Autor Tema: Caracterización de isomorfismo de categorias

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11 Marzo, 2018, 04:08 pm
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malboro

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Definición: Un funtor \( F:A\longrightarrow{B} \) es un isomorfismo si y solo solo existe un funtor \( G:B\longrightarrow{A} \) tal que \( G\circ{F}=1_A \) y \( F\circ{G}=1_B \).

En este caso \( A  \) y \( B \) se dicen isomorfos.

Proposición: Un funtor \( F:A\longrightarrow{B} \) es un isomorfismo si y solo si es pleno, fiel y biyectivo en objetos.

La ida si conseguí probar, espero una idea para la vuelta.

Gracias

Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.

12 Marzo, 2018, 12:24 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Si un funtor \( F:A \rightarrow B \) es pleno, fiel y biyectivo en objetos, puedes definir un nuevo funtor \( G:B \rightarrow A \) de la siguiente manera. En objetos, \( G(b) \) es el único objeto de \( A \) tal que \( F(G(b)) = b \). Y en morfismos, \( G(f) \) es el único morfismo de \( A \) tal que \( F(G(f)) = f \).

El hecho de que \( F \) es fiel, pleno y biyectivo en objetos se usa para ver que \( G \) está bien definido. Y una vez tienes esto, es inmediato que \( G \) es el funtor inverso de \( F \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

04 Septiembre, 2018, 07:22 am
Respuesta #2

malboro

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Hola Geómetracat.

Ya conseguí.

Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.