Autor Tema: Demostraciones simples en los reales

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30 Marzo, 2018, 08:56 pm
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cibernarco

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Hola, tengo algunas demostraciones simples para resolver, pero no se como resolverlas,  ??? ???

1) Demostrar que para todo a,b perteneciente a los reales

\( -(a+b)=-a-b \)

2) Demostrar que para todo a,b perteneciente a los reales a y b distinto de cero

\( (a.b)^\left\{-1\right\} = a^\left\{-1\right\} . b^\left\{{-1}\right\} \)


30 Marzo, 2018, 09:29 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Para el primero tienes:

\(  -c = (-1) \cdot c  \)

Spoiler

 \(  c + (-1) \cdot c = c \cdot (1 + (-1)) = c \cdot 0 = 0  \)

 Entonces \(  (-1) \cdot c  \)  es el inverso de \( c  \)

[cerrar]

Queda \(  -(a+b) = (-1) \cdot (a+b) = ...  \)

Para el segundo toma que los reales existe la propiedad conmutativa y tienes que:

\(  a^{-1} \cdot b^{-1} = b^{-1} \cdot a^{-1}  \)

Entonces:
 
    \(  ( a \cdot b) \cdot (b^{-1} \cdot a^{-1}) = ....  \)

    \(  (b^{-1} \cdot a^{-1}) \cdot ( a \cdot b) = ....  \)
       

30 Marzo, 2018, 09:36 pm
Respuesta #2

mathtruco

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  • El gran profesor inspira
Sólo para mostrar que puede haber más de un camino para probar estas cosas, recuerda que \( a-b:=a+(-b) \) (es una definición).

Es fácil (usando conmutatividad y asociatividad de la suma) ver que

    \( a+b+(-a)+(-b)=0 \)

o equivalentemente

    \( (a+b)+(-a)+(-b)=0 \)

y sumando \( -(a+b) \) a ambos lados de la ecuación (y usando la definición del elemento neutro y el simétrico de la suma) obtenemos

    \( (-a)+(-b)=-(a+b) \)

que es lo mismo que

    \( -a-b=-(a+b) \)

30 Marzo, 2018, 09:39 pm
Respuesta #3

cibernarco

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Para el primero, entiendo eso del inverso, y también cuando pones (-1). (a+b) , pero luego como llegas a -a-b, es valido hacer la distributiva nomas?

30 Marzo, 2018, 09:54 pm
Respuesta #4

cibernarco

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Sólo para mostrar que puede haber más de un camino para probar estas cosas, recuerda que \( a-b:=a+(-b) \) (es una definición).

Es fácil (usando conmutatividad y asociatividad de la suma) ver que

    \( a+b+(-a)+(-b)=0 \)

o equivalentemente

    \( (a+b)+(-a)+(-b)=0 \)

y sumando \( -(a+b) \) a ambos lados de la ecuación (y usando la definición del elemento neutro y el simétrico de la suma) obtenemos

    \( (-a)+(-b)=-(a+b) \)

que es lo mismo que

    \( -a-b=-(a+b) \)

Excelente esa forma me quedo clara! Ahora terminare de entender la de arriba asi me quedo con las dos que me parecieron interesantes!

31 Marzo, 2018, 01:38 am
Respuesta #5

Juan Pablo Sancho

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Si es con la distributiva.

\(   -(a+b) = (-1) \cdot (a+b) = (-1) \cdot a + (-1) \cdot b = -a+(-b) = -a-b  \)