Autor Tema: Ejercicio de Métodos Numéricos que no consigo resolver

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05 Marzo, 2018, 05:11 pm
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JuanMedina

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Buenas tardes.
Necesito ayuda con este ejercicio. Es el último que me falta por resolver de mi relación de problemas y tengo dudas de como aplicar el metodo de Newton.

Demuestra que el sistema de ecuaciones siguiente:

\( \begin{cases} \frac{x^2y^2}{2}-x+\frac{7}{24}=0\\xy-y+\frac{1}{9}=0\end{cases} \)
tiene una única solución en el intervalo \( [0,0.4]\times{}[0,0.4] \). Calcula una aproximación de la solución en el intervalo anterior mediante 4 iteraciones del método de Newton partiendo de\( (0,0) \).

Gracias.

06 Marzo, 2018, 10:06 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Buenas tardes.
Necesito ayuda con este ejercicio. Es el último que me falta por resolver de mi relación de problemas y tengo dudas de como aplicar el metodo de Newton.

Demuestra que el sistema de ecuaciones siguiente:

\( \begin{cases} \frac{x^2y^2}{2}-x+\frac{7}{24}=0\\xy-y+\frac{1}{9}=0\end{cases} \)
tiene una única solución en el intervalo \( [0,0.4]\times{}[0,0.4] \). Calcula una aproximación de la solución en el intervalo anterior mediante 4 iteraciones del método de Newton partiendo de\( (0,0) \).

Gracias.

¿Qué has intentado? El planteamiento del método es mecánico.

Tienes:

\( \vec x^0=(0,0) \)

y después:

\( \vec x^{n+1}=\vec x^n-J(\vec x^n)^{-1}\cdot f(\vec x^n) \)  (*)

donde:

\( f(\vec x)=\left(\dfrac{x_1^2x_2^2}{2}-x_1+\dfrac{7}{24},x_1x_2-x_2+\dfrac{1}{9}\right) \)

y el Jacobiano es:

\( J(\vec x)=\begin{pmatrix}{x_1x_2^2-1}&{x_1^2x_2}\\{x_2}&{x_1-1}\end{pmatrix} \)

En la implementación de (*) en lugar de hacer la inversa suele resolverse el sistema:

\( J(\vec x^n)\vec y=f(\vec x^n) \)

y luego:

\( \vec x^{n+1}=\vec x^n-\vec y \)

Saludos.

06 Marzo, 2018, 02:01 pm
Respuesta #2

Ignacio Larrosa

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Buenas tardes.
Necesito ayuda con este ejercicio. Es el último que me falta por resolver de mi relación de problemas y tengo dudas de como aplicar el metodo de Newton.

Demuestra que el sistema de ecuaciones siguiente:

\( \begin{cases} \frac{x^2y^2}{2}-x+\frac{7}{24}=0\\xy-y+\frac{1}{9}=0\end{cases} \)
tiene una única solución en el intervalo \( [0,0.4]\times{}[0,0.4] \). Calcula una aproximación de la solución en el intervalo anterior mediante 4 iteraciones del método de Newton partiendo de\( (0,0) \).

Gracias.

Si quieres ver como se va aproximando la solución, haz zoom repetidas veces. La solución real es el punto A, que si amplias mucho podras ver que no coincide con la intersección de las curvas, pues se llega al nivel de incompetencia de Geogebra (se supera la precisión del programa).


Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)