Autor Tema: Parametrización

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16 Marzo, 2018, 12:20 pm
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Anasanchez

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Hola quisiera saber como se haría esta parametrización, no se como empezar. Gracias.

A partir de una curva \( c:[0,1]\to \mathbb{R}^n \) de clase \( C^1 \) a trozos, encuentra otra parametrización de la misma curva pero ahora que esté definida en él intervalo \( [a,b] \) con \( a,b \) números reales y que mantenga la orientación que tiene \( c \).

16 Marzo, 2018, 12:27 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola quisiera saber como se haría esta parametrización, no se como empezar. Gracias.

A partir de una curva \( c:[0,1]\to \mathbb{R}^n \) de clase \( C^1 \) a trozos, encuentra otra parametrización de la misma curva pero ahora que esté definida en él intervalo \( [a,b] \) con \( a,b \) números reales y que mantenga la orientación que tiene \( c \).

Compón con la transformación afin:

\( f:[a,b]\to [0,1],\qquad f(x)=\dfrac{x-a}{b-a} \)

Saludos.

16 Marzo, 2018, 12:41 pm
Respuesta #2

Masacroso

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En principio se suele entender a \( c \) como una parametrización de una curva, pero no como la curva en sí (la curva se suele entender como la colección de puntos en \( \Bbb R^n \) que la definen, es decir, como la imagen de una parametrización de la misma).

Dicho esto: llamemos a la curva \( M \). Si \( c \) es una parametrización a trozos de \( M \) entonces existe una partición \( \{p_0,\ldots,p_m\} \) de \( [0,1] \) tal que \( c_j\in C^1([p_j,p_{j+1}],\Bbb R^n) \) para \( j=0,1,\ldots,m-1 \).

Sea un difeomorfismo \( h:[a,b]\to[0,1] \). Entonces es fácil de comprobar que \( b:= c\circ h \) es una parametrización a trozos de clase \( C^1 \) tal que \( b:[a,b]\to\Bbb R^n \) y \( c([0,1])=b([a,b])=M \) (sin embargo \( b \) y \( c \) no tienen necesariamente la misma orientación). Para que tengan la misma orientación \( h \) debe ser además creciente.

Quizá el difeomorfismo más simple entre los dos intervalos, que conserve la misma orientación, sea la ecuación de la recta que contiene los puntos \( (0,a) \) y \( (1,b) \).