[Naoj]

Buen día,

Se me plantea el siguiente ejercicio pero sinceramente no sé como solucionarlo, cualquier explicación muy agradecido.

Una carga puntual de 20 nC se encuentra en (4, -1, 3) y una carga lineal uniforme de 25 nC/m se extiende a lo largo de la intersección de los planos x = -4 y z = 6. a) Calcule E en (3, -1, 0). b) ¿Qué cantidad de flujo eléctrico abandona la superficie de una esfera de radio 5 y con centro en el origen? c) Repetir la parte b) si el radio de la esfera es de 10.

[robinlambada]

Hola.

Buen día,

Se me plantea el siguiente ejercicio pero sinceramente no sé como solucionarlo, cualquier explicación muy agradecido.

Una carga puntual de 20 nC se encuentra en (4, -1, 3) y una carga lineal uniforme de 25 nC/m se extiende a lo largo de la intersección de los planos x = -4 y z = 6. a) Calcule E en (3, -1, 0). b) ¿Qué cantidad de flujo eléctrico abandona la superficie de una esfera de radio 5 y con centro en el origen? c) Repetir la parte b) si el radio de la esfera es de 10.

Para el apartado a. debes saber que el campo neto en el pto P=(3,-1,0) se la suma vectorial del producido en ese punto por la carga lineal más el producido por la carga puntual de 20 nC en Q=(4, -1, 3).

Para el campo producido por la carga puntual \( \overrightarrow{E_q}=\displaystyle\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\displaystyle\frac{q}{r^2}\vec{e_r} \)

con  \( \vec{r}=\overrightarrow{QP}\Rightarrow{}r=|QP| \) y \( \vec{e_r}=\displaystyle\frac{\vec{r}}{r} \)

Para el campo de la distribución lineal:

\( \vec{E_r}=\displaystyle\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 R}\vec{e_R} \) con \( R= \text{distancia de P a la distribución lineal de carga} \) y  \( \vec{e_R}=\text{vector unitario perpendicular a la linea de carga que pasa por P} \)

\( \vec{E_{tot}}=\vec{E_q}+\vec{E_r} \)


Para el apartado b) sólo debes calcular la carga que encierra la esfera de radio 5 y radio 10 y aplicar la ley de Gauss del flujo.

Para radio 5, la esfera solo contiene al punto Q.

Para radio 10, la esfera  contiene al punto Q y a un segmento de la carga lineal, para saber cuanta debes hacer la intersección de recta y superficie esférica y vel los puntos de corte (resolver el sistema de 3 ecuaciones) , para calcular su distancia.

Nota: \( \lambda \) es la densidad lineal de carga del hilo conductor.

Saludos.

[Naoj]

Siguiendo tu idea, lo único que no entiendo es como hallar \( R \) y el vector unitario perpendicular a la linea de carga que pasa por P \( e_{R} \). Podrías explicarme por favor? gracias.

[robinlambada]

Siguiendo tu idea, lo único que no entiendo es como hallar \( R \) y el vector unitario perpendicular a la linea de carga que pasa por P \( e_{R} \). Podrías explicarme por favor? gracias.

Una forma, es hallar primero el punto donde la recta que pasa por P perpendicular a la linea de carga corta a esta linea de carga ( sea el punto X)

Entonces \( \overrightarrow{R}=\overrightarrow{XP} \)  y  \( \overrightarrow{e}_R=\displaystyle\frac{\overrightarrow{XP}}{|\overrightarrow{XP}|} \)

La ecuación paramétrica de la recta es:
\( \begin{cases}{ x=-4}& \\y=t\\z=6\end{cases}\Leftrightarrow{}(x,y,z)=(-4,t,6)=(-4,0,6)+t\cdot{}(0,1,0) \) con \( X_o=(-4,0,6) \) Un punto concreto de la recta (linea de carga) y \( \vec{v}=(0,1,0) \) su vector director (Osea, la linea de carga tiene la dirección del eje y)

Para calcular el punto de corte "X" de la perpendicular por Q y la línea , impongo que el producto escalar de \( \overrightarrow{XP} \) y  \( \vec{v}=(0,1,0) \) sea cero pues son perpendiculares.

\( \overrightarrow{XP}=(3-(-4),-1-t,0-6)\Rightarrow{}(3-(-4),-1-t,0-6)\cdot{}(0,1,0)=0\Rightarrow{}t=-1 \)

Dándonos \( X=(-4,-1,6) \) y \( \overrightarrow{XP}=\overrightarrow{R}=(7,0,-6) \)

\( R=|(7,0,-6)| \) y \( \overrightarrow{e}_R=\displaystyle\frac{(7,0,-6)}{|(7,0,-6)|} \)

Saludos.