Autor Tema: Convergencia de serie

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

21 Agosto, 2019, 04:59 am
Leído 363 veces

morphete

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 22
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Edit: Ya he aclarado el problema, fue un error de lectura al ser un problema escrito a mano, era \( a_n+1 \) en vez de \( a_{n+1} \). Por favor, ignoren el mensaje, gracias.

Parece ser que me he topado con una paradoja. Si la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n} \) converge absolutamente, converge absolutamente \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\frac{a_n}{a_{n+1}}} \)?

Yo he puesto que no, pues basta ver que para \( a_n=n^{-2} \) no se cumple. Además, si \( a_n \) converge absolutamente, entonces tiene que ser decreciente, es decir, \( \left |{a_n}\right | > \left |{a_{n+1}}\right | \Longrightarrow \frac{\left |a_n{}\right |}{\left |{a_{n+1}}\right |}>1 \) por lo que una serie con todos los valores mayores a 1 no puede converger.

Sin embargo, por criterio de comparación, tenemos que \( \lim _{n \to + \infty} \frac{\left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|}{\left| a_n \right|}=1 \) lo que significa que ambas series tienen el mismo carácter, y por lo tanto, converge.

¿Alguien puede darme algo de luz? Muchas gracias.

21 Agosto, 2019, 05:30 am
Respuesta #1

ingmarov

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,770
  • País: hn
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Creo que podemos aplicar el criterio de D'Alembert. Lo hice mal, ya lo corregí

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\dfrac{\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n+2}}\right|}{\left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|}}=\lim_{n \to{+}\infty}{\left|\dfrac{(a_{n+1})^2}{a_n\cdot a_{n+2}}\right|} \)

Ah, no se ve como concluir, hay que pensarlo mejor

Creo que lo tengo

Para que la serie sea convergente     \( \lim_{n \to{+}\infty}\dfrac{a_n}{a_{n+1}} \).  Debe tender a cero.
¿Puedes concluir?


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

21 Agosto, 2019, 05:26 pm
Respuesta #2

morphete

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 22
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Creo que podemos aplicar el criterio de D'Alembert. Lo hice mal, ya lo corregí

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\dfrac{\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n+2}}\right|}{\left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|}}=\lim_{n \to{+}\infty}{\left|\dfrac{(a_{n+1})^2}{a_n\cdot a_{n+2}}\right|} \)

Ah, no se ve como concluir, hay que pensarlo mejor

Creo que lo tengo

Para que la serie sea convergente     \( \lim_{n \to{+}\infty}\dfrac{a_n}{a_{n+1}} \).  Debe tender a cero.
¿Puedes concluir?


Saludos

Hola, pido perdón, ya he aclarado el problema, fue un error de lectura al ser un problema escrito a mano, era \( a_n+1 \) en vez de \( a_{n+1} \). Por favor, ignoren el mensaje, gracias y saludos.