[FrancoMonse]

Suponga conocida \( \displaystyle\frac{1}{1-x} \) = \( \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \)\(  x^n,\left |{x}\right | < 1 \). Halle el radio de convergencia y la función suma de las series siguientes:
i) \( \displaystyle\sum_{i=0}^\infty  \)\( (n+1)\displaystyle\frac{x^{2n}}{2^n} \)

ii) \( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \) \( \displaystyle\frac{n (x+5)^n}{2^n} \)

[Masacroso]

Creo que lo que te piden es que uses criterios de convergencia que conozcas, como el de la raíz o el de d'Alembert, para las dos series planteadas, y relacionarlos con los valores que puede tomar \( x \).

No veo muy claro cómo usar el radio de convergencia de la serie geométrica en todo esto. Para entender el ejercicio hay que conocer el contexto teórico donde se plantea.

[Luis Fuentes]

Hola

Suponga conocida \( \displaystyle\frac{1}{1-x} \) = \( \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \)\(  x^n,\left |{x}\right | < 1 \). Halle el radio de convergencia y la función suma de las series siguientes:
i) \( \displaystyle\sum_{i=0}^\infty  \)\( (n+1)\displaystyle\frac{x^{2n}}{2^n} \)

ii) \( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \) \( \displaystyle\frac{n (x+5)^n}{2^n} \)

Concuerdo con masacroso en que habría que saber los resultados que puedes usar para hallar el radio de convergencia y la suma.

Supuestos conocidos los teoremas que sustentan lo siguiente y una vez probada la convergencia para hallar la suma se puede hacer algo así.

Sea \( F(y)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}(n+1)y^n \). Quieres hallar \( F(x^2/2) \).

Ahora si llamas:

\( G(y)=\displaystyle\int_{0}^{y}F(t)dt \)

Tienes que:

\( G(y)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}y^{n+1}=y\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}y^{n}=\dfrac{y}{1-y} \)

y ahora \( F(y)=G'(y) \).

Termina...

Para la segunda algo parecido.

Llama:

\( F(y)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}ny^n \)

Tienes que hallar \( F((x+5)/2) \). Derivando:

\( F'(y)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}y^{n-1}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}y^n \)

Continúa...

Saludos.