Autor Tema: Hallar un mejor algoritmo para \(z=\displaystyle\frac{x+1}{y}\)

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28 Marzo, 2018, 06:40 pm
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Juan Sánchez

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Hola,

Tengo el siguiente sistema lineal \begin{cases} 2x + ay = & 1 \\x + by  =& 0\end{cases}
Dónde \( a \) y \( b \) vienen dados por \( a = 1\pm{0.1} \) y \( b = 2\pm{0.2} \). Primero me piden calcular \( x \) e \( y \). Hago el caso de la \( x \): Soluciono el sistema por \( x  \) y tengo que \( x=\displaystyle\frac{-b}{a-2b} \). Luego utilizando la fórmula de propagación del error ( que no es más que Taylor) tengo que el error absoluto de \( x \) será \( \left |{\frac{{\partial (\frac{-b}{a-2b})}}{{\partial a}}}\right |*\left |{Error_a}\right |+\left |{\frac{{\partial (\frac{-b}{a-2b})}}{{\partial b}}}\right |*\left |{Error_b}\right | = 0.0444 \).... Por lo que \( x=\frac{2}{3}\pm{0.04}  \) (\( \displaystyle\frac{2}{3} \) lo he obtenido solucionando el sistema por \( a=1 \), \( b=2 \)). Para \( y \) es análogo. Corregidme si está mal.

Ahora me piden calcular \( z=\displaystyle\frac{x+1}{y} \) con el error que puedo cometer. Aquí debería de utilizar otra vez la fórmula de propagación del error con los errores de \( x \) e \( y \) respectivamente, y me daria otra vez un resultado de la forma \( z=(s\pm{e}) \). Ahora, cómo puedo dar un algoritmo mejor para calcular \( z \) en función de \( x \) e \( y \)?

28 Marzo, 2018, 09:31 pm
Respuesta #1

Abdulai

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Siendo  \( x=\dfrac{-b}{a-2b}\quad,\quad y=\dfrac{1}{a-2b} \)

En este caso particular es mejor hacer   \( z=\dfrac{1+x}{y}=a-3b\;\;\longrightarrow\;\; \epsilon_z = \epsilon_a + 3\epsilon_b \)

que aplicar nuevamente la fórmula de propagación de errores.

29 Marzo, 2018, 06:31 pm
Respuesta #2

Juan Sánchez

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Ok, gracias.

Una pregunta más: Hay alguna forma de demostrar que un método sea mejor que el otro, sin tener que calcular específicamente el error que dan los dos?

30 Marzo, 2018, 07:07 pm
Respuesta #3

Abdulai

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Ok, gracias.

Una pregunta más: Hay alguna forma de demostrar que un método sea mejor que el otro, sin tener que calcular específicamente el error que dan los dos?

Es que eso depende de la relación entre las variables.   

Lo "esperado" es que la función  \( z=G(a,b) \)  sea mucho mas complicada que  \( z=F(x,y) \)  y por lo tanto convenga aplicar dos veces la propagación de errores.

También puede ocurrir que exista una correlación en los errores de \( x \) e \( y \)  que nos lleve a una cota de error demasiado alta --> Haya que analizar en función de \( a \) y \( b \) cueste lo que cueste.

Y si se trata de un cálculo numérico, puede ocurrir que analizar simbólicamente el error sea imposible en términos prácticos --> No se puede usar lo anterior.