Autor Tema: Topología cofinita y conjunto derivado

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09 Marzo, 2018, 04:02 am
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mapa

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¡Hola! ¡Buen día!
Tengo un ejercicio que dice: Sea \( (X, \tau ) \) espacio topológico, pruebe que la topología cofinita es más gruesa que \( \tau \) sí y sólo si \( \forall{x}\in{X}, \{x\}'=\emptyset \).
Spoiler
Si supongo que \( \forall{x}\in{X}, \{x\}'=\emptyset \)
Lo que he notado es que por ser topologías definidas en un mismo conjunto entonces X y el vacío deben pertenecer a ambas topologías, además los complementos de conjuntos que constan de un único elemento pertenecen a la topología cofinita y que el hecho de que el conjunto derivado de un conjunto unipuntual sea vacío implica que ese conjunto unipuntual es cerrado y por ello su complemento es un abierto en \( (X, \tau ) \)
Sin embargo no estoy segura de cómo concluir que la topología cofinita está contenida en \( \tau \) porque ¿Cómo aseguro que todos los elementos de la topología cofinita son de la forma que he mencionado anteriormente y no hay más?...

¿y para la recíproca, podrían darme alguna sugerencia por favor? 
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09 Marzo, 2018, 05:10 am
Respuesta #1

Masacroso

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Has interpretado al revés, me parece. Si \( \tau_1 \) es más gruesa que \( \tau_2 \) entonces \( \tau_1\subseteq\tau_2 \). Como los conjuntos unitarios son cerrados en \( \tau \) y como la unión finita de cerrados también es cerrada entonces \( \tau \) contiene la topología cofinita (por definición de la topología cofinita), es decir, la topología cofinita es más gruesa que \( \tau \).

Y en la otra dirección: si la topología cofinita es más gruesa que \( \tau \) entonces la cofinita está contenida en \( \tau \), por tanto todos los conjuntos unitarios son cerrados en \( \tau \) (ya que lo son en la cofinita), entonces el derivado de los unitarios es vacío, por definición de punto límite.

09 Marzo, 2018, 09:02 pm
Respuesta #2

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Ya comprendo ¡muchas gracias!