.
Un saludo.

Pd. La razón por la que no había agradecido antes los nuevos aportes es que desde hace un tiempo no recibo correos electrónicos notificándome de mensajes nuevos en los temas que inicio y, se que no es este el lugar para preguntar y si es necesario inicio un nuevo tema donde corresponga, pero porque razón dejé de recibirlos.
¿Han desactivado esa opción en el foro?

14 Abril, 2018, 05:35 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,016
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Pd. La razón por la que no había agradecido antes los nuevos aportes es que desde hace un tiempo no recibo correos electrónicos notificándome de mensajes nuevos en los temas que inicio y, se que no es este el lugar para preguntar y si es necesario inicio un nuevo tema donde corresponga, pero porque razón dejé de recibirlos.
¿Han desactivado esa opción en el foro?

Desde hace tiempo el sistema automático de envío de e-mails del foro falla y no hemos sido todavía capaces de solucionarlo.

Saludos.